基于高斯曲率識別板式無砟軌道中CA砂漿脫空傷損①

胡志鵬，王平，熊震威，代先星

(1.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031;2.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031)

CA砂漿作為板式無砟軌道結構的重要組成部分，其主要功能是作為調整層，提供板式軌道一定的彈性緩沖作用，其性能的好壞直接形響板式軌道應用的耐久性和維修工作。目前，我國高速鐵路運營里程有萬余公里，無砟軌道傷損也日顯突出，其中CA砂漿傷損最嚴重，很有必要探索適合無砟軌道傷損檢測的方法。由模態分析理論可知，伴隨系統特性的改變必然導致模態參數的改變［1］，Pandey等［2－4］通過計算，研究了曲率模態的變化與損傷的關系，得出曲率模態是一個對傷損很敏感的參數。陳紅等［5－8］用曲率模態及曲率模態差分析板式結構傷損，由于板式結構存在2個方向的曲率，何欽象等［9－10］提出用高斯曲率模態差識別結構傷損。由于軌道板－CA砂漿系統傷損前的數據很難得到，不容易計算出高斯曲率模態差。基于此原因，本文選擇各階模態下軌道板高斯曲率來識別CA砂漿的傷損。

1 理論背景

1.1 軌道板振動理論

由于軌道板的厚度比其長度和寬度小很多，軌道板在垂向可視為彈性薄板，根據彈性薄板理論，軌道板的垂向無阻尼自由振動方程可寫為［11］:

式中:w1(x，y，t)為軌道板垂向撓度;hs為軌道板厚度;xFi，yFi為軌道板下第i個支撐點沿長度方向和寬度方向的坐標;E為軌道板彈性模量;NF是軌道板下離散支承點數;FsVi是軌道板下第i個支承點的垂向反力;ρs為軌道板密度;Ds為軌道板彎曲剛度。

在給定邊界條件下，可以由式(2)解出振型函數W和相應的頻率，利用初始條件可以求得軌道板在任一階模態下的位移。

1.2 高斯曲率

在計算軌道板曲率模態時，會涉及x，y 2個方向的曲率模態值，由微分幾何知識可知，高斯曲率可以綜合反映板狀結構2個方向上的曲率。設振型曲面［x，y，z(x，y)］上任一點的2個主曲率為 k1和k2，則其乘積稱為曲面在這一點的高斯曲率，通常以 K 表示［12］。即

由于軌道板等間距劃分，所以利用差分法分別計算 p，q，u，s，t的值。

2 模型建立

利用有限元軟件進行建模分析，建立軌道板－CA砂漿模型，軌道板采用shell63單元模擬，CA砂漿采用combin14彈簧單元模擬。軌道板參數為:彈性模量 E=3.65 ×1010Pa，密度為 2500 kg/m3，泊松比為0.2;砂漿 E=3×108Pa;軌道板長度4.8 m，寬 2.4 m。橫向劃分 12份，縱向劃分 24份，軌道板四周采用全約束。模型中采用刪除CA砂漿彈簧來模擬CA砂漿的脫空傷損，選取不同位置的砂漿脫空傷損進行計算分析。傷損工況如表1所示。

表1 CA砂漿脫空傷損Table 1 Void damage of CA mortar

2.1 基于固有頻率識別CA砂漿脫空傷損

首先計算CA砂漿有損傷和無損傷時的固有頻率，計算結果如表2所示。從前十階計算結果中可以看出，只有第一階固有頻率變化幅度較大，其他階固有頻率變化很小，不能從固有頻率的變化來準確識別傷損，只能作為一個初步判斷的依據，為后續分析提供基礎信息。

2.2 基于高斯曲率識別CA砂漿脫空傷損

2.2.1 軌道板－CA砂漿無傷損

通過對軌道板－CA砂漿模型的模態分析，計算出軌道板在各階模態下的位移模態，利用高斯曲率理論識別CA砂漿的脫空傷損，考慮到以軌道板彎曲振動為主，本文只計算軌道板前五階高斯曲率。通過編制matlab程序計算工況1和工況2的前五階軌道板的高斯曲率，圖1為工況1CA砂漿無脫空時的前五階高斯曲率計算結果。

表2 軌道板－CA砂漿系統前十階固有頻率Table 2 First ten natural frequencies of the slab－CA motor system

圖1 工況1前五階高斯曲率Fig.1 Working condition one of the first five order gaussian curvature

從計算結果可以看出，各階模態下高斯曲率曲面平滑，軌道板高斯曲率形狀與振型相對應，且沒有出現明顯尖峰，說明軌道板－CA砂漿系統沒有傷損。

2.2.2 軌道板－CA砂漿有單處傷損

由于CA砂漿無傷損時計算了前五階模態，工況2與之相對應也計算前五階高斯曲率。工況2傷損模型如圖2所示，計算結果如圖3所示。

圖2 CA砂漿脫空傷損模型Fig.2 Mode of the void damage of CA mortar

圖3 工況2前五階高斯曲率Fig.3 Working condition two of the first five order gaussian curvature

從軌道板前五階高斯曲率計算結果來看，CA砂漿無損傷高斯曲率(圖1中(a)～(e))與有損傷高斯曲率(圖3中(a)～(e))有明顯差異;其中第一階、二階、三階高斯曲率在 X坐標:1.0～1.4，Y坐標:1.0～1.4區域內出現明顯的尖峰，說明軌道板在該區域范圍內曲率發生變化，進而可以判斷出在該區域存在傷損。第四、五階高斯曲率在X坐標:1.0～1.4，Y 坐標:1.0 ～1.4 區域內沒有出現尖峰值，主要原因是該傷損處在這兩階模態的節線上，所以該方法對處在節線上的傷損識別存在不足，但可以綜合前五階模態結果來準確定位傷損的位置。

通過比較前五階高斯曲率的計算結果，其中第一階高斯曲率結果最明顯，不僅能直觀的判斷軌道板－CA砂漿系統存在傷損，而且還可以準確識別傷損的位置。基于此，工況3至工況6只計算軌道板第一階高斯曲率，其中工況6模擬CA砂漿邊緣脫空傷損，并且在損傷處軌道板不施加約束。其計算結果如圖4～圖7所示。

從圖4～圖6可以明顯看出，3種工況下的一階高斯曲率分別在不同位置處出現尖峰，出現尖峰的區域與CA砂漿脫空的區域相一致，這說明一階高斯曲率可以很準確的識別出傷損位置，識別效果很好。圖7為CA砂漿邊緣脫空，由于在脫空區域軌道板也不施加約束，一階高斯曲率圖中在邊緣區域出現較小尖峰，出現位置與CA砂漿脫空區域一致。

圖4 工況3一階高斯曲率Fig.4 Working condition three of the first order gaussian curvature

圖5 工況4一階高斯曲率Fig.5 Working condition four of the first order gaussian curvature

圖6 工況5一階高斯曲率Fig.6 Working condition five of the first order gaussian curvature

圖7 工況6一階高斯曲率Fig.7 Working condition six of the first order gaussian curvature

2.2.3 軌道板－CA砂漿有多處傷損

由CA砂漿單處傷損的計算結果和結論可知，利用軌道板第一階高斯曲率就可以準確識別出傷損位置，針對CA砂漿在運營過程中難免存在多處傷損的現狀，建立CA砂漿多處傷損有限元模型，如圖8所示。并分析其第一階高斯曲率，計算結果如圖9。

圖8 CA砂漿多處傷損模型圖Fig.8 Mode of several void damages of CA mortar

由圖8和圖9可以看出，兩處傷損面積雖一樣大，但一階高斯曲率值有差異，這是因為高斯曲率大的一處傷損處在一階模態位移模態較大處，其曲率相對也較大。圖9中2處尖峰位置即為傷損位置，與預設傷損位置一致，這說明一階高斯曲率不僅可以準確識別單處CA砂漿傷損，還可以準確識別出多處傷損。

3 結論

(1)軌道板的前五階高斯曲率可以反映傷損的有無及其具體位置，因此計算分析時只分析前五階模態即可。

(2)軌道板的前五階高斯曲率中，一階高斯曲率最明顯，對不同位置的CA砂漿脫空識別效果很好。如果一階高斯曲率不能明顯反應出傷損位置時，可以結合前五階高斯曲率進行綜合判斷，準確定位出傷損位置。

(3)軌道板－CA砂漿系統一階高斯曲率不僅可以準確識別單處CA砂漿傷損，還可以準確識別出多處CA砂漿傷損。

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