基于相角裕度與魯棒性解析法設計分數階PIλ控制器

高學利 呂廣芝

(煙臺萬華化工設計院有限公司，山東 煙臺 264006)

隨著現代工業的發展和工業過程控制精度的不斷提高，對工業過程數學模型的建立提出了更高的要求，傳統的整數階模型不能達到精度要求，因為實際的工業過程控制中有許多系統都是分數階系統。隨著分數階微積分理論的發展[1]，人們建立分數階微分方程來描述實際分數階系統，這樣可以使模型更加精確。

由于PID控制器具有結構簡單、魯棒性強及易于操作等特點，被廣泛地應用于工業過程控制中。對分數階被控系統，用傳統整數階PID控制器來控制往往達不到理想的控制效果。當系統參數變化時，整個閉環系統控制效果變差甚至會不穩定，所以，針對分數階被控系統，科學家們提出了分數階控制器。由于分數階PID控制器具有變量多、自由度高的特點，這給研究人員提供了更大的想象空間，并進行著不同方向的研究[2，3]。目前，分數階控制理論已在工業過程控制中，特別是在冶金、化工、電力、輕工及機械等行業得到了廣泛應用。筆者將介紹一種基于相角裕度與魯棒性解析法設計的分數階PIλ控制器。通過仿真對比常規PI控制器，表明設計的分數階PIλ控制器具有更好的魯棒性。

1 分數階PIλ控制器①

傳統的SISO閉環控制結構如圖1所示。

其中被控對象G(s)的形式為：

(1)

圖1 閉環控制系統

其中，L表示滯后時間，L>0；k表示被控對象增益；N(s)和D(s)是整數階或者分數階多項式；控制器C(s)為分數階PIλ控制器，其形式為：

(2)

其中，kP是控制器的比例增益，TI是積分時間，分數階積分階次λ∈(0,2)。顯然，控制器(2)比常規的PI控制器多一個可調節參數λ，從而提高了控制器的設計自由度，為額外的設計要求提供了可能。

筆者的目的是提供一種簡單的解析法，設計分數階PIλ控制器使系統得到期望的相角裕度，且當被控對象的增益發生變化時，系統階躍響應變化不大，從而使系統有更好的魯棒性。

2 分數階PIλ控制器設計

首先，考慮開環控制系統G(s)C(s)在幅值穿越頻率ωc處的相角裕度，滿足下列方程：

=-π+φm

(3)

其中φm為期望的開環系統相角裕度，A(ωc)=∠G(jωc)。眾所周知，系統的相角裕度直接影響系統階躍響應的超調量。

由式(3)推出：

(4)

為使系統增益發生變化時，系統有較好的魯棒性，引入如下方程：

(5)

該設計的目的是使系統的伯德圖在幅值穿越頻率處變化平緩，這意味著當系統增益發生變化時，系統的階躍響應超調量變化不大，從而使控制系統具有較強的魯棒性。

由式(5)可推出：

(6)

其中：

綜上所述，分數階PIλ控制器設計需要確定3個參數λ、kp和TI，而兩個方程(4)和(6)不能確定3個未知數。因此，附加最后一個方程：

|C(jωc)G(jωc)|=1

(7)

從式(7)推出：

(8)

其中,C(ωc)=|G(jωc)|。

由式(4)可得：

(9)

將式(9)代入式(6)得到：

(10)

給定截止頻率ωc，非線性方程(10)的唯一未知量λ可用圖解法解得。

由式(9)可推出：

(11)

根據式(8)可得到：

(12)

3 仿真研究

本章中仿真研究的被控制對象為整數階時滯被控對象和分數階時滯被控對象。

例1 一階時滯系統

(13)

這類傳遞函數是由許多工業生產過程中的S形響應曲線逼近出來的。假設k=5，T=10，L=0.4。根據解析法設計分數階PIλ控制器。給定期望的相角裕度φm=π/4，截止頻率ωc=0.9。利用上述方法依次求得λ=1.06，TI=3.71，kP=1.26。

為顯示分數階PIλ控制器的優越性，對比常規的PI控制器。

(14)

利用著名的Ziegler-Nichols整定規則整定PI控制器的參數。四分之一衰減曲線法得到TI=1.33，kP=4.5。

根據上述結果，分別做出PIλ控制系統和常規PI控制系統的開環伯德圖，如圖2所示。

圖2 開環伯德圖

從圖2中可以看出，在幅值穿越頻率ωc處，通過解析法得到的PIλ控制系統的相角裕度曲線變化平緩，而通過Z-N方法整定得到的常規PI控制系統相角裕度變化很大。因此可以推得，依照傳統的Z-N整定方法得到的PI控制器的魯棒性比筆者提出的通過解析法得到分數階PIλ控制器的差。

當開環控制系統增益在±20%之間變化時，分別繪出分數階PIλ控制器與常規PI控制器控制下系統的階躍響應曲線(圖3)。

圖3 階躍響應曲線

仿真結果表明，當被控對象的增益變化時，通過解析法設計的分數階PIλ控制器能使系統達到期望的魯棒性，而常規PI控制器的控制效果不好。

例2 分數階被控對象

(15)

這是一個普通的膜式電容器的分數階模型，在描述細胞膜、細胞、組織和大量的生物組織方面有著非常重要的意義。假設T=0.4，k=1，α=1.4，接下來設計相應的分數階PIλ控制器。給定期望的相角裕度為φm=π/3，幅值穿越頻率ωc=0.5。由上述方法可求出3個參變量的值分別為λ=0.72，TI=2.89，kP=0.31。

當系統的增益在0.8～1.2(標量±20%)變化時，分別繪出各自的閉環階躍響應曲線(圖4)。顯然，用解析法設計的分數階控制器控制這種類型的分數階被控對象，能使系統有較強的魯棒性。

4 結束語

由于分數階微積分環節所固有的一些特性，其可以更加真實地反映實際系統的漸近變化情況，且引入的積分、微分階次能增加模型設計的靈活度。雖然分數階系統的離散化數字實現仍然相對困難，實施結果相對復雜，但隨著計算技術的高速發展，在自動控制理論工程實際應用中分數階微積分理論必將有著越來越廣泛的應用。

圖4 階躍響應曲線