基于全概率公式的運載火箭控制系統可靠性模型研究

胡海峰 翟邵蕾 孫海峰

北京航天自動控制研究所，北京 100854

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基于全概率公式的運載火箭控制系統可靠性模型研究

胡海峰 翟邵蕾 孫海峰

北京航天自動控制研究所，北京 100854

以運載火箭典型復雜容錯控制系統為研究對象，基于全概率公式和系統功能框圖將復雜系統分解，推導建立了控制系統可靠性模型，給出了系統可靠性定量分析的方法和公式，并進行了計算分析。結果表明本文建模方法簡單可行，對于復雜容錯系統可靠性建模及定量分析具有很好的參考價值，可以在運載火箭可靠性建模分析、方案優化中推廣應用。

全概率公式；運載火箭；復雜容錯；飛行控制系統；可靠性模型

可靠性模型是一種概率模型，通常以概率表達式或概率分布函數的形式表示。可靠性模型包括可靠性框圖和數學表達式，用以表示系統完成任務與系統組成結構的關系。建立可靠性模型是可靠性研究的基礎，根據系統特點，可以有多種可靠性建模方法，如可靠性框圖、網絡可靠性模型、故障樹模型、事件樹模型、馬爾可夫模型、Pe-tri網模型、GO圖模型等[1]。為預計或估算產品的可靠性所建立的可靠性方框圖和數學模型稱為可靠性框圖模型，它是對系統進行方案分析、系統優化、可靠性評估最直觀和通用的方法，得到了廣泛的應用[2-3]。

運載火箭控制系統可靠性定量分析和計算都是在模型上進行的，一旦系統的使用要求和功能、結構初步確定，就可以利用系統功能框圖所表示的各單元之間的物理關系和信息流程，建立系統的可靠性框圖，以進一步揭示系統與各單元之間的邏輯關系，并推導出系統可靠性數學模型。當控制系統采用系統級冗余并具備容錯功能時，建立可靠性模型將變得異常復雜。本文基于全概率公式和系統功能框圖，以典型復雜容錯控制系統為研究對象進行了可靠性建模，研究推導給出了系統可靠性定量分析的公式，并進行了算例分析。

1 全概率公式簡介

全概率公式是概率論中最基本和最重要的公式之一，利用全概率公式可以把復雜事件發生的概率計算問題轉化為計算若干互斥的簡單事件情形下該事件的條件概率以及這些情形事件發生的概率。實際問題中為了求復雜事件的概率，往往把它分解成兩個或若干個互不相容的簡單事件，求出這些簡單事件的概率，利用加法公式求出復雜事件的概率[4]。為此引入樣本空間的劃分概念和全概率公式。

定義1[5]：設(Ω,F,P)為概率空間，若

Ai∈F(i=1，2，…，n)

滿足

AiAj=φ(i≠j，i，j=1，2，…，n)

則稱A1,A2,…,An為Ω的一個完備事件組或稱為Ω的一個劃分。

定理1[5]：設(Ω,F,P)為概率空間，A1,A2,…,An為Ω的一個劃分，且

P(Ai)>0 (i=1，2，…，n)

則對于任一事件B∈F，有

(1)

上式稱為全概率公式。顯然,全概率公式給出了計算某一復雜事件B的概率的公式，只要知道使B發生的各種原因Ai發生的概率p(Ai)以及在各種原因發生的條件下B發生的條件概率P(B|Ai)，那么事件B發生的概率就可以利用全概率公式來計算。

2 復雜容錯控制系統可靠性建模

2.1 復雜容錯控制系統

運載火箭控制系統運行的環境條件是惡劣的，失敗的損失是巨大的，對控制系統提出高可靠性要求[6]。冗余容錯技術成為提高運載火箭飛行控制系統可靠性的重要手段。某型運載火箭控制系統采用圖1的系統級冗余方案，為便于分析，系統模型中僅考慮箭機、慣組和綜合控制器三類典型設備，全箭通過1553B總線網絡連接3套完整的電氣系統，形成相對獨立的系統級三冗余系統。設備均為三冗余，每一套由1條雙通道1553B總線連接，其中箭機和綜合控制器均為3臺單機冗余在1個設備中，3臺單機之間通過機內總線通信。

圖1 運載火箭復雜容錯控制系統框圖

對于慣組和BC，若3個模塊均正常，則系統以三模冗余3取2表決方式工作；若其中1個模塊失效，則系統通過故障檢測定位將其切除，系統降級為雙冗余系統；若又有1個模塊失效并被定位切除，則系統以單機模式運行。對于綜合控制器，其輸出通過硬件實現3取2表決，可通過表決屏蔽1個故障模塊；若有2個及以上模塊失效，系統即失效。因此控制系統成為箭載計算機計算冗余表決、控制器指令解析冗余表決、輸出級功率放大冗余表決同步、總線網絡冗余的復雜冗余容錯系統結構。

2.2 基于全概率公式的系統可靠性建模

在分析圖1系統可靠性時，雖然每套1553B總線均有A，B雙通道，當A總線出故障時可以切換為B通道，但是考慮到A，B均故障、總線協議芯片故障以及切換失敗的情況，應考慮總線本身的可靠性，這相當于在系統中串聯1個單元，系統功能框圖如圖2。

圖2 控制系統功能框圖

系統既非串并聯又非并串聯系統，而是介于2者之間的相互交叉的復雜系統，很難將其簡化為簡單的并聯、串聯等典型結構的組合。如果用狀態枚舉法，需要列出212種組合，計算量龐大，本文將基于全概率分解法進行控制系統可靠性建模分析，借助于全概率公式把復雜網絡系統分解，直到簡化為一般的串、并聯系統。在具體運用全概率公式的時候，如何選擇樣本空間Ω的劃分A1,A2,…,An尤其重要。首先以BC1，BC2和BC3的狀態為條件，應用全概率公式對系統進行分解。設系統中每個單元只取正常或失效2種狀態，取“1”代表單元正常，取“0”代表單元失效，則BC1，BC2和BC3的狀態共有23種組合：000，001，010，011，100，101，110，111，令A表示BC1，BC2和BC3的狀態組合集合，R(Ai)為BC1，BC2和BC3在Ai狀態下的概率，R(S|Ai)為控制系統在Ai狀態下的系統可靠性，則：

A={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8}=

{000，001，010，011，100，101，110，111}

(2)

根據定義1，A1,A2,…,An為Ω的一個劃分。根據全概率公式，控制系統可靠性計算公式如下：

(3)

其中，R(001)是BC1，BC2和BC3的狀態分別為失效、失效和正常的概率；R(S|001)是BC1，BC2和BC3的狀態分別為失效、失效和正常時系統正常的概率；……。

為方便計算，假設系統中各單元可靠度均為R，根據概率知識可得：

R(001)=R(010)=R(100)=R(1-R)2
R(011)=R(101)=R(110)=R2(1-R)
R(111)=R3

(4)

下面計算條件概率R(S|Ai)，其中i=1，2，…，8。

1)R(S|001)，即BC1，BC2和BC3的狀態分別為失效、失效、正常時系統正常的概率。此時的功能框圖如圖3。

圖3 BC為001狀態控制系統功能框圖

由于BC是系統的核心，BC失效相當于整條總線失效，因此BC1，BC2所對應的IMU1，IMU2均失效；但由于綜合控制器3臺單機可以通過內部雙口RAM進行通訊，因此只要綜合控制器3和另外1臺單機正常工作(由系統冗余容錯功能診斷)，輸出部分即能正常。系統可靠性框圖可簡化如圖4。

由以上分析可知：

R(S|001)=R3(2R-R2)

(5)

當BC1，BC2和BC3的狀態為010，100時，情況同001類似，可得：

R(S|010)=R(S|100)=
R(S|001)=R3(2R-R2)

(6)

2)R(S|011)，即BC1，BC2和BC3的狀態分別為失效、正常、正常時系統正常的概率。此時的功能框圖如圖5。

圖4 BC為001狀態控制系統可靠性框圖

圖5 BC為011狀態控制系統功能框圖

由框圖可以看出，此時第1條總線失效，余下的系統情況仍然比較復雜，因此選擇以總線2和總線3的狀態為條件，基于全概率公式繼續向下分解。總線2和總線3的狀態共有22=4種組合，分別是：00，01，10，11，根據全概率公式可得：

R(S|011)=R(00)R(S|011,00)+R(01)
R(S|011,01)+R(10)R(S|011,10)+
R(11)R(S|011,11)

(7)

其中，R(01)表示總線2和總線3的狀態分別為失效、正常的概率；R(S|011,01)表示當BC1，BC2，BC3的狀態分別為失效、正常、正常，且總線2和總線3的狀態分別為失效、正常時系統正常的概率；……。

則：

R(01)=R(10)=R(1-R)，R(11)=R2

(8)

求R(S|011,01)時，框圖如圖6。

可得：

R(S|011,01)=R2(2R-R2)

(9)

同理，可得：

R(S|011,10)=R2(2R-R2)

(10)

R(S|011,11)=(2R-R2)(3R2-2R3)

(11)

綜合以上分析，可得出：R(S|011)=R(01)R(S|011,01)+R(10)R(S|011,10)+R(11)R(S|011,11)=R(1-R)R2(2R-R2)+R(1-R)R2(2R-R2)+R2(2R-R2)(3R2-2R3)=R2(2R-R2)(2R+R2-2R3)

(12)

當BC1，BC2和BC3的狀態為101，110時，情況同011類似，可得：

R(S|101)=R(S|110)=R(S|011)=
R2(2R-R2)(2R+R2-2R3)

(13)

3)R(S|111)，即BC1，BC2和BC3的狀態分別為正常、正常、正常時系統正常的概率。功能框圖如圖7。

圖7 BC為111狀態控制系統功能框圖

仍然選擇以總線1，總線2和總線3的狀態為條件繼續向下分解，總線1，總線2和總線3的狀態共有23=8種組合：000，001，010，011，100，101，110，111，根據全概率公式可得：

R(S|111)=R(000)R(S|111,000)+R(001)R(S|111,001)+…+R(111)R(S|111,111)=
R(001)R(S|111,001)+…+R(111)
R(S|111,111)

(14)

同上面的方法，可求得R(S|111,001)，…，R(S|111,111)分別為：

R(S|111,001)=R2(2R-R2)，R(S|111,010)=R(S|111,100)=R(S|111,001)=
R2(2R-R2)，R(S|111,011)=R(S|111,101)=
R(S|111,110)=(2R-R2)(3R2-2R3)，
R(S|111,111)=(3R-3R2+R3)(3R2-2R3)。

(15)

綜合以上分析，可以得出：

R(S|111)=R(001)R(S|111,001)+…+
R(111)R(S|111,111)=3R4(1-R)2(2-R)+
3R5(1-R)(2-R)(3-2R)+
R6(3-3R+R2)(3-2R)

(16)

至此，得到了全部條件概率，計算過程結果見表1。

根據全概率公式，將計算過程綜合，可得系統可靠性計算模型：

表1 系統可靠性模型計算過程結果

(17)

3 可靠性計算與分析

3.1 可靠性計算

運載火箭控制系統單元模塊或單機可靠度R一般不低于0.990，令R在0.990～0.9999變化，將R代入式(17)，按控制系統可靠性模型進行計算，主要計算結果見表2。

BC1，BC2和BC3共8個狀態，狀態為000時系統失效，其余狀態可分為3類：第1類為兩度故障，包括001，010，100三個狀態；第2類為一度故障，包括011，101，110三個狀態；第3類為無故障，即111狀態。當R在0.990～0.9999變化，按BC狀態分類分別統計對系統可靠性的影響，統計結果見表3。

表3 BC狀態對系統可靠性的影響

根據表2和3的計算結果，系統可靠性隨單元模塊可靠度R(0.990～0.9999)變化的趨勢圖見圖8，BC狀態對系統可靠性的影響見圖9～ 11。將BC在兩度故障、一度故障狀態下系統正常工作的概率與控制系統可靠性的比值進行計算，并轉換為百分比，得到BC故障狀態對系統可靠性的影響率，其隨單元模塊變化的趨勢圖見圖12。

圖8 系統隨模塊可靠性變化趨勢圖

圖9 BC兩度故障對系統可靠性的影響

圖10 BC一度故障對系統可靠性的影響

圖11 BC無故障對系統可靠性的影響

3.2 分析與討論

全概率公式本質是一種平均概率，是條件概率的加權平均，其中每個條件概率上的權重就是作為條件的事件發生的概率。在應用全概率公式進行系

圖12 BC故障狀態對系統可靠性的影響率

統可靠性建模分析的時候，如何選擇樣本空間S的劃分A1，A2,…,An顯得尤其重要。在選擇劃分的時候，一定要把產生結果的原因全找出來，缺一不可，并且保證A1，A2,…,An為兩兩互不相容事件。本文選擇BC的狀態進行了8個劃分，選擇恰當的劃分將會使計算大為簡化。本文僅以慣組、箭機(含BC)、綜合控制器、總線組成的冗余容錯控制系統為研究對象進行了可靠性建模分析，并且為計算方便，將這些單元模塊(或單機)的可靠性指標統一設為R，實際控制系統組成還包括伺服機構、伺服控制器、電池、配電器等設備，并且由于任務需求的差異，不同型號的控制系統組成也會有所差別，但均可以本文提供的方法為基礎進行可靠性建模分析。將該方法應用到具體型號時，需在模型及框圖中增加相應的設備，同時由于設計方案的復雜程度、工藝成熟性等不同，各類設備的可靠性也不同，各個設備的可靠性可分別用R1，R2，…等代替，代入到系統功能框圖和可靠性模型中，最終得到全系統的可靠性模型，并基于模型進行系統可靠性分析、評估和設計。

4 結束語

全概率公式提供了計算復雜函數概率的有效途徑，本文以簡化的運載火箭冗余容錯控制系統為研究對象，基于全概率公式進行了樣本空間劃分，推導建立了復雜容錯系統可靠性計算模型，給出了可靠性定量分析的公式，并對可靠性模型進行了計算分析。為便于建模和計算，對研究對象進行了簡化，提供的是一種復雜容錯控制系統可靠性建模通用的方法，在型號中應用時，可以基于該方法根據具體組成和設備可靠性水平建立系統可靠性模型，并進行可靠性分析、評估和設計。該法對于運載火箭復雜冗余容錯控制系統可靠性建模及定量分析具有很好的參考價值，可以推廣應用。

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Study on Reliability Model of Launch Vehicle GNC System Based on Total Probability Formula

HU Haifeng ZHAI Shaolei SUN Haifeng

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854，China

Thetypicallaunchvehicleguidancenavigationandcontrol(GNC)systemwhichisredundantandfaulttolerantisstudied.Thiscomplexsystemisdecomposed，whichisbasedontotalprobabilityformulaandsystemfunctiondiagram.Andthen,itsreliabilitymodelisdeduced,andthequantitativeanalysismethodandformulasofthissystemareproposed，whichareusedtocalculateandanalyzesystemreliability.Theconclusionsaredrawnthatthemethodissimpleandfeasibleandithasgreatreferencedvalueonbuildingreliabilitymodelandreliabilityquantitativeanalysisofcontrolsystemwhichiscomplexandfaulttolerant.Thestudyresultscanbeextensivelyappliedtobuildingreliabilitymodelandoptimizingsysteminlaunchvehicledesign.

Totalprobabilityformula;Launchvehicle;Complexandfaulttolerant;Guidancenavigationandcontrolsystem;Reliabilitymodel

2013-08-21

胡海峰(1978-)，男，河北保定人，碩士，高級工程師，主要研究方向為運載火箭控制系統設計；翟邵蕾(1982-)，女，河北深澤人，碩士，工程師，主要研究方向為運載火箭控制系統設計；孫海峰(1976-)，男，河北吳橋人，碩士，工程師，主要研究方向為運載火箭控制系統設計。

TP274.4

A

1006-3242(2014)03-0087-08