基于姆潘巴效應實驗的理論分析

黃興奎

(荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000)

基于姆潘巴效應實驗的理論分析

黃興奎

(荊楚理工學院 數理學院，湖北 荊門 448000)

運用實驗的方法研究了姆潘巴效應及其發生條件，通過建立理論模型找到一個受到“余弦”微擾的指數衰減函數，并與實驗結果進行比較，在此基礎上對姆潘巴效應進行了理論分析和解釋。結果表明：水降溫的總趨勢為能量越高的水降到冰點所需要的時間就越長，但這一總趨勢被另一種類似于周期運動的“微擾”調制，于是出現某些條件下高溫水降到冰點所需時間比低溫水更少的特殊情況，也就是出現了姆潘巴效應。姆潘巴效應的發生要同時滿足溫差條件和微擾條件，并非任何高溫水都比低溫水更快的結冰。

姆潘巴效應；微擾；指數衰減函數；溫度譜；降溫速率

0 引言

在同等容器、同等體積和同等冷卻環境下，溫度高的水比溫度低的水先結冰的現象被稱之為“姆潘巴效應”[1-5]。姆潘巴效應被稱為世界物理難題，至今沒有令人滿意的解釋。早在公元前300年，亞里士多德就發現了溫度高的水結冰更快的現象，Giovanni Marliani、培根和笛卡爾也曾描述過這一現象。培根的描述是，“輕微加熱后的水，比冷水更容易結冰”；笛卡爾的描述是，“經驗顯示，放在火上加熱一段時間的水，比不加熱的水結冰更快”。雖然“輕微加熱”和“放在火上加熱一段時間”這兩個限定很模糊，但是表明兩位學者已經意識到姆潘巴效應的出現是有條件的，不是絕對的。

國外對姆潘巴效應的研究比較全面，研究成果比較豐富；國內的研究多偏重于定性的分析或較簡單的實驗驗證，缺乏定量研究及深入的理論分析。研究認為有四個因素對姆潘巴效應產生重要影響，包括水的蒸發[6-7]、水中的溶解氣體[8]、溫度梯度造成的對流和過冷[9-11]。也有研究根據水的化學結構來解釋這一現象，還有研究專注于水中微生物的影響[8]，甚至還有文獻否認這一現象的存在，認為是由外界條件不一致造成的偶然現象[12]。因此有必要通過實驗驗證姆潘巴效應，并找出效應發生時兩種水應滿足的溫差條件，即找到姆潘巴效應的“溫度譜”，并從理論上對姆潘巴效應進行探討。

目前關于姆潘巴效應的研究還不深入，但有些領域已在運用姆潘巴效應，如冰淇淋行業和釀酒業，也有研究將其運用到食物的速凍方面，以減少速凍時的能量消耗[13]。因此研究姆潘巴效應有其實際意義。

1 姆潘巴效應的實驗研究

實驗研究的目的，一是為了驗證姆潘巴效應確實存在，二是找出它發生的具體條件。為保證實驗數據的準確性，實驗過程中使用同一個容器和數字溫度計。實驗用水為普通自來水，制備熱水采用水浴加熱法。

1.1 實驗概述

1.1.1 實驗儀器

加熱器、燒杯、不銹鋼杯(直徑7.8 cm，高7.4 cm)、數字溫度計、冰柜、秒表。

1.1.2 實驗方法

1)用燒杯量取50 mL的室溫水(22.56 ℃),倒入杯口用鋁片覆蓋的不銹鋼杯中；

2)將數字溫度計從鋁片中央的小孔插入不銹鋼杯中；

3)待溫度計顯示穩定后，將杯子放入最低溫度約為-18 ℃的冰柜中的一個固定位置，開始計時。每分鐘記錄一次水的實時溫度，直到水的溫度達到冰點后幾分鐘；

4)用燒杯量取50 mL的自來水，倒入不銹鋼杯中，然后放入加熱器中用水浴加熱到稍高于所需溫度；

5)取出不銹鋼杯，放在實驗臺上冷卻，達到所需溫度附近時，立即放到冰柜內的同一位置，開始計時。每分鐘記錄一次水的實時溫度，直到水的溫度達到冰點后幾分鐘；

6)重復4～5步，實驗中水的初始溫度從室溫到接近沸點的溫度，溫度間隔約為5 ℃。

1.2 實驗結果及分析

如圖1a至圖1d，初溫較高的水比初溫低的水先降至冰點，證實姆潘巴效應確實存在。為敘述方便,稱0～50 ℃區域為低溫區,51～100 ℃區域為高溫區；對比實驗中初溫較高的水為高溫水，初溫較低的水為低溫水。

a 水的初溫在低溫區的姆潘巴效應b 水的初溫在高溫區的姆潘巴效應c 水的初始溫差較小的姆潘巴效應d 水的初始溫差較大的姆潘巴效應圖1 50mL水在四種情形下出現姆潘巴效應的水溫與冷卻時間圖

由圖1可見，姆潘巴效應發生的過程包含兩個階段：1)高溫水以比較快的速率降溫，并達到低溫水冷卻后的實時溫度；2)高溫水保持比較大的降溫速率。在圖像上就表現為兩條降溫線有一次交叉。實驗中出現姆潘巴效應的最大溫差約為35 ℃，最小溫差約為5 ℃，說明姆潘巴效應的出現有一定的溫差限度，即姆潘巴效應的出現是有條件的，不是任何高溫水都會比低溫水結冰更快。具體的實驗數據如表1所示。

表1 50mL不同初始溫度的水降至冰點的時間

將降至冰點的時間t的倒數定義為降溫速率,用y表示,y=1/t,t的單位為分鐘(min)。作降溫速率和初始溫度圖，如圖2所示。

圖2 50mL水的降溫速率與初始溫度圖

圖中沒有畫出5 ℃時的情況，因為這種情況下降溫太快，時間倒數過大，會影響到整個圖的視覺效果。圖2類似于光譜圖，可形象地稱為“溫度譜”圖，運用它可以很方便的找出0～100 ℃范圍內出現姆潘巴效應的溫度條件。如高溫水為64 ℃時，能夠與43～47 ℃和53～64 ℃兩個開區間內的低溫水發生姆潘巴效應，而與0～43 ℃和47～53 ℃區間的低溫水不能發生姆潘巴效應。當然，水量和冷卻條件變化時，出現姆潘巴效應的溫差范圍以及曲線的形狀也會相應的發生變化。

2 姆潘巴效應的理論探討

2.1 模擬函數及其分析

仔細觀察圖2中的曲線，可以發現其變化趨勢類似于一個受到某種微擾調制的指數衰減函數，通過軟件模擬找到如下的模擬函數：

y=0.006+20e-0.04T+0.006cos(0.36T)

(1)

為建立理論模型，將其寫成一般形式：

y=B+Ae-aT+Bcos(ωT+b)

(2)

公式(2)中的B可稱作“周期性微擾”的振幅，等號右邊第一個B的作用在于排除降溫速率出現負值的情況；A是溫度為0 ℃且忽略微擾時的降溫速率；a是決定衰減快慢的參量，類似于衰減因子；T是水的初始溫度；ω是表示微擾隨初始溫度周期性變化的參量；b是初始溫度為0 ℃時的相位。將實驗圖與理論模擬圖對照比較，如圖3所示，可見兩圖中降溫速率隨水的初始溫度變化的趨勢基本相同，表明用模擬函數來描述實驗結果是可行的。

圖3 50mL水的降溫速率與初始溫度關系的實驗圖和理論模擬圖

周期性微擾作用區間在0～100 ℃之間，并非針對某一特殊溫度，但在某一特定降溫過程中是確定的。正是這種周期性微擾使不同初始溫度的水降到冰點的速率出現振蕩，造成某些高溫水可以比低溫水降溫更快。

根據公式(2)，高溫水降溫更快應滿足的條件是：

y(T1)-B1≤y(T2)+B2

(3)

其中溫度T1、T2分別表示低溫水和高溫水的初始溫度，B1和B2分別是兩種溫度對應的微擾振幅，這兩個量可能相等，也可能不相等，在徹底弄清微擾的本質前還無法具體確定。

要探討姆潘巴效應的實質，需要找到某些高溫水產生大的降溫速率并保持這種速率的原因，即找出“微擾”的本質和確定高溫水降溫更快的具體限制條件。現在已經找到一個很接近實際情況的模擬函數，如果能明確函數中各組成部分的物理意義，解釋姆潘巴效應就有了理論依據。

2.2 姆潘巴效應的理論解釋

由圖1，姆潘巴效應的發生過程分成兩個階段。第一階段高溫水的溫度迅速降低，直至達到低溫水冷卻后的溫度，在圖中表現為兩條降溫線交叉點之前的曲線段；第二階段在交叉點之后，原高溫水的降溫速率依然有所保持，這一階段原低溫水的實時溫度要高于原高溫水的實時溫度，但其降溫速率卻不總是大于原高溫水的降溫速率。可以看出水的溫差是姆潘巴效應發生的必要條件，但不是充分條件。

分析理論模擬函數中的組成部分，可以發現Bcos(ωT+b)這一部分對于降溫速率y的大小產生周期性的影響，即指數衰減函數y=Ae-aT受到了周期性微擾Bcos(ωT+b)的調制。可以找到一組參量B、A、a、ω、b，使理論模擬圖和實驗圖高度吻合。根據熱學理論進行分析[14-16]，微擾主要與對流和蒸發的作用相關，即與水的初始溫度有關，初始溫度一確定，對流和蒸發的作用，即微擾的作用就內在的確定了。微擾也是姆潘巴效應發生的重要條件,因此發生姆潘巴效應需要滿足兩個條件：一是兩種水的溫差范圍約在5～35 ℃之間，二是要滿足適當的微擾條件(參見圖2)，而不清楚微擾條件的客觀存在可能就是有些研究否認姆潘巴效應的原因。

作為一個實例，解釋一下冬天要用冷水而不用溫水洗車這一常識。當水量越少時，結冰速度就越快，模擬函數指數部分的系數就越大，微擾振幅的相對增加量很大，導致更多的不同初始溫度的高溫水能夠比低溫水降溫更快，而且要快很多。

如圖4所示，當水的質量非常小時，微擾振幅變得很大，甚至成為影響降溫速率的主要因素。洗車時表面只有很薄的一層水，單位面積內水的質量很小，其微擾振幅就足夠大，如圖4中的第三行圖所示，理論模擬函數按類似正弦規律變化。冬天冷水的溫度比較低，只有幾攝氏度，而溫水的溫度約在30～40 ℃之間。由圖可見，姆潘巴效應發生的條件得到滿足，會出現溫水比冷水結冰快的現象，所以冬天要用冷水而不能用溫水洗車。

圖4 三種不同體積的水的理論模擬函數圖

3 結語

實驗研究驗證了姆潘巴效應，找出了姆潘巴效應發生的條件。實驗中出現姆潘巴效應的最大溫差約為35 ℃，最小溫差約為5 ℃，而在5～35 ℃的溫差范圍內，也并非所有的初溫較高的水就比初溫較低的水先結冰，說明姆潘巴效應的出現有一定的溫差限度，也受到微擾的制約。

通過對實驗結果的分析，找到了一個受到微擾調制的按指數衰減的模擬函數來描述降溫速率(即水溫降到冰點的時間的倒數)和水的初始溫度的關系，微擾是一個類似于三角函數的周期性函數，通過微擾調制的按指數衰減的模擬函數圖與實驗圖吻合得比較好。

目前有關姆潘巴效應的研究還處于起步階段，無論從理論方面還是從實驗方面都有待于進一步研究。姆潘巴效應的影響因素很多，各個因素的影響途徑及程度難以精確界定，今后的研究，應該將更多的因素納入到模擬函數之中，研究各影響因素與模擬函數相關參量之間的定量關系，使之成為能在更大范圍內適用的比較精確的理論模型，促使姆潘巴效應的研究逐步趨向深入和完善，也為姆潘巴效應的實際應用奠定理論和實驗基礎。

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[責任編輯：寸曉非]

2014-09-20

湖北省教育科學"十二五"規劃課題：地方院校應用物理學專業人才培養模式研究(2013B198)

黃興奎(1967-)，男(土家族)，湖北恩施人，荊楚理工學院數理學院副教授，碩士。

O551

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1008-4657(2014)06-0082-05