合理運用分類討論數學思想

林敏燕

當我們遇到一個問題比較復雜時，常常把這個問題分解成幾個小問題來處理，這就是分類討論的數學思想.它的基本思路是“化整為零，各個擊破”.分類討論的數學思想滲透到高中數學的各大塊知識點中，如果我們在高考復習中善于運用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復習效率.本文從高中數學的高考重點模塊著眼，解析分類討論數學思想的應用.

一、函數中的分類討論思想

函數中的分類討論大致分為二類，一類是函數是分段函數，必須進行分類討論；一類是數學的性質是分類的，典型的例子是含有參數的問題.

設g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實數m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點評：對于含有參數的二次函數的最值，必須進行分類討論.

例2. 已知函數f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上上是增函數.

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點評：當函數中含有參數時，函數的零點會隨著參數的變化而變化，要結合函數圖像及單調性來進行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導數這一類試題中，常常會遇到解含有參數的一元二次不等式時，這時，必須要用到分類討論的數學思想.

點評：由于兩根含有參數，不能確定大小，所以必須進行分類討論.很多同學對含有參數的不等式不會因式分解，只會用求根公式，從而會給解題造成麻煩，求根公式中會出現絕對值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現在焦點在x軸或y軸，或是一個點在曲線的左支還是右支.

點評：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學們容易漏解，復習時要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點評：本題屬于中等題，同學們很容易把斜率不存在的情況忽略.對于直線方程的假設大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數列中的分類討論思想

數列是一類特殊的函數，分類討論的數學思想在數列中應用也是極為廣泛.當數列中出現前n項和和數列通項，或者出現絕對值，或者出現奇偶性問題時，都得進行分類討論.還有，在一個式子中，如果出現an，Sn，通過計算得到遞推關系式，要不要討論n=1的情況，也是同學們感到困惑的問題.

點評：當表達式中出現了n-1時，必須說明n≥2；如果表達式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現了（-1）n之類的，必須對整數的奇偶性進行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計數原理和分步計數原理，分類計數原理就是數學中的分類討論思想.適當合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課個1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的概率為 （用數字作答）.

點評：這是一道難度較大的高考題，難點在于如何分類，如果分類混亂，總是會漏算或重算.這里還要考查考生對排列組合中分步計算原理的應用，捆綁法的應用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會出現多解的情況，是不是每一個解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數學思想.

點評：本題容易得到二個解，如果不注意一些細節，容易得到錯誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint

當我們遇到一個問題比較復雜時，常常把這個問題分解成幾個小問題來處理，這就是分類討論的數學思想.它的基本思路是“化整為零，各個擊破”.分類討論的數學思想滲透到高中數學的各大塊知識點中，如果我們在高考復習中善于運用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復習效率.本文從高中數學的高考重點模塊著眼，解析分類討論數學思想的應用.

一、函數中的分類討論思想

函數中的分類討論大致分為二類，一類是函數是分段函數，必須進行分類討論；一類是數學的性質是分類的，典型的例子是含有參數的問題.

設g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實數m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點評：對于含有參數的二次函數的最值，必須進行分類討論.

例2. 已知函數f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上上是增函數.

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點評：當函數中含有參數時，函數的零點會隨著參數的變化而變化，要結合函數圖像及單調性來進行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導數這一類試題中，常常會遇到解含有參數的一元二次不等式時，這時，必須要用到分類討論的數學思想.

點評：由于兩根含有參數，不能確定大小，所以必須進行分類討論.很多同學對含有參數的不等式不會因式分解，只會用求根公式，從而會給解題造成麻煩，求根公式中會出現絕對值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現在焦點在x軸或y軸，或是一個點在曲線的左支還是右支.

點評：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學們容易漏解，復習時要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點評：本題屬于中等題，同學們很容易把斜率不存在的情況忽略.對于直線方程的假設大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數列中的分類討論思想

數列是一類特殊的函數，分類討論的數學思想在數列中應用也是極為廣泛.當數列中出現前n項和和數列通項，或者出現絕對值，或者出現奇偶性問題時，都得進行分類討論.還有，在一個式子中，如果出現an，Sn，通過計算得到遞推關系式，要不要討論n=1的情況，也是同學們感到困惑的問題.

點評：當表達式中出現了n-1時，必須說明n≥2；如果表達式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現了（-1）n之類的，必須對整數的奇偶性進行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計數原理和分步計數原理，分類計數原理就是數學中的分類討論思想.適當合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課個1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的概率為 （用數字作答）.

點評：這是一道難度較大的高考題，難點在于如何分類，如果分類混亂，總是會漏算或重算.這里還要考查考生對排列組合中分步計算原理的應用，捆綁法的應用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會出現多解的情況，是不是每一個解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數學思想.

點評：本題容易得到二個解，如果不注意一些細節，容易得到錯誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint

當我們遇到一個問題比較復雜時，常常把這個問題分解成幾個小問題來處理，這就是分類討論的數學思想.它的基本思路是“化整為零，各個擊破”.分類討論的數學思想滲透到高中數學的各大塊知識點中，如果我們在高考復習中善于運用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復習效率.本文從高中數學的高考重點模塊著眼，解析分類討論數學思想的應用.

一、函數中的分類討論思想

函數中的分類討論大致分為二類，一類是函數是分段函數，必須進行分類討論；一類是數學的性質是分類的，典型的例子是含有參數的問題.

設g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實數m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點評：對于含有參數的二次函數的最值，必須進行分類討論.

例2. 已知函數f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上上是增函數.

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點評：當函數中含有參數時，函數的零點會隨著參數的變化而變化，要結合函數圖像及單調性來進行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導數這一類試題中，常常會遇到解含有參數的一元二次不等式時，這時，必須要用到分類討論的數學思想.

點評：由于兩根含有參數，不能確定大小，所以必須進行分類討論.很多同學對含有參數的不等式不會因式分解，只會用求根公式，從而會給解題造成麻煩，求根公式中會出現絕對值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現在焦點在x軸或y軸，或是一個點在曲線的左支還是右支.

點評：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學們容易漏解，復習時要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點評：本題屬于中等題，同學們很容易把斜率不存在的情況忽略.對于直線方程的假設大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數列中的分類討論思想

數列是一類特殊的函數，分類討論的數學思想在數列中應用也是極為廣泛.當數列中出現前n項和和數列通項，或者出現絕對值，或者出現奇偶性問題時，都得進行分類討論.還有，在一個式子中，如果出現an，Sn，通過計算得到遞推關系式，要不要討論n=1的情況，也是同學們感到困惑的問題.

點評：當表達式中出現了n-1時，必須說明n≥2；如果表達式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現了（-1）n之類的，必須對整數的奇偶性進行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計數原理和分步計數原理，分類計數原理就是數學中的分類討論思想.適當合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課個1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的概率為 （用數字作答）.

點評：這是一道難度較大的高考題，難點在于如何分類，如果分類混亂，總是會漏算或重算.這里還要考查考生對排列組合中分步計算原理的應用，捆綁法的應用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會出現多解的情況，是不是每一個解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數學思想.

點評：本題容易得到二個解，如果不注意一些細節，容易得到錯誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint