圓柱殼在徑向沖擊載荷作用下的動力響應

殷平化，孫昌將

(海軍蚌埠士官學校 機電系，安徽 蚌埠 233000)

圓柱殼在徑向沖擊載荷作用下的動力響應

殷平化，孫昌將

(海軍蚌埠士官學校 機電系，安徽 蚌埠 233000)

利用Hamilton原理得出軸向壓力和徑向沖擊載荷作用下圓柱殼位移的運動微分方程，推導方程的解析解。通過數值計算，分析圓柱殼的位移隨時間變化曲線，位移的幅頻曲線以及應變隨時間變化曲線和幅頻曲線。數值計算結果表明，圓柱殼的徑向和軸向位移要遠大于周向位移；簡諧激勵頻率為285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz時，徑向位移幅值取值最大；簡諧激勵頻率為285 Hz時軸向位移幅值取值最大；簡諧激勵頻率為4 074 Hz時軸向應變幅值取得最大值；簡諧激勵頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時，周向應變幅值取值最大。

圓柱殼；沖擊載荷；動力響應；軸向壓力

0 引 言

在工程實踐中，經常會遇到復雜殼體結構的動力響應問題。例如，超空泡體在水下高速航行的時候，一方面受到流體阻力和推進力的作用，另外由于空泡形態(tài)的改變及運動的穩(wěn)定性，超空泡體的局部會與流體/空泡交界面發(fā)生接觸，因而產生沖擊作用。目前，對于復雜殼體結構的動力響應進行理論分析的文章不多，更多的只是研究單純的軸向受力圓柱殼的穩(wěn)定性和振動特性。例如文獻[1-3]根據Flügge，Sander，Love，Donnell方程，應用模態(tài)疊加法推導出Mathieu方程，并利用三角級數對圓柱殼的動態(tài)穩(wěn)定特性進行了分析，對不同幾何參數下的4種方程的結果進行了比較。文獻[4]利用Flügge 殼體理論分析了正交各向異性圓柱殼在軸向壓力作用下的靜態(tài)屈曲和固定軸向力作用下的殼體振動特性。文獻[5]利用Flügge 殼體理論分析了正交各向異性圓柱殼受到靜水壓力和某點受到徑向簡諧載荷時的穩(wěn)態(tài)動力響應。文獻[6]利用有限元方法研究了沖擊載荷作用下超空泡水下航行體的結構響應。本文利用Hamilton原理導出圓柱殼在軸向壓力和徑向區(qū)域均勻分布載荷作用下關于位移運動微分方程，通過數值計算分析了圓柱殼的位移響應和應變響應。

1 理論分析

圖1為本文所討論的圓柱殼的示意圖。

L為圓柱殼長度，R為中面半徑,h為厚度，ρ為密度，彈性模量為E，μ為泊松比。P為軸向壓力。假定徑向簡諧載荷fr(α,θ,t)=q0cosωbt均勻分布在2ε1×2ε2區(qū)域上，中心坐標為(α0，θ0)。

圖1 受軸向靜力和徑向沖擊載荷圓柱殼示意圖Fig.1 The cylindrical shells subjected to axial compression and impact loads

根據Hamilton原理可以推導出圓柱殼受軸向壓力和徑向沖擊載荷下位移的運動微分方程式如下：

(1)

對于兩端簡支的圓柱殼，邊界條件的表達式為

v=w=Nα=Mα=0,α=0,L。

故可設圓柱殼振動的位移響應為

(2)

將式(2)代入式(1)，并利用軸向靜壓力作用下圓柱殼的自由振動方程可得：

(3)

式中，ωmnj為自由振動頻率。應用振型疊加法，將式(3)兩端分別乘Arsjcosrαcossθ，Brsjsinrαsinsθ，Crsjsinrαcossθ， 在圓柱殼邊界上積分，然后相加，利用振型正交條件可得如下方程：

(4)

其中：

BmnjsinλαsinnθBrsjsinrαsinsθ+

CmnjsinλαcosnθCrsjsinrαcossθ)Rdαdθ=

解微分方程式(4)可得：

(5)

(6)

將式(6)代入式(2)可計算出殼體的位移，利用式(7)計算出殼體的應變：

(7)

引入無量綱因子：

(8)

2 算例分析

本文以一個圓柱殼受軸向壓力和徑向沖擊載荷的動力響應為例，選取鋁質材料。圓柱殼參數E=71 GPa，ρ=2 700 kg/m3，泊松比ν=0.3，h=0.006 m，R=0.105 m，L=2.8 m。圓柱殼軸向壓力P=17 320 N，ε1= 0.01×L，ε2= 0.1 π，α0=0.1L，θ0= 0.25 π，q0=10 000 N，ωb=1 000。

利用式(2)和式(7)可計算出本節(jié)圓柱殼的位移和應變響應。式(2)右端級數項的取值范圍為m=1，2，…M；n=1，2，…N。M，N取不同值時殼體位移的大小如表1所示。

表1給出了m，n取值不同時，殼體位移的收斂情況。由表1可知，以上3種情況位移的誤差很小，因而收斂，故在如下計算中，均取m=1～40，n=1～40。

表1 M，N的取值對位移u，v，w的影響

對于力的作用中心點(α0,θ0)處的位移響應和應變響應，計算結果如圖2～圖10所示。

2.1 位移響應

圖2 w～t曲線Fig.2 Curve of w～t

圖3 u～t曲線Fig.3 Curve of u～t

圖4 v～t曲線Fig.4 Curve of v～t

圖2～圖4給出了圓柱殼在3個方向的位移響應。由圖可知，殼體在軸向和徑向的位移響應遠遠大于在其周向上的位移響應。

圖5和圖6給出了t=0.06 s時刻軸向、徑向位移的幅頻曲線。從圖5可以看出：徑向位移幅值在Ω2取0.00122，0.01692，0.02，0.09，0.105，0.115，0.25時取得峰值，由式(8)和ω=2πf可知激勵頻率取285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz。同樣從圖6可看出：Ω2取0.001 22，頻率為285 Hz時軸向位移幅值最大。由此可知，徑向位移和軸向位移的峰值所對應的頻率并不能完全對應起來，激起徑向位移峰值的頻率并不一定能激起軸向位移取得峰值。

圖5 |w|～Ω2Fig.5 Radial displacement response

圖6 |u|～Ω2Fig.6 Axial displacement responses

2.2 應變響應

圖7 εα～t曲線Fig.7 Curve ofεα～t

圖8 |εα|～Ω2Fig.8 Axial strain responses

圖9 εθ～t曲線Fig.9 Curve ofεθ～t

圖10 |εθ|～Ω2Fig.10 Median strain responses

圖7和圖9給出了εα和εθ隨時間的變化曲線，圖8和圖10給出了相應的幅頻曲線。從圖8可看出，Ω2取0.25，頻率為4 074 Hz時，εα取值最大。從圖10可看出，Ω2取0.47，0.5，0.595，頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時，εθ取最大值。

3 結 語

本文用解析方法，通過數值計算，分析了受軸向靜壓力和徑向沖擊載荷作用下圓柱殼的位移和應變響應，得到如下結論：

1)殼體在軸向和徑向的位移響應遠遠大于在其周向上的位移響應。

2)簡諧激勵頻率285Hz,1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz時，徑向位移取最大值；簡諧激勵頻率為285 Hz時軸向位移取值最大；

3)簡諧激勵頻率為4 074 Hz時軸向應變取得最大值；簡諧激勵頻率為5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz時，周向應變取值最大。

[1] LAM K Y，NG Y.Dynamic stability of cylindrical shells subjected to conservative periodic axial loads using different shells theories[J].Journal of Sound and Vibration，1997，207(4) ：497-520.

[2] NG T Y，LAM K Y，LIEW K M.Dynamic stability analysis of functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading[J]. International Journal of Solids and Structures，2001，38:1295-1309.

[3] DARABI M，DARVIZEH M，DARVIZEH A.Nonlinear ana-lysis of dynamic stability for functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading[J].Composite Structures，2008，83:201-211.

[4] 李學斌，劉土光，朱學康.正交各向性圓柱殼在軸向壓力作用下的靜動態(tài)特性分析[J].艦船科學技術，2004，26:3-8.

LI Xue-bin，LIU Tu-guang，ZHU Xue-kang.Buckling and free vibration study of orthotropic circular cylindrical shell under axial load[J].Ship Science and Technology，2004，26:3-8.

[5] 李學斌.正交各向異性圓柱殼的穩(wěn)態(tài)動力響應分析[J].船舶力學，2007，11(1):79-87.

LI Xue-bin.Harmonic response analysis of or thotropic cylindrical shells[J].Journal of Ship Mechanics，2007，11(1):79-87.

[6] 楊傳武，王安穩(wěn).沖擊載荷作用下超空泡水下航行體的結構響應[J].華中科技大學學報(自然科學版)，2008，36(7):129-132.

YANG Chuan-wu，WANG An-wen.Structural response of supercavitating underwater vehicles subjected to impact loads[J].Journal of Huazhong University of Science and Techndogy(Natural Science Edition)，2008，36(7):129-132.

Dynamical response analysis of cylindrical shells subjected to impact loads

YIN Ping-hua，SUN Chang-jiang

(Bengbu Naval Officer School,Department of Mechanical and Electrical Engineering,Bengbu 233000,China)

The differential equations of motion for cylindrical shells under axial compression and impact loads are derived by use of Hamilton′s theorem，and the analysis solution of the equations have been obtained。The variation curve of the displacement-time and the displacement-frequency have been analyzed by numerical calculation, and also the variation curve of strain-time and strain-frequency have been studied。The numerical calculation results show that the radial displacement response is the greatest when the harmonic response frequency are 285 Hz，1 060 Hz，1 152 Hz，2 444 Hz，2 640 Hz，2 763 Hz，4 074 Hz; The axial displacement response is the greatest when the harmonic response frequency is 285 Hz; The axial strain response is the greatest when the harmonic response frequency is 4 074 Hz; The radial strain response is the greatest when the harmonic response frequency are 5 586 Hz，5 762 Hz，6 285 Hz.

cylindrical shell；impact loads；dynamical response；axial compression

2012-05-15；

2014-04-14

國家自然科學基金資助項目(10772196)

殷平化(1986-)，男，碩士，助理講師，研究方向為艦艇結構與安全。

O343

A

1672-7649(2014)07-0020-04

10.3404/j.issn.1672-7649.2014.07.004