基于區間直覺模糊集的Sinarchy超矩陣構造方法改進

謝 暉，段萬春，孫永河，孫新樂

昆明理工大學 管理與經濟學院，昆明 650093

基于區間直覺模糊集的Sinarchy超矩陣構造方法改進

謝 暉，段萬春，孫永河，孫新樂

昆明理工大學 管理與經濟學院，昆明 650093

1 引言

美國運籌學家Saaty教授在層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）的基礎上提出了網絡分析法（Analytic Network Process，ANP）[1-2]，該方法通過構造系統要素間相互聯系的影響超矩陣并對其求極限，從而得到被評價對象的極限影響排序（Limiting Influence Priorities，LIP），進而找出最優備選方案。作為一種能夠科學、合理地反映社會經濟系統中元素復雜關聯關系的評價與決策工具，ANP以其全面性、精準性等優勢受到了國內外諸多學者的關注并被廣泛應用于各個領域。如 Petri、Sheeba、Hakyeon Lee、孫宏才等人分別將ANP應用到ERP的實施、城市固體廢棄物的優化處置、績效評估最優模型、應急橋梁設計等眾多決策問題中[3-6]；文獻[7-9]從方案保序、判斷矩陣一致性、標度范圍等方面對AHP/ANP的內在機理做了深入的探討。從現有文獻研究成果來看，大多數學者更側重于ANP傳統方法的應用及方法組合研究，對其理論與方法上的創新性突破的研究則是從還原論的思維出發對其局部的缺陷予以改進。值得一提的是國內學者李春好教授等針對ANP內部獨立循環型系統（CSII）中方案對目標的影響矩陣（IMAG）的構造所做的改進[10]，以及學者孫永河基于非線性復雜系統觀對ANP傳統結構重新劃分，并針對CSII與HSICD兩種典型的ANP系統進行的研究[11]，表明了國內學者已經開始從系統整體性思維與復雜性思維出發，對傳統ANP超矩陣的構造方法重新梳理并針對其固有的重大缺陷進一步改進與完善。

Sinarchy結構（最下面兩層帶反饋關系的遞階系統結構）是Saaty教授于2001年對ANP系統結構重新劃分的五種基本結構之一，Sinarchy超矩陣的構造過程中針對方案對準則的影響矩陣（Influence Matrix of Alternatives to Criterions，IMAC）的構造采取了和其他子矩陣完全相同的構造方式。如上所述傳統ANP中超矩陣的構造是基于西方哲學還原論思維模式，即將整體分解為部分，高層次還原為低層次，并由大到小、由淺入深地認識事物的過程，而IMAC的構造是基于方案對準則的判斷，是立足于部分對上層整體、由具體到抽象的認知判斷過程。而人固有的思維模式導致判斷本身就具有高度不確定性，對復雜系統中的整體行為認知更為有限，傳統的點估計值很難反映出專家對決策問題的準確評價，從而導致最終的決策效果大打折扣。因此，本文在錢學森提出的第三代系統思想——綜合集成法指導思想的前提下，認為在IMAC矩陣構造中以區間直覺模糊數反映專家對各元素的偏好能夠更有效地克服點估計值帶來的高度不確定性。下文以Sinarchy系統作為研究對象，在分析傳統ANP中對IMAC矩陣構造缺陷的基礎上，提出了一種基于區間直覺模糊集的Sinarchy超矩陣改進方法。

2 Sinarchy超矩陣傳統構造方法及其缺陷分析

傳統ANP的分析方法首先根據社會經濟系統中的決策問題構造ANP模型：按照屬性劃分為各個元素集，包括目標集(GC)、準則集(CC)以及方案集(AC)，其中準則集又可根據實際需要分解為多個子準則集(CC1，CC2，…，CCZ)。根據復雜系統理論，ANP元素集之間、元素集內部各元素之間、不同元素集的各元素之間都可能存在復雜的關聯關系，如內部依存性、外部依存性、反饋關系、循環關系等。Sinarchy結構是ANP系統結構中一種特殊的結構：除最后一層方案集元素內部依賴外，其余各元素集內部元素之間相互獨立，最下面兩層元素集之間形成反饋的遞階層次結構，可表示為“GC→CC1→…→CCZ?AC”，具體如圖1所示。

參照圖1所示的系統結構圖，傳統ANP給出的解決方案主要步驟如下[12]。

圖1 Sinarchy系統結構圖[1]

（1）以目標集中的元素 gi(i=1，2，…，n)為控制準則，將下一層準則集中的所有元素c11，c12，…，c1m分別基于gi進行兩兩比較，形成目標集元素影響下的兩兩比較判斷矩陣。

（2）按照傳統AHP/ANP給出的判斷矩陣處理方法（最小二乘法、特征根法等）計算各準則 c11，c12，…，c1m對于控制準則gi的單排序權重向量并對矩陣進行一致性檢驗。

（4）根據以上步驟依次構造出上層元素集對下層元素集（即準則集對子準則集、子準則集對下層子準則集、…、最底層準則集對方案集）的影響矩陣，方案集的元素內部依賴矩陣，最后構造出方案集對上一層子準則集的影響矩陣，分別記為W32，W43，…，WZ，Z-1，I及WZ-1，Z。根據Sinarchy系統結構可知，其他元素集內部元素彼此相互獨立、元素集之間不存在直接影響關系，記它們之間的影響子矩陣為零矩陣。由此構造出Sinarchy系統的超矩陣如式（2）所示。

據式（2）可以看出，子矩陣WZ-1，Z的構造是由專家基于方案集對上一層準則集的相對重要性進行判斷。WZ-1，Z若完全按照傳統ANP基于還原論的指導思想采用點估計值的方式進行構造，則會使其構造過程中出現較大的邏輯判斷困難。準則集往往會受到上層目標集、下層方案集等各層元素的雙重影響和綜合作用，所呈現的特征并非是還原論中整體等于部分之和的簡單線性相加，因而會表現出多樣化、復雜性的特質，故專家判斷應是基于方案集中元素之間涌現效應而進行的整體認知。由于固有思維模式的限制，決策者對整體行為的準確認知與局部認知相比較顯得更為困難。通常點估計值過于確定性的判斷更適合于以局部精確性見長的還原論分析方式，在以關注整體性為主要思路的WZ-1，Z子矩陣的構造中若采用同樣的測度方式反而會使決策專家的判斷出現更大的偏差，使決策效果不夠理想。若單從整體論的研究視角出發，其分析方式往往以模糊信息與宏觀分析見長，對決策問題的判斷更多依賴于經驗與直覺，具有高度的主觀性、不確定性與模糊性[13]，如將ANP中所有的判斷都以模糊信息予以表達，又會使決策的精確性與科學性受到一定程度的質疑。

3 新方法構建思路及預備知識

3.1 整體論與還原論相結合的構建思路

AHP/ANP將復雜問題按其內在規律分解為若干元素，再將這些元素依據其支配關系及屬性特征形成不同的層次或網絡結構，接下來由專家通過主觀偏好的判斷采用兩兩比較法確定決策方案的相對重要性，最后通過定量的數學方法再將專家給出的判斷信息予以集成從而反映出每個決策方案的重要性排序。其整個決策過程體現了人的決策思維的基本過程——基于還原論的分析過程，即將整體分解為部分、高層次還原為低層次，把各部分、各層次認識清楚之后，將部分之和線性累加為整體。事實上，復雜性科學指出，社會經濟復雜系統具有非線性、層次性、開放性、涌現性等特征[14]，而AHP/ ANP的研究范式未能完整、如實地反映出復雜問題的整體性、過程性與復雜性，簡化過程也丟失了局部原有的特征與屬性，尤其是當各層次元素的非線性作用產生部分之和大于整體的涌現效應時，必須要重新思考AHP/ ANP問題的研究思路。與西方哲學相對應的中國古典自然哲學的主流思想——整體論則是從宏觀的角度來認識系統的功能（系統內部各要素的相互聯系與作用決定其宏觀性質），能夠克服還原論中只見樹木、不見森林的不足，也為AHP/ANP基于部分認知整體提供了新的研究視角。但整體論往往借助模糊信息的方法來認識系統功能，更多依賴于決策者的直覺、經驗判斷，導致主觀性較強，缺乏微觀精確性，難以對系統結構有深刻的把握，因而又需要還原論的局部精確分析進一步完善對復雜問題的全面認知。

為此，錢學森提出了使用“從定性到定量的綜合集成法”，即在訴諸專家實踐經驗的基礎上，通過數學建模實現定量的認識，并借助于計算機同時發揮機器與人腦共同的智慧[15]。因此，在AHP/ANP的進一步深入研究探討的過程中，應當在綜合集成法思想的指導下，實現還原論與整體論的統一與融合，形成真正適應AHP/ ANP系統復雜性的科學方法。因此，下文所提出的基于區間直覺模糊信息的超矩陣改造方法，保留原有基于上層元素集（整體）對下層元素集（部分）的影響子矩陣構造中使用點估計值的判斷方法，而在基于方案集（部分）對上一層準則集（整體）進行認知判斷時，摒棄原先采用的點估計值，引入區間直覺模糊數表達專家偏好，一方面克服判斷的不精確性，另一方面也更加符合復雜性科學的邏輯思維。兩種方法的結合使用既能合理地反映出決策背景與決策問題的復雜性帶給專家個人主觀判斷的模糊性與不確定，又能客觀地體現出決策的科學性與嚴謹性。

3.2 區間直覺模糊集相關知識

決策是建立在人類認識與活動的基礎上對事物的評價與選擇，涉及到人的主觀偏好、實踐經驗、知識背景等各種元素，而這些元素本身具有模糊特征，導致人的決策行為同樣表現出高度的不確定性與模糊性。因此Zadeh提出了模糊集理論予以反映人類在決策過程中產生的模糊性，其主要思想是給每個對象賦予一個0～1之間的數作為該對象的隸屬度[16]。然而當需要表述既不支持也不反對該對象的特征時，傳統模糊集便無法完整地表達出決策問題的全部信息而受到制約。1986年保加利亞學者Atanassov對傳統的模糊集進行了拓展，從僅考慮隸屬度拓展為同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面信息，提出了直覺模糊集的概念，由于直覺模糊集在處理模糊性和不確定性方面更具靈活性和實用性而得到了廣泛的應用[17]。然而，在實際應用過程中，精確的實數有時也難以表達隸屬度、非隸屬度與猶豫度的準確程度，于是1989年Atanassov再次將直覺模糊集推廣，提出了采用區間隸屬度表達直覺模糊集更為合適，并明確定義了區間直覺模糊集的概念，給出了相關的運算法則[18]。

4 基于區間直覺模糊的Sinarchy超矩陣構造改進方法

依據上述理論思想，下文給出一種基于區間直覺模糊的Sinarchy超矩陣構造方法，具體步驟如下。

步驟1構造各層元素集基于上層準則集的影響子矩陣。如目標集對準則集的影響子矩陣W；上一層準則集對下層子準則集的影響子矩陣W、W、…；以及最后一層子準則集對方案集的影響子矩陣。構造方法仍為傳統ANP矩陣的構造方法，即首先由專家給出基于上層控制準則的元素相對重要性的兩兩比較判斷矩陣，測度標準仍為點估計值。

步驟2依據給出的判斷矩陣按照常規的矩陣判斷處理方式（特征根法等）依次計算出單準則下的權重向量。以為例，各準則單排序權重向量為則影響子矩陣如式（5）所示：

步驟4將式（4）代入式（6）計算每個區間模糊數的精確函數，將其轉化為實數矩陣。接下來依據步驟2依次計算在控制準則（方案）ai(i=1，2，…，l)下的各準則單排序權重向量為據此構造出子矩陣如式（7）所示。

步驟5各影響子矩陣共同構成Sinarchy未加權超矩陣W'，如式（2）所示。

步驟6構造加權矩陣 A，并基于構造出的加權矩陣求出加權超矩陣-W'。分別將每個元素集作為一個控制元素，對其他元素集進行兩兩比較，構造出相應的加權矩陣A，并求出加權超矩陣-W'如式（8）、（9）所示。

步驟7基于加權超矩陣求其極限超矩陣，得到方案最終排序。求的t次冪，直到該矩陣達到穩定狀態，即可得出各方案的極限相對排序。

5 算例分析

為驗證上述方法的有效性和可行性，下文給出一個例子對上述超矩陣構造改進方法予以具體運算說明。這個實例是K大學G學院進行工商管理碩士研究生的復試審核，共有三個人通過初試。三個候選人（視為方案集）記作 a1，a2，a3；審核的目標（即目標元素集）為合格與不合格，分別用g1，g2予以表示；審核標準（即準則集）有三方面：專業知識、綜合素質、英語技能，記為c1，c2，c3。該實例的系統結構圖如圖2所示。

首先按照ANP方法，依據上述改進方法的步驟1、2請專家分別基于目標集元素與準則集元素對因素間的相對重要性進行兩兩比較判斷，構造影響子矩陣

表1 判斷矩陣D1

表2 判斷矩陣D2

表3 判斷矩陣D3

圖2 候選人復試問題的系統網絡結構

根據上述判斷矩陣 D1，D2，D3依次計算在 a1，a2，a3下的單準則排序權重，并據此構造子矩陣W如下：

至此，未加權超矩陣W'構造完畢，具體如表4所示。

表4 未加權超矩陣W'

同理依據步驟6構造加權矩陣A如下：

表5 加權超矩陣

表5 加權超矩陣

g1 g2 g1 0 0 g2 0 0 a1 0 0 a2 0 0 a3 0 0 c1 c2 c3 a1 0.500 0.220 0.280 0.435 0.366 0.199 c1 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 0.341 0.326 0.333 0.316 0.362 0.322 0.342 0.308 0.350 a2 a3 0 0 0 0 0 0 0.420 0.355 0.225 0.334 0.362 0.304 0.258 0.402 0.340 0 0 0 0 0 0 0 0 0

表6 極限超矩陣

表6 極限超矩陣

g1 g2 c1 0 0 c2 0 0 c3 0 0 c1 c2 c3 a1 g1 0 0 0 0 0 g2 0 0 0 0 0 0.331 0.334 0.333 0.331 0.334 0.333 0.331 0.334 0.333 a1 0 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 0 a2 a3 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289 0.337 0.373 0.289

比較表6數據信息可知，應用本文提出的超矩陣構造改進方法其排序結果為a2?a1?a3，即在錄取名額有限時，專家應按照該順序對候選人進行相應的篩選。通過上述分析可知，本文所提出的基于區間直覺模糊集的超矩陣構造改進方法充分考慮了專家基于部分對整體認知時的局限性，在原有直覺模糊數也未能準確表達專家判斷模糊程度的前提下，區間直覺模糊集更能完整、客觀地表達出專家對決策問題的整體判斷，也符合實際決策情境，從理論上也與“從定性到定量的綜合集成法”高度契合。通過實例應用，表明本文所提出的方法更加符合客觀實際，具有應用可行性。

6 結論

網絡分析法（ANP）自誕生起就以其科學性與靈活性受到了管理科學工作者的廣泛關注并應用于諸多領域。在ANP分析過程中，超矩陣的構造能夠系統地反映決策問題的結構模型及復雜關聯關系，因此科學合理地構造超矩陣是ANP的關鍵技術。然而絕大數文獻在對ANP子矩陣的構造過程中忽略了不同位置的子矩陣具有不同的屬性特征，而采用了完全一致的構造方法，導致決策的科學性受到質疑。為克服上述缺陷，本文針對ANP中Sinarchy結構中IMAC子矩陣的構造問題，在分析其傳統構造方法缺陷的基礎上，提出了應將整體論與還原論兩種方法論結合，并運用錢學森倡導的從定性到定量的綜合集成法作為ANP分析解決問題的思路，指出了將區間直覺模糊集應用于IMAC子矩陣構造過程中表達專家偏好的合理性，進而給出了一種基于區間直覺模糊集的Sinarchy超矩陣構造的改進方法。本文所提出的新方法具有以下優點：（1）從錢學森倡導的“從定性到定量的綜合集成法”的視角重新審視ANP應用于復雜系統、解決復雜決策問題的思路，克服了以往ANP中以還原論的思維模式分析問題的局限性，使得ANP的決策方法更具理論依據性，決策科學性進一步增強。（2）采用區間直覺模糊數代替點估計值，能夠從區間隸屬度、非隸屬度、猶豫度三個層次反映決策專家的偏好信息，避免了專家由于對整體認知的有限性帶來的判斷偏差過大的缺陷，能夠更加客觀、全面地表達專家的偏好信息，也更深刻地刻畫了復雜系統的模糊性本質，同時拓寬了區間直覺模糊集的應用范圍。（3）對Sinarchy結構中IMAC子矩陣構造的改進，也為ANP其他系統結構中基于局部對整體進行判斷這一類型的問題提供了新的解決思路，具有一定參考價值。最后，通過一個具體實例的驗證表明，本文所提出的方法是科學合理的，具有較好的實際應用可操作性。

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XIE Hui,DUAN Wanchun,SUN Yonghe,SUN Xinle

Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China

To solve the construction problem of Sinarchy structure supermatrix in Analytic Network Process（ANP）,an improved method based on interval-valued intuitionistic fuzzy set is put forward.From the angle of the inherent attributes and characteristics of the last two layer which has the feedback relation in the Sinarchy,the traditional method has limitations for the construction of influence matrix of alternatives of criterions.So the new thought to solve the above problem has been proposed that should persist the combination of holism and reductionism,also should follow the ideology from the qualitative to the quantitative analysis of the comprehensive integration which advocated by Qian Xuesen.Then this paper introduces interval-valued intuitionistic fuzzy set to reflect expects’preference in IMAC,instead of adopting point estimates.Applied of a real example,the improved method is validated to be feasible and applicable.

analytic network process;Sinarchy;interval-valued intuitionistic fuzzy set;supermatrix

針對網絡分析法（ANP）中Sinarchy結構的超矩陣構造問題，提出了一種基于區間直覺模糊集的超矩陣構造改進方法。從Sinarchy結構中具有反饋關系的最后兩層元素集的固有屬性及特征出發，分析了采用傳統方法構造方案對準則的影響矩陣（IMAC）的局限性，提出了應結合整體論與還原論、并遵循錢學森倡導的從定性到定量的綜合集成法作為ANP分析解決問題的思路。通過引入區間直覺模糊集代替傳統點估計值反映專家偏好進而重新構造IMAC。具體實例應用表明，該方法針對Sinarchy結構的排序問題具有較好的實際應用可行性。

網絡分析法；Sinarchy；區間直覺模糊集；超矩陣

A

N94

10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0422

XIE Hui,DUAN Wanchun,SUN Yonghe,et al.Improved method for construction of Sinarchy supermatrix based on interval-valued intuitionistic fuzzy set.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：10-15.

國家自然科學基金（No.71263031，No.71261013）；教育部人文社會科學研究青年基金項目（No.10YJC630218）；云南省科技計劃項目（No.2010ZC060）。

謝暉（1982—），女，博士生，講師，研究領域為管理科學與工程；段萬春（1956—），男，教授，博導，研究領域為復雜行為決策；孫永河（1978—），男，博士/博士后，副教授，研究領域為復雜系統決策與優化；孫新樂（1976—），男，博士生，助理經濟師，研究領域為管理科學與工程。E-mail：zhubing811109@126.com

2014-03-28

2014-06-06

1002-8331（2014）23-0010-06

CNKI網絡優先出版：2014-07-01,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0422.html