高考數列試題的分類點評和解析

余海長

數列，既是高中數學必修內容，又是高等數學的重要基石，各個省、市的高考都把它作為最重要的考查內容。從近幾年的高考試題看，有關數列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因為數列知識是考查學生轉化和化歸、分類討論、推理論證及探索問題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現高考的選拔功能。很多考生在備考時，總覺得數列試題很難、好亂，不知道如何復習和總結。其實，總結近幾年的高考考點可知，數列試題基本可分為以下三大類。

第一大類只考查數列本身的知識，此類題目又可分為四個類型

A型：考查考生對等差數列和等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類題目屬于容易題，也是高考出現頻率最高的題。備考時，一定要加強對等差數列和等比數列的概念的理解，對通項公式、求和公式充分掌握；對分組求和法、錯位相減法、裂項相消法 、倒序相加法、并項求和法等求和要熟練掌握；對教材中推導通項公式的累加法、累乘法要做到靈活運用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設各項均為正數的數列｛an｝的前n項和為Sn，滿足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構成等比數列.

（1）證明：a2=；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：此類題目所給的條件是和“Sn”與通項“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關鍵在于對變量的統一，即根據關系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項”或把“通項”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對已知等式作等價變形，把問題轉化為等差、等比數列或其它特殊數列來求解，就可以完成題目的解答。當然有時也采用以退為進的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構造新數列時要抓住題目的信息，不能亂變形，同時，此類問題易錯的地方是許多考生沒有對n進行分類討論，導致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數學2012年、2013 年已連續兩年出現了這類題。

C型：雙數列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數列｛bn｝滿足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項均為正數的兩個數列｛an｝和｛bn｝滿足：an+1=，n∈N?，

（1）設bn+1=1+，n∈N?，求證：數列｛（）2｝是等差數列；（節選）

【解析】（略）

點評：此類題目難易不定，高考出現的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯立解方程組，或者聯立變形。

D型：考查數列知識的綜合性題目。此類題目難度較大，充分考查數列的相關知識，特別是由數列的遞推關系求解數列的通項公式是近幾年高考的熱門考點之一，而對于一階分式型遞推式的通項公式的求法，更是作為一大難點常在高考中出現。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設b>0，數列｛an｝滿足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數列｛an｝的通項公式；（節選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

當n≥2時，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當b≠2時，An==，②當b=2時，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點評：此類題目屬于難題。全面考查考生的數列基本功，特別是已知遞推關系，求通項公式的能力。備考時，對形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數列求通項公式要熟練掌握。一般來說，只要求出了通項公式，其它問題也就迎刃而解了。

第二大類數列知識與其他數學知識的交匯性試題

將數列與函數、不等式、三角、導數等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現。

例5.（2009廣東文20）已知點（1，）是函數f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點。等比數列｛an｝的前n項和為f（n）-c，數列｛bn｝（bn>0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式；（節選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數學（理））設數列｛an｝的前n項和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：數列與函數、不等式、三角、導數等的綜合題目，只要輕輕摘去函數、不等式、三角、導數這層“面紗”，立即露出數列的“廬山真面目”，也就是求通項公式和求和問題。

第三大類 數列應用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）。

【解析】：設樹苗集中放置在第i號坑旁邊，則20名同學往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產，該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年的相同。公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產。設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出an+1與an的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業每年上繳資金d的值為繳時，經過m（m≥3）年企業的剩余資金為4000萬元。

點評：解等差、等比數列應用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數學關系，把應用問題抽象為數學中的等差、等比數列問題，然后利用等差、等比數列知識求解。此類題目，體現了把實際問題數學化的能力，也就是所謂的數學建模能力。

總之，高考數列有難有易。易的是等差、等比數列的通項公式和求和方法，難的是轉化，要求考生具有較強的數學能力。備考時一定要因人而異，做到容易題不放過，難題盡力就可以了。

責任編輯 鄒韻文

endprint

數列，既是高中數學必修內容，又是高等數學的重要基石，各個省、市的高考都把它作為最重要的考查內容。從近幾年的高考試題看，有關數列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因為數列知識是考查學生轉化和化歸、分類討論、推理論證及探索問題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現高考的選拔功能。很多考生在備考時，總覺得數列試題很難、好亂，不知道如何復習和總結。其實，總結近幾年的高考考點可知，數列試題基本可分為以下三大類。

第一大類只考查數列本身的知識，此類題目又可分為四個類型

A型：考查考生對等差數列和等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類題目屬于容易題，也是高考出現頻率最高的題。備考時，一定要加強對等差數列和等比數列的概念的理解，對通項公式、求和公式充分掌握；對分組求和法、錯位相減法、裂項相消法 、倒序相加法、并項求和法等求和要熟練掌握；對教材中推導通項公式的累加法、累乘法要做到靈活運用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設各項均為正數的數列｛an｝的前n項和為Sn，滿足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構成等比數列.

（1）證明：a2=；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：此類題目所給的條件是和“Sn”與通項“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關鍵在于對變量的統一，即根據關系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項”或把“通項”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對已知等式作等價變形，把問題轉化為等差、等比數列或其它特殊數列來求解，就可以完成題目的解答。當然有時也采用以退為進的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構造新數列時要抓住題目的信息，不能亂變形，同時，此類問題易錯的地方是許多考生沒有對n進行分類討論，導致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數學2012年、2013 年已連續兩年出現了這類題。

C型：雙數列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數列｛bn｝滿足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項均為正數的兩個數列｛an｝和｛bn｝滿足：an+1=，n∈N?，

（1）設bn+1=1+，n∈N?，求證：數列｛（）2｝是等差數列；（節選）

【解析】（略）

點評：此類題目難易不定，高考出現的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯立解方程組，或者聯立變形。

D型：考查數列知識的綜合性題目。此類題目難度較大，充分考查數列的相關知識，特別是由數列的遞推關系求解數列的通項公式是近幾年高考的熱門考點之一，而對于一階分式型遞推式的通項公式的求法，更是作為一大難點常在高考中出現。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設b>0，數列｛an｝滿足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數列｛an｝的通項公式；（節選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

當n≥2時，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當b≠2時，An==，②當b=2時，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點評：此類題目屬于難題。全面考查考生的數列基本功，特別是已知遞推關系，求通項公式的能力。備考時，對形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數列求通項公式要熟練掌握。一般來說，只要求出了通項公式，其它問題也就迎刃而解了。

第二大類數列知識與其他數學知識的交匯性試題

將數列與函數、不等式、三角、導數等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現。

例5.（2009廣東文20）已知點（1，）是函數f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點。等比數列｛an｝的前n項和為f（n）-c，數列｛bn｝（bn>0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式；（節選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數學（理））設數列｛an｝的前n項和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：數列與函數、不等式、三角、導數等的綜合題目，只要輕輕摘去函數、不等式、三角、導數這層“面紗”，立即露出數列的“廬山真面目”，也就是求通項公式和求和問題。

第三大類 數列應用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）。

【解析】：設樹苗集中放置在第i號坑旁邊，則20名同學往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產，該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年的相同。公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產。設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出an+1與an的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業每年上繳資金d的值為繳時，經過m（m≥3）年企業的剩余資金為4000萬元。

點評：解等差、等比數列應用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數學關系，把應用問題抽象為數學中的等差、等比數列問題，然后利用等差、等比數列知識求解。此類題目，體現了把實際問題數學化的能力，也就是所謂的數學建模能力。

總之，高考數列有難有易。易的是等差、等比數列的通項公式和求和方法，難的是轉化，要求考生具有較強的數學能力。備考時一定要因人而異，做到容易題不放過，難題盡力就可以了。

責任編輯 鄒韻文

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數列，既是高中數學必修內容，又是高等數學的重要基石，各個省、市的高考都把它作為最重要的考查內容。從近幾年的高考試題看，有關數列的試題在每年的高考試題中一般是一大一小，所占比例較大，這是因為數列知識是考查學生轉化和化歸、分類討論、推理論證及探索問題能力的重要題源，容易命制背景新穎的試題，較好地體現高考的選拔功能。很多考生在備考時，總覺得數列試題很難、好亂，不知道如何復習和總結。其實，總結近幾年的高考考點可知，數列試題基本可分為以下三大類。

第一大類只考查數列本身的知識，此類題目又可分為四個類型

A型：考查考生對等差數列和等比數列的概念、性質、通項公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情況，題目容易，基本不用拐彎，大部分考生都可輕松完成。此類題目屬于容易題，也是高考出現頻率最高的題。備考時，一定要加強對等差數列和等比數列的概念的理解，對通項公式、求和公式充分掌握；對分組求和法、錯位相減法、裂項相消法 、倒序相加法、并項求和法等求和要熟練掌握；對教材中推導通項公式的累加法、累乘法要做到靈活運用。

B型：考查公式：an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

例1.（2013年高考廣東卷（文））設各項均為正數的數列｛an｝的前n項和為Sn，滿足4Sn=[an+1][2]-4n-1，n∈N?且a2，a5，a14構成等比數列.

（1）證明：a2=；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：此類題目所給的條件是和“Sn”與通項“an”混合的式子，屬于中檔題。解題的關鍵在于對變量的統一，即根據關系式an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2），把“和”化為“通項”或把“通項”化為“和”，一般若是求an，就先消去Sn；若是求Sn，就先消去an，然后對已知等式作等價變形，把問題轉化為等差、等比數列或其它特殊數列來求解，就可以完成題目的解答。當然有時也采用以退為進的辦法，求的是an，卻偏偏先消去an，先求Sn后再求an，因此構造新數列時要抓住題目的信息，不能亂變形，同時，此類問題易錯的地方是許多考生沒有對n進行分類討論，導致丟失了n=1的情況。廣東高考文科數學2012年、2013 年已連續兩年出現了這類題。

C型：雙數列題

例2.（2012高考浙江文19） 已知數列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N?，數列｛bn｝滿足an=4log2bn+3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；（節選）

【解析】：由Sn=2n2+n，n∈N?，得：當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2+n-［2（n-1）2+（n-1）］=4n-1，n∈N﹡.

由an=4log2bn+3，得bn=2n-1

例3.（2012高考江蘇20）已知各項均為正數的兩個數列｛an｝和｛bn｝滿足：an+1=，n∈N?，

（1）設bn+1=1+，n∈N?，求證：數列｛（）2｝是等差數列；（節選）

【解析】（略）

點評：此類題目難易不定，高考出現的頻率較高。一般解題思路是先求出an（或bn）， 再利用已知就可以求出bn（或an），或者聯立解方程組，或者聯立變形。

D型：考查數列知識的綜合性題目。此類題目難度較大，充分考查數列的相關知識，特別是由數列的遞推關系求解數列的通項公式是近幾年高考的熱門考點之一，而對于一階分式型遞推式的通項公式的求法，更是作為一大難點常在高考中出現。

例4.（2011年高考廣東卷理科20）設b>0，數列｛an｝滿足a1=b，an=（n≥2），

（1）求數列｛an｝的通項公式；（節選）

【解析】：（1）由a1=b>0，知an=>0，=+.

令An=，A1=，

當n≥2時，An=+An-1

=++…++A1

=++…++.

①當b≠2時，An==，②當b=2時，An=.

an=

，b≠2

2，b=2

點評：此類題目屬于難題。全面考查考生的數列基本功，特別是已知遞推關系，求通項公式的能力。備考時，對形如an=kan-1+b、an=kan-1+bn（k，b為常數）、an=、an+2=pan+1+qan的遞推數列求通項公式要熟練掌握。一般來說，只要求出了通項公式，其它問題也就迎刃而解了。

第二大類數列知識與其他數學知識的交匯性試題

將數列與函數、不等式、三角、導數等綜合在一起的題目，在近幾年各地高考試題中都有出現。

例5.（2009廣東文20）已知點（1，）是函數f（x）=ax（a>0，且a≠1）的圖像上一點。等比數列｛an｝的前n項和為f（n）-c，數列｛bn｝（bn>0）的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn-Sn-1=+（n≥2）。

（1）求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式；（節選）

【解析】（略）

例6.（2013年高考廣東數學（理））設數列｛an｝的前n項和為Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N?.

（1）求a2的值；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）證明：對一切正整數n，有++…+<.

【解析】（略）

點評：數列與函數、不等式、三角、導數等的綜合題目，只要輕輕摘去函數、不等式、三角、導數這層“面紗”，立即露出數列的“廬山真面目”，也就是求通項公式和求和問題。

第三大類 數列應用題

例7.（2011年高考陜西卷理科14）植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）。

【解析】：設樹苗集中放置在第i號坑旁邊，則20名同學往返所走的路程總和為

l=2［（i-1）+（i-2）+…+2+1+1+

2+…+（19-i）+（20-i）］×10

=（i2-21i+210）×20=［（i-）2+］×20即i=10或11時lmin=2000

例8.（2012高考湖南文20）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產，該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%，預計以后每年資金年增長率與第一年的相同。公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產。設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元。

（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出an+1與an的關系式；

（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.

【解析】（Ⅰ）由題意得a1=2000（1+50%）-d=3000-d，

a2=a1（1+50%）-d=a1-d，所以an+1=an（1+50%）-d=an-d.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an-1-d=（）2an-2-d-d=（an-2-d）-d

=…=（）n-1a1-d［1++（）2+

…+（）n-2］.

整理得an=（）n-1（3000-d）-2d［（）n-1-1］=（）n-1（3000-3d）+2d.

由題意，an=4000，∴（）n-1

（3000-3d）+2d=4000，

解得d==.

故該企業每年上繳資金d的值為繳時，經過m（m≥3）年企業的剩余資金為4000萬元。

點評：解等差、等比數列應用題時，首先要認真審題，深刻理解問題的實際背景，理清蘊含在語言中的數學關系，把應用問題抽象為數學中的等差、等比數列問題，然后利用等差、等比數列知識求解。此類題目，體現了把實際問題數學化的能力，也就是所謂的數學建模能力。

總之，高考數列有難有易。易的是等差、等比數列的通項公式和求和方法，難的是轉化，要求考生具有較強的數學能力。備考時一定要因人而異，做到容易題不放過，難題盡力就可以了。

責任編輯 鄒韻文

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