張奠宙

人民教育出版社的五年級下冊“分數的意義和性質”教材的開頭，出現了一個畫面。內容是有幾個人用等距離打了結的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分數來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個缺陷。

在數學上，這是問，一個小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分數（或小數）。這是分數教學的根本目標之一。例如，日本2008年頒布的《數學學習指導要領》就強調：“分數是用于度量小于1的量”。本刊（小學版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個來自日本的分數教學案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實例。教例的過程是，以學生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學習分數的意義。

現在讓我們來分析我國分數概念教學中的一個不足之處。

我國的分數定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。”這樣的定義，必須要預先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實上，對一個平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結果的大小。這是用分數表示“整體里的一個部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分數就聯想到等分月餅的模型，會限制人們對分數的理解。

讓我們回到人民教育出版社數學教材中的那個例子。該情境要解決的問題是：在以一節繩子作為單位長度的前提下，用分數表示繩子剩余的那個“尾部”的長度。按照我國教材的分數定義，就必須預先知道要將一節繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個分數。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數據。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗加以測量。例如，如果一節繩長恰好是三個尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節繩子包含三個“半截尾部”，那么尾部長度占一節的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分數，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們取出其中的10支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學。有5位同學參加書法比賽獲得優秀獎。問我班有幾分之幾的同學獲得此獎？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個5。現在如果將班級人數平均分為7份，每份是5人，所以獲獎人數是全班人數的。

例3.在人教社數學教材五年級下學期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實際上是在說：先規定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節繩子長度的。

總之，分數的定義單純用平均分的情形1作為引例進行概括，是不夠的。過分強調，不求發展，將會帶來呆板的思維定勢。尤其因為“分數是整數之比”。以后分數的應用，多半會涉及部分與整體的比例關系，即情形2的問題。

這一現象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標準和教材也都沒有充分關注。因而建議從理論和實踐上進行研究，妥善處理。

（華東師范大學數學系 200062）

人民教育出版社的五年級下冊“分數的意義和性質”教材的開頭，出現了一個畫面。內容是有幾個人用等距離打了結的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分數來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個缺陷。

在數學上，這是問，一個小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分數（或小數）。這是分數教學的根本目標之一。例如，日本2008年頒布的《數學學習指導要領》就強調：“分數是用于度量小于1的量”。本刊（小學版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個來自日本的分數教學案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實例。教例的過程是，以學生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學習分數的意義。

現在讓我們來分析我國分數概念教學中的一個不足之處。

我國的分數定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。”這樣的定義，必須要預先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實上，對一個平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結果的大小。這是用分數表示“整體里的一個部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分數就聯想到等分月餅的模型，會限制人們對分數的理解。

讓我們回到人民教育出版社數學教材中的那個例子。該情境要解決的問題是：在以一節繩子作為單位長度的前提下，用分數表示繩子剩余的那個“尾部”的長度。按照我國教材的分數定義，就必須預先知道要將一節繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個分數。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數據。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗加以測量。例如，如果一節繩長恰好是三個尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節繩子包含三個“半截尾部”，那么尾部長度占一節的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分數，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們取出其中的10支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學。有5位同學參加書法比賽獲得優秀獎。問我班有幾分之幾的同學獲得此獎？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個5。現在如果將班級人數平均分為7份，每份是5人，所以獲獎人數是全班人數的。

例3.在人教社數學教材五年級下學期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實際上是在說：先規定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節繩子長度的。

總之，分數的定義單純用平均分的情形1作為引例進行概括，是不夠的。過分強調，不求發展，將會帶來呆板的思維定勢。尤其因為“分數是整數之比”。以后分數的應用，多半會涉及部分與整體的比例關系，即情形2的問題。

這一現象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標準和教材也都沒有充分關注。因而建議從理論和實踐上進行研究，妥善處理。

（華東師范大學數學系 200062）

人民教育出版社的五年級下冊“分數的意義和性質”教材的開頭，出現了一個畫面。內容是有幾個人用等距離打了結的繩子，測量一只箱子的邊長。圖邊的文字提出了一個很有意義的問題：“剩下的繩子不足一節，怎么記？” 可惜的是，教材最后沒有回答究竟如何用分數來表示這段繩子的長短。自己提出的問題卻沒有解答，不得不說是教科書的一個缺陷。

在數學上，這是問，一個小于單位1的量怎么表示？由此可以引出分數（或小數）。這是分數教學的根本目標之一。例如，日本2008年頒布的《數學學習指導要領》就強調：“分數是用于度量小于1的量”。本刊（小學版）2005年第8期刊有陳月蘭的文章：《一個來自日本的分數教學案例帶來的思考》。 其中就有如何測量一段“剩余長度”的實例。教例的過程是，以學生手中的教科書的長度作為單位1，如果三個“剩余部分”正好是一本教科書的長度， 那么這段“剩余部分”的長度是。由此闡明了學習分數的意義。

現在讓我們來分析我國分數概念教學中的一個不足之處。

我國的分數定義是：“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。”這樣的定義，必須要預先知道平均分為幾份。但是許多情境是難以做到的。事實上，對一個平均分問題，有兩種情形：

情形1：先知道“分幾份”，然后問所分的那份結果的大小。這是用分數表示“整體里的一個部分有多大”。例如4等分月餅，問每塊多大？答案是。

情形2：先知道分到的一部分的大小，然后問“該部分在整體中占多大？”。至于整體要平均分為幾份，那是需要計算或測量的。

例如，一盒鉛筆12支，現在取出3支，問取出的部分占整盒鉛筆的多大的一部分？由于12包含了4個3（12÷3=4），所以3支恰好是12支鉛筆平均分為4份之后的一份，答案也是。

這兩類例子不可偏廢。如果一提到分數就聯想到等分月餅的模型，會限制人們對分數的理解。

讓我們回到人民教育出版社數學教材中的那個例子。該情境要解決的問題是：在以一節繩子作為單位長度的前提下，用分數表示繩子剩余的那個“尾部”的長度。按照我國教材的分數定義，就必須預先知道要將一節繩子平均分為幾份，并且知道尾部占其中的幾份，才能寫出那個分數。但是，問題情境里并沒有給出這樣的數據。因而這一問題不屬于情形1，而是屬于情形2。下一步怎么辦？我們不得不通過試驗加以測量。例如，如果一節繩長恰好是三個尾部之長，那么尾部長度就可以表示為三分之一；如果一節繩子包含三個“半截尾部”，那么尾部長度占一節的三分之二；如此等等。

通過以上的分析，我們可以看到，為了全面理解分數，知道“平均分為幾份”的“分月餅”模型，只是考量了“情形1”。停留于此是不夠的，我們必須熟練地掌握各種各樣屬于情形2的包含除例子。以下再舉幾例。

例1.一盒鉛筆有15支。以一盒作為一個整體。如果我取出其中的5支，試問它占整體的幾分之幾？

這要先用包含除：15÷5 = 3。于是知道15里包含3個5。這就是說，如果將一盒鉛筆平均分為3份，那么5支鉛筆是整體的三分之一。如果我們取出其中的10支，同樣用包含除（15÷5=3）知道15里包含3個5，因而將整體15支鉛筆平均分為3份，每份是5支，兩份是10支。這樣一來，所取出的10支鉛筆（作為整體的部分）是平均分為三份之后其中的兩份，即占整體的三分之二。

例2. 我們班有35位同學。有5位同學參加書法比賽獲得優秀獎。問我班有幾分之幾的同學獲得此獎？

這也是情形2的問題。通過包含除，知道35里包含了7個5。現在如果將班級人數平均分為7份，每份是5人，所以獲獎人數是全班人數的。

例3.在人教社數學教材五年級下學期的第64頁中有“頭部占身高的”這樣的練習題。這也不單純是平均分問題，而是問“占多少”的問題。實際上是在說：先規定了什么是頭部高度，接著又算出了“整體身高恰好包含了8個頭部高度”，所以“頭部占身高的”。

例4.在前述用繩子度量箱子長度的例子中，如果我們知道了一節繩子是m厘米，“尾部“長度是n厘米。那么”尾部長度“是一節繩子長度的。

總之，分數的定義單純用平均分的情形1作為引例進行概括，是不夠的。過分強調，不求發展，將會帶來呆板的思維定勢。尤其因為“分數是整數之比”。以后分數的應用，多半會涉及部分與整體的比例關系，即情形2的問題。

這一現象似乎還沒有引起廣泛的注意，課程標準和教材也都沒有充分關注。因而建議從理論和實踐上進行研究，妥善處理。

（華東師范大學數學系 200062）