部分因式展開(kāi)法拉普拉斯反變換深層探析

郎佳紅，蔣順利，王 彥，鄭詩(shī)程，章家?guī)r

(安徽工業(yè)大學(xué) 安徽馬鞍山 243002)

部分因式展開(kāi)法拉普拉斯反變換深層探析

郎佳紅，蔣順利，王 彥，鄭詩(shī)程，章家?guī)r

(安徽工業(yè)大學(xué) 安徽馬鞍山 243002)

運(yùn)算電路的解析，常用部分因式展開(kāi)法進(jìn)行拉普拉斯反變換，以求取時(shí)域解。對(duì)象函數(shù)分母進(jìn)行因式分解，可能出現(xiàn)復(fù)根情況的討論，相關(guān)課程、文獻(xiàn)分析不夠深入，給出的求取原函數(shù)方法單一，解題容易出錯(cuò)。為此，對(duì)復(fù)根情況進(jìn)行了較為深入的探討，并提出了一種新穎的求解原函數(shù)的方法，消除了求解高階象函數(shù)的原函數(shù)困惑，并很大提高了求取原函數(shù)的速度和準(zhǔn)確率。

運(yùn)算電路；拉普拉斯逆變換；部分因式展開(kāi)法；復(fù)根； 配平方法

在電路理論分析中，對(duì)于動(dòng)態(tài)電路、尤其是高階動(dòng)態(tài)電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的VCR列出的是微分方程，根據(jù)換路后的動(dòng)態(tài)元件的初值求解微分方程。對(duì)于高階動(dòng)態(tài)電路，運(yùn)用經(jīng)典法求解高階微分方程比較困難。拉普拉斯變換方法就是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來(lái)求解。但是此解為頻域解，為了得到時(shí)域解，需要對(duì)該解進(jìn)行拉氏逆變換。

時(shí)域函數(shù)一般稱(chēng)為原函數(shù)，經(jīng)拉氏變換得到頻域函數(shù)稱(chēng)為象函數(shù)。從象函數(shù)求取原函數(shù)，一般采用部分因式展開(kāi)法，得到幾個(gè)因式之和，然后根據(jù)拉氏變換性質(zhì)和象函數(shù)和原函數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出原函數(shù)。電路課程中對(duì)于象函數(shù)分母因式分解為復(fù)根情況的部分因式展開(kāi)法的討論內(nèi)容少，而且采用單根法求解比較機(jī)械費(fèi)時(shí)，為此在本文中對(duì)于拉氏逆變換部分因式展開(kāi)法進(jìn)行了有益探索，并介紹一種新穎、快捷求解方法。

1 拉氏逆變換部分因式展開(kāi)法

拉氏逆變換的基本定義：

記作f(t)=L-1[F(s)]

(1)

運(yùn)用(1)式進(jìn)行拉氏逆變換很繁瑣，在實(shí)際的拉氏逆變換中很少采用，而是采用其他的求解方法，其中部分因式展開(kāi)法最為常用。

象函數(shù)一般可以表示：

(2)

F(s)表達(dá)式，一般n≤m。若n

所謂部分因式展開(kāi)法，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將象函數(shù)F(s)的分母D(s)進(jìn)行因式分解，即求D(s)=0的根，然后將F(s)展開(kāi)成幾個(gè)因式的和，然后根據(jù)拉氏變換的定義和基本性質(zhì)求解原函數(shù)。對(duì)于D(s)的根，無(wú)外乎三種情況，單根、重根、復(fù)根。由于實(shí)數(shù)單根和實(shí)數(shù)重根情況，比較容易求取F(s)的原函數(shù)，而當(dāng)D(s)=0為非實(shí)數(shù)復(fù)根，如果采取與實(shí)數(shù)單根、實(shí)數(shù)重根F(s)的一樣的方法求取F(s)原函數(shù)顯得有些繁瑣，為此在此提出一種新穎的求取原函數(shù)的方法，本文稱(chēng)為配平方法。為了更快捷地使用配平方法，需要對(duì)主要函數(shù)拉氏變換(見(jiàn)表1)以及拉氏變換的頻域延遲性質(zhì)比較熟悉。一般電路理論很少介紹拉氏頻域延遲性質(zhì)，在此本文首先簡(jiǎn)單證明一下拉氏頻域延遲性質(zhì)[1、2]。

一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換見(jiàn)表1所示，拉普拉氏變換的基本性質(zhì)見(jiàn)表2所示。

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)主要有線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、頻域延遲性質(zhì)以及時(shí)域延遲性質(zhì)等等。一般文獻(xiàn)專(zhuān)著中對(duì)于頻域延遲性質(zhì)很少介紹，在此對(duì)該性質(zhì)做個(gè)簡(jiǎn)單的證明，以備下文運(yùn)用。

表1 主要函數(shù)的拉普拉氏變換

由拉氏變換定義，原函數(shù)f(t)的象函數(shù)F(s)為：

則原函數(shù)f(t)est的象函數(shù)F1(s)為：

2 配平方法

針對(duì)象函數(shù)的特點(diǎn)和拉氏變換基本性質(zhì)，本文提出一種新穎的求取象函數(shù)F(s)所對(duì)應(yīng)原函數(shù)F(t)的方法，并稱(chēng)為配平方法。如果D(s)=0為實(shí)數(shù)單根或?qū)崝?shù)重根，求其原函數(shù)比較容易。如果D(s)=0為復(fù)根，按照單根處理方法求F(s)原函數(shù)比較繁瑣，如果采用配平方法求解，則簡(jiǎn)單快捷。這種方法在電路課程、文獻(xiàn)沒(méi)有介紹。下面對(duì)二階D(s)=0復(fù)根的情況，采用常規(guī)(單根處理)法和配平方法求取原函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單比較。

2.1 常規(guī)法

求待定系數(shù)k1、k2，得：

根據(jù)象函數(shù)與原函數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得原函數(shù)f(t)：

根據(jù)歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，并整理可得：

2.2 配平方法

根據(jù)表1中的cosωt、sinωt的拉氏變換及s域延遲性質(zhì)，不難得到原函數(shù)f(t)：

比較發(fā)現(xiàn)，配平方簡(jiǎn)單快捷，而且不容易出錯(cuò)。下面舉個(gè)應(yīng)用配平方法求解原函數(shù)的例子。

根據(jù)表1中的cosωt、sinωt、的拉氏變換及s域延遲性質(zhì)，得到原函數(shù)f(t)：

3 高階 復(fù)根分析

對(duì)于高階D(s)的分析，本文由于篇幅限制和電路課程中動(dòng)態(tài)電路內(nèi)容特點(diǎn)，在此只討論三階和四階的情況，有興趣的讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn)。

3.1 三階D(s)

設(shè)D(s)=as3+bs2+cs+d，a≠0。D(s)可以分解成一階因式和二階因式的乘積形式，根據(jù)文獻(xiàn)[3、4]，令

良好的開(kāi)端，是成功的一半，也就說(shuō)“前奏”奏得響，就能先聲奪人，引發(fā)學(xué)生渴望追求新知的心理狀態(tài)。如果說(shuō)，先聲奪人的課堂前奏是一堂課成功的一半，那么，輕松活躍、余味無(wú)窮的課堂尾聲，也必使一節(jié)課得到升華。

當(dāng)Δ>0時(shí)，D(s)有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根。其中實(shí)根s1為:

則D(s)可以分解成

D(s)=as3+bs2+cs+d=(s-s1)(a's2+b's+c')

則真分式F(s)展開(kāi)部分因式之和，如下：

(1)

式(1)中m、d'、e'為待定系數(shù)，通過(guò)還原法可以求解。上式右邊第一項(xiàng)為實(shí)數(shù)單根，很容易求出其原函數(shù)，第二項(xiàng)可以根據(jù)配平方法求出其原函數(shù)，則F(s)對(duì)應(yīng)的象函數(shù)為：

(2)

式(2)中，其中Δ'=b'2-4a'b'。

3.2 四階

設(shè)D(s)=as4+bs3+cs2+ds+e，a·e≠0。

(3)

式(3)中D(s)可以分解成兩個(gè)二階因式的乘積形式[5、6]，具體思路如下 ：

D(s)=a'x4+b'x2+c'x+d'

(4)

對(duì)于D(s)=a'x4+bx2+c'x+d'，可以轉(zhuǎn)換成下列形式：

D(s)=a'(x2+px+q)(x2-px+r)，與式(4)比較，可以求取待定系數(shù)p、q、r。至此，象函數(shù)F(s)可以展開(kāi)成以下幾個(gè)因式之和形式。

(5)

式(5)中，k1、k2、k3、k4，為待定系數(shù)，通過(guò)還原法可以求解[4、5]。

(6)

對(duì)式(6)配平方，并整理可得：

4 結(jié)論

[1] 黃瑞芳，汪儉彬.關(guān)于拉氏逆變換延遲性質(zhì)的探討[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào).2010.5

[2] 吳波，楊秀德. RLC暫態(tài)電路的理論分析和數(shù)值模擬[J]. 物理與工程. 2010.1

[3] 范盛金一元三次方程的新求根公式與新判別法[J]. 海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1989.2

[4] 田慧竹，宋從芝.利用拉普拉斯變換求解微分方程[J].高等數(shù)學(xué)研究.2012.1

[5] 權(quán)小剛. 利用分解因式法解一元四次方程[J]. 考試周刊，2012.20

[6] 邢富沖. 一元三次方程求解新探[J]. 中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003.3

Deep Analysis of Partial Factor Summation for Inverselaplace Transformation

LANG Jia-hong，JIANG Shun-li etc.

To solve time solution of operational equation by using Inverse Laplace Transformation through partial factor summation. There are three situations to factorization of image function denominator, namely real single root, multiple root, complex roots. There is little information for analysis on complex roots with a few methods, that prone to error. Deep Analysis on high order image function and a new method were showed in this paper, to Improving solution of the equation of velocity and rate of accuracy.

Operational Circuit, Inverse Laplace Transformation, Partial factor summation method，Complex root，Paired squareDeep analysis of partial factor summation for inverse Laplace transformation

2013-11-11

郎佳紅(1973-)，男，安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院，副教授，碩士生導(dǎo)師。

安徽省重大教研項(xiàng)目，立項(xiàng)編號(hào)：2013ZDJY074；安徽省教育廳教研項(xiàng)目(2012jyxm189)；安徽工業(yè)大學(xué)教改項(xiàng)目(2011jg12,2013jg18)資助。

TM13:G434

B

1672-9994(2014)01-0036-04