等價無窮小在求極限運算中的應用

孫衛衛，杜美華，孫建英

（青島理工大學琴島學院，山東青島266106）

等價無窮小在求極限運算中的應用

孫衛衛，杜美華，孫建英

（青島理工大學琴島學院，山東青島266106）

本文主要是討論等價無窮小在極限運算中的應用.通過應用極限的四則運算法則證明,得到這樣的結論：在求極限中的乘除運算與冪指函數的求極限當中，等價無窮小可以做到無條件的替換，而在加減運算中可以做到有條件的替[1]換.這樣使得等價替換在型未定式的計算中可以有效的減少計算量，在一定程度上比洛必達法則求解問題更加的簡捷.

極限；等價無窮小；等價替換；洛必達法則；未定式

在高等數學中，我們都了解等價無窮小在求極限的乘除運算中是可以替換的.

1 定理1

在自變量的同一變化過程中，若α1(x)～α2(x)，β1(x)～β2(x)，則有以下結論：

例1（1）

（2）

（3）

（4）

例2

如果在本題的分子中直接采用等價無窮小替換，也會得到同樣的結果，即

我們似乎感覺等價無窮小在加減運算中也是可以替換的，但是在例1中的（1）、（2）中若用等價替換：

這樣又會得到錯誤的結果.

2 定理2

證畢.

證明

證畢.

例3（1）

（2）

（3）

3 引理

證明

證畢.

證明

證明例4

例5

從本文中的例題中可以看出掌握等價替換的條件對我們求函數，數列的極限會有很大幫助，在某種程度上可以大大減少計算量.

〔1〕同濟大學數學系.高等數學（上冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

O13

A

1673-260X（2014）05-0003-02