離散Markovian跳變系統模態依賴非脆弱H∞控制

冉華軍 肖 鵬

（三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002）

H∞控制是一種優化控制，是以控制系統內部某些信號之間傳遞函數矩陣的H∞范數作為優化性能設計指標的優化控制，反饋控制器不僅要保證閉環系統穩定，并且還要使得閉環系統傳遞函數的H∞范數小于某一預先設定的正值.Keel等在文獻［1］中根據實例指出，傳統的最優和魯棒控制器設計由于忽略了控制器參數的微小攝動往往會導致原來穩定的閉環系統失去穩定或穩定性能下降.Dorato對此進行了進一步研究，得出控制器的脆弱性問題是關系到反饋控制系統性能的基本問題的結論［2］.文獻［3］針對無法獲取跳變參數的情形，研究了離散Markovian跳變系統模態不依賴非脆弱H∞控制問題.然而，如果跳變系統的當前所處模態實時在線可測，則設計控制器時可以充分利用系統的模態跳變信息.本文針對可獲得跳變參數的情況，研究離散Markovian跳變系統模態依賴非脆弱H∞反饋控制問題.

1 問題描述

所研究的離散Markovian跳變系統可描述為［3］：

式中，｛rk；k＝0，1，…，∞｝為在有限集合S＝｛1，…，s｝內取值的離散平穩 Markovian鏈，S包含系統（1）的所有可能跳變模態.假設可直接測量系統狀態，且實時可測系統所處模態.對系統（1）設計如下模態依賴反饋控制器：

其中Ki為待定控制器增益.

考慮控制器實現時或實際運行中其增益存在不確定攝動Δi，則實際控制器為：

將式（3）代入式（1）得到：

假定待設計控制器（3）的增益存在乘性范數有界不確定攝動，即

其中Emi，Hmi為適維實常矩陣，Fmi（k）為時變不確定矩陣并滿足：

其中ρi為已知正標量.

將（5）和（6）代入（4），得實際閉環系統（7）：

模態依賴非脆弱狀態反饋H∞控制問題可歸結為：給定常數γ＞0，設計模態依賴非脆弱反饋控制器（3），使得閉環系統（4）對控制器增益攝動均滿足：外擾wk＝0時，閉環系統（4）內部均方穩定；零初態時，閉環系統（4）達到γ水平H∞性能，即：‖zk‖＜γ2·‖wk‖.

2 非脆弱H∞控制器設計

由文獻［4］中引理，閉環系統（7）內部隨機均方穩定且具有γ水平H∞性能的充要條件是，存在適維矩陣Pi＞0，i＝1，…，s，使下列矩陣不等式組成立：

由Schur補引理［5］，式（8）等價于下式：

經簡單計算和整理且令

則式（9）等價于：

再由Schur補引理，式（11）等價于：

經整理計算，式（11）等價于：

進一步，用矩陣diag｛，I｝及其轉置陣對式（12）進行合同變換，式（12）便等價于

即

：將式（7）代入（14），并令Wi＝X－1i，Yi＝KiWi，得

其中：

容易看出，式（15）等價于：

進一步，式（17）又可等價于：

再由Schur補引理，式（18）等價于下式：

根據矩陣運算法則將不確定項拆分，式（19）又可等價地寫為：

由文獻［6－7］中引理，式（20）等價于：

由以上分析，可得如下定理：

定理 當且僅當存在適維矩陣Wi＞0，Yi及正標量εi，i＝1，2，…，s，使矩陣不等式組（21）成立時，離散Markovian跳變系統（1）存在模態依賴非脆弱狀態反饋H∞控制器（3），使閉環系統（7）對所有滿足式（5）、（6）的乘性范數有界不確定容許控制器增益攝動都保持內部隨機均方穩定且具有給定的H∞性能γ，控制器參數為

注釋 基于式（22），令ρ＝γ2，通過建立和求解優化問題：

根據定理1，若該優化問題的解存在，則利用最優解可得系統（1）的模態依賴非脆弱最優H∞控制器，相應的最優H∞性能水平為.

3 數值算例

已知一個具體的三模態離散Markovian跳變系統：

轉移概率矩陣：

根據定理1、注釋1所描述的方法，在Matlab7.0平臺上基于LMI工具箱編寫針對γ尋優的求解程序，運行結果為：γopt1＝1.727 9.

控制器增益為：

按常規H∞控制理論設計控制器時，預先未考慮控制器可能出現的攝動.為了凸顯本文所提方法的有效性，直接給出按常規H∞控制理論對本算例的設計結果以方便比較：最優H∞性能水平γopt2＝1.719 5；

控制器增益：

若所設計控制器增益在實現時發生了乘性范數有界攝動Fm1＝0.031，Fm2＝－0.031，Fm3＝0.031，容易驗證該攝動滿足：

則實際控制器增益為：

可編寫程序求出實際控制器使系統所能達到的最優H∞性能水平：γopt3＝1.735 7.

算例結果表明，γopt3＞γopt2，γopt3＞γopt1，若控制器增益發生允許范圍內的乘性范數有界攝動，按常規控制理論設計的魯棒控制器使系統所能達到的實際最優H∞性能水平下降，而按本文設計的非脆弱控制器始終能使系統保持在期望的最優H∞性能水平.

假定系統初態x（0）＝［1.3 2 －0.8］，初始模態r0＝1，w（k）＝0.圖1為仿真時三態離散 Markovian鏈；圖2為非脆弱控制器沒有發生攝動時狀態響應曲線；圖3為非脆弱控制器發生攝動Fm1＝0.03，Fm2＝－0.03，Fm3＝0.03時的響應曲線.

圖1 三態離散Markovian鏈

圖2和圖3表明，按本文定理1設計的控制器在允許范圍內其增益無論攝動與否，閉環系統均穩定.多次改變初態值進行仿真，均可得一致結論.

圖2 控制器增益未攝動時狀態響應

圖3 控制器增益攝動時狀態響應

假定零初始狀態，初始模態r0＝1，圖4為系統所受擾動；圖5為三模態離散Markovian鏈；圖6為控制器增益未攝動時輸出響應；圖7為控制器增益發生攝動Fm1＝0.03，Fm2＝－0.03，Fm3＝0.03時非脆弱控制輸出響應.

利用norm指令可求得

多次改變擾動信號進行仿真，均可得一致結果.這表明按本文定理設計的非脆弱控制器在允許范圍內其增益無論攝動與否，系統H∞性能保持在期望水平.

圖4 擾動信號

圖5 三態離散Markovian鏈

圖6 控制器增益未攝動時輸出響應

圖7 控制器增益攝動時輸出響應

4 結 論

本文考慮控制器增益發生乘性范數有界攝動的情形，針對一類跳變參數可獲取的線性離散 Markovian跳變系統，運用LMI方法推導出存在使其隨機均方穩定且具有H∞性能水平γ的非脆弱H∞反饋控制器的充要條件，并給出了確定控制器增益的顯性計算式；最后將本文的理論方法應用于一個具體算例，通過觀測分析仿真得到的狀態響應和輸出響應曲線，并與不考慮控制器增益攝動的常規H∞反饋控制器設計方法的結果相比較，展示了本文方法的可行性和有效性.

［1］ Keel L H，Bhattacharyya S P.Robust，Fragile，or Optimal？［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42（8）：1098－1105.

［2］ Dorato P，Non－fragile Controller Design：An Overview［C］.In：Proceedings of the American Conference，Philadelphia，Pennsylvania，June，1998，5：2829－2831.

［3］ 冉華軍.離散 Markovian跳變系統模態不依賴非脆弱H∞控制［J］.三峽大學學報：自然科學版，2012，34（5）：85－91.

［4］ Costa O L V，do Val J B R.Full InformationH∞Control for Discrete－Time Infinite Markov Jump Parameter Systems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，202（2）：578－603.

［5］ Kreinder E，Jameson A.Conditions for Nonnegativeness of Partitioned Matrices［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，1972，17（1）：147－148.

［6］ Peterson I R.A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems［J］.Systems ＆ Control Letters，1987，8（4）：351－357.

［7］ Xie L H.Output FeedbackH∞Control of Systems with Parameter Uncertainty［J］.International Journal of Control，1996，63（4）：741－750.