基于最小體積約束的非負矩陣分解模型的高光譜解混算法探究

余肖玲，黃光鑫

(成都理工大學 管理科學學院，四川 成都 610059)

0 引 言

在測量光譜圖像的過程中，受自然條件和環境等因素的影響，大多數地面的真實測量數據幾乎不可能獲得，從而導致圖像中的端元無法自動獲取.對于這種無法從圖像中提取端元的情況，若能實現對高光譜遙感數據進行數據驅動下的盲分解，則非監督的混合像元分解就顯得重要.非監督的混合像元分解，能做到的就是在完全不了解端元信息的情況下，直接以遙感圖像本身為目標，根據混合像元的光譜模型及約束條件等信息，把混合像元分解為端元光譜矩陣及其在像元中所占的比例矩陣，即系數矩陣或豐度矩陣［1］.在現有資料研究中，混合像元模型主要包括2 類:線性光譜混合模型和非線性光譜混合模型.近年來，隨著對光譜混合特性的進一步研究，線性光譜混合模型越來越引起更多學者的重視［2－9］.對此，本研究首先對線性光譜混合模型進行描述，然后在線性混合模型的基礎上，再對混合像元分解算法進行討論.

1 線性光譜混合模型

線性光譜混合模型［10］的表達式為，

式中，x 為m(m 為影像波段數)維混合像元光譜，是遙感影像圖已獲得的實際測量值，A 為m ×p(p 為端元數目)的端元矩陣，其中每一列代表一個端元的光譜向量，向量s 為像元中各端元的豐度，ε 為m 維模型誤差或高斯隨機噪聲.

若把遙感圖像中的全部像元均考慮在內，式(1)可寫為，

式中，X ∈Rm×n，其列向量表示各個像元的光譜;S∈Rp×n構成系數矩陣或豐度矩陣.

在線性光譜混合模型中，系數矩陣S 需滿足2個限制條件［6］，即:1)非負性.

2)豐度和為1.

2 非負矩陣分解模型

約束非負矩陣分解(Constrained Nonnegative Matrix Factorization，CNMF)算法通過加入非負限制可將一個非負矩陣分解(Nonnegative Matrix Factorization，NMF)分為2 個非負矩陣A 和S 的乘積，

X = A × S

其中，A 為m × p 階矩陣，S 為p × n 階矩陣，p ∈min(m，n).

目標函數式為，

由式(5)可知，NMF 算法理論上就是一個最優化問題，其目的就是目標函數在基于歐氏距離的要求下尋找到最小值，并滿足A 和S 滿足非負性的約束［3］.式(5)中，σ 和τ 是規則化參數，σ‖A‖2/2 和τ‖S‖2/2 為引入的平滑性約束，目的是調節逼近誤差和平衡約束的消長關系.在尋求最小值的過程中，A 和S 遵循的迭代準則為，

在式(6)的指引下，式(5)是單調非增的.當A和S 值穩定時，目標函數值不再發生變化.在高光譜解混中，可以有意識地把X 設想成m 維混合像元光譜，利用上述迭代規則尋求滿足非負性的端元矩陣和豐度矩陣.需要注意的是，為了滿足式(4)的成立，每一步迭代后仍需對S 按，

做歸一化處理［5］.

3 基于最小體積約束的非負矩陣分解方法

基于最小體積約束的非負矩陣分解方法(Nonnegative Matrix Factorization Method Based on Minimum Volume Constraint，MVC-NMF)在最小二乘和凸面幾何結合的基礎上，把體積約束附加到NMF 中，其相應的目標函數式為，

用來計算單體體積的懲罰項.φ ∈R.

把交替最小平方法引入到上述優化問題中，就可以利用，

把初始問題分解為2 個小問題.在計算過程中，保持矩陣A 和S 任何一個不變來交替更新另一個，并采用梯度投影學習規則強化每個小問題中的矩陣非負限制.若出現不滿足約束限制的負值，則在保持非負變量不變的同時，利用函數max(0，x)將負值設定為0，則有，

將目標函數f(A，S)對矩陣S 求偏導數，

Sf(A，S)= AT(AS－X)，

令，

則目標函數對矩陣A 的偏導數為，

由此，MVC-NMF 算法的具體步驟為:

①輸入混合光譜數據矩陣X ∈Rm×n(m 為波段數，n 為像元數);

②用虛擬維度［9］的方法估計端元數P;

③從X 中任意選取P 列充當初始源矩陣A ∈Rm×P;

④生成初始系數矩陣S ∈RP×n，并根據式(7)對S 進行歸一化處理;

⑤設定最大迭代次數MaxIter;

⑥根據式(10)分別更新A 和S 并根據式(7)對矩陣S 再做歸一化處理;

⑦設置最大迭代次數MaxIter;

⑧若MaxIter 已達到最大值或目標值不再收斂，則算法結束;否則重復步驟⑥.

4 實 驗

為了檢驗MVC-NMF 算法對混合像元分解的性能，在實驗中，采用USGS 光譜庫中的五條光譜來構建模擬數據，添加噪聲所用的信噪比為30 dB，光譜曲線如圖1 所示，同時，還將本算法與平滑LO 模約束的MVC-NMF(MVC-NMF with Smoothed LO norm Constraint，SC-MVC-NMF)算法的實驗結果進行對比.

1)端元數不同時的實驗對比.為了對比在不同端元數目情況下2 種算法的結果，實驗中給模擬圖像添加了30 dB 的高斯噪聲且采用的最大迭代次數為60 次.MVC-NMF 算法和SC-MVC-NMF 算法均采用VCA+FCLS 進行初始化.將端元數設定為5、6、7時，2 種算法提取結果的運行時間及相似性測度的結果如表1 所示.

圖1 構建模擬圖像的5 條光譜

表1 端元數不同時的實驗對比

由表1 可知，在端元數目不同的情況下，MVCNMF 算法的精度略低于SC-MVC-NMF 算法，但其運行時間明顯較快.

2)噪聲的穩健性對比.為了對比2 種算法的抗噪性，利用上述5 條光譜構建模擬圖像，并在模擬數據中分別添加SNR =10、20、30、40 dB 的高斯噪聲且設定最大迭代次數為60.MVC-NMF 算法和SCMVC-NMF 算法均利用VCA +FCLS 進行初始化.在不同的信噪比下，MVC-NMF 和SC-MVC-NMF 算法獲取的端元光譜、豐度矩陣的相似性測度如表2 所示.

表2 噪聲的穩健性對比

從表2 可以看出，在信噪比減小的情況下，2 種算法的結果都逐漸變差，盡管SC-MVC-NMF 算法運行時間略有增加，但其混合像元分解的結果始終優于本研究算法提取的結果.

3)實驗結果表明，噪聲的穩健性方面，在端元數不同的情況下，本研究算法收斂速度較快，但其混合像元解混的結果略差，因此，附加條件下MVCNMF 的改進成為下一步研究的重點.

5 結 論

本研究提出的MVC-NMF 算法對于高光譜圖像混合像元分解問題有較大的實用價值，然而MVCNMF 算法在計算過程中表現出來的收斂效果略差的缺點，卻影響了高光譜混合像元分解的效率，且很難找到最優解，這些劣勢限制了非負矩陣分解模型的應用.因此，在以后的研究過程中，應進一步探索更為快速高效的高光譜混合像元分解的NMF 算法.

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