用“搜尋法”解“物不知數(shù)問題”

肖鑒鏗

我國古算書《孫子算經(jīng)》中有題云：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”我們把這類已知若干個“模”（除數(shù)）的余數(shù)，而要求適合條件的最小正整數(shù)的題目統(tǒng)稱為“物不知數(shù)問題”。

解答“物不知數(shù)問題”，通常要布列并求解一個一次不定方程組或一個一次同余式組，頗為不易。而且這些知識屬“數(shù)論”范疇，不在小學數(shù)學內(nèi)容之列。但因此類問題有利于考查學生思維的靈活性，故在小學數(shù)學試題中反倒屢屢出現(xiàn)。鑒于此，不定方程組的知識曾被上世紀八十年代的中師數(shù)學教材收錄，筆者長期擔任中等師范學校的數(shù)學教學，故對此類問題的解法有一定的關(guān)注。

數(shù)學大師們無一不是解題高手，解答《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)問題，華羅庚先生就有其獨特的方法。1963年，華先生在其所著《從孫子的“神奇妙算”談起》一書中，即有如下表述：“因為三除余二，七除余二，則二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小數(shù)，剛好又是五除余三的數(shù)，所以心算快的人都能算出。”其實，華先生的這一思路早在上世紀二十年代即已萌生，當年的少年華羅庚就是因為以此法巧解了《孫子算經(jīng)》中的這道名題而譽滿鄉(xiāng)里。但他在書中卻稱此法是“笨”算法。隨后說：“‘笨字可能用得不妥當，但這個方法是樸素原始的方法，算起來費時間的方法。”接著又說：“這方法雖然拙笨些，但這是一個步步能行的方法，是一個值得推薦的樸素的方法。”不難看出，華先生在評價此法時，是心存矛盾的。

但筆者一直堅定地認為，這是個值得推薦的好方法，它只依靠余數(shù)、倍數(shù)、公倍數(shù)等基礎(chǔ)知識就打起了“游擊戰(zhàn)”，體現(xiàn)了各個擊破的軍事思想，采用了步步為營的搜尋戰(zhàn)術(shù)，具有機動靈活、簡便易行等諸多優(yōu)點。華先生之所以認為這個方法“笨”，很大程度是因為它完全依賴文字表述的緣故。德國數(shù)學家希爾伯特說：“嚴格的方法同時也是簡潔而易于理解的方法。”這一觀點與我國道德經(jīng)中的“大道至簡”不謀而合。相信只要能找到一種適當?shù)姆绞郊右躁U明原理、記錄過程，則必將為華先生的方法增添簡潔美的色彩。筆者為此日夜求索，經(jīng)過多年潛心鉆研，一種有效的搜尋方法已逐漸形成。以之應(yīng)對古今各種物不知數(shù)問題，無不迎刃而解。欣喜之余，不敢自專，謹將此法奉獻于讀者，希冀對提高廣大小學數(shù)學教師的解題能力有所幫助。

例1.文首《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)題。

分析與解：3除、7除余2的最小數(shù)是2，記作。括號內(nèi)之7、3為所適合條件中的模。為使已適合之條件不再丟失，搜尋時所加之數(shù)應(yīng)為7、3的公倍數(shù)。7、3的最小公倍數(shù)[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又適合條件“5除余3”，故23即為所求。整個搜尋過程可表為：

以此代替文字敘述，頗顯簡潔、明快。

例2.今有一數(shù)，3除余1，5除余2，7除余3，此數(shù)最小是幾？

分析與解：為使搜尋速度加快，應(yīng)首先考慮模較大的那個條件，于是把起點定為3（7），3+7=10，10又滿足“3除余1”，表為。再往前搜尋，所加之數(shù)應(yīng)為21。10+21=31。31被5除余1，不符題意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即為所求。整個過程可表為：

例3.二數(shù)余一，五數(shù)余二，七數(shù)余三，九數(shù)余四，問本數(shù)。（選自楊輝1275年寫成的《續(xù)古摘奇算法》）

此題曾被中師《代數(shù)與初等函數(shù)》第一冊選作復習題。若仿照課本例題解答，須布列并求解一個五元一次不定方程組，這無異于擺開架勢去打陣地戰(zhàn)，過程繁復，令不少中師學生望而生畏，不敢問津。而采用搜尋法，只須三次搜尋即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了許多麻煩。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整數(shù)值，不再贅述。

例10.七數(shù)剩一，八數(shù)剩二，九數(shù)剩三，問本數(shù)。（選自《續(xù)古摘奇算法》）

分析與解：以“九數(shù)剩三”的次小數(shù)12為起點，下一個目標定為“八數(shù)剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余數(shù)與（4+1·x）除以8的余數(shù)相同，而此余數(shù)應(yīng)等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。當y=1時，x=6。

，下個目標是“七數(shù)剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。當y'=2時，x'=6。故有

將整個搜尋過程串成一體即為

答：498即為所求。

通過簡單計算，兩度將6個逐次搜尋并為一個一次搜尋，大大提高了搜尋效率。不過此題還可解得更巧：若將條件敘述為“7數(shù)少6，8數(shù)少6，9數(shù)少6”，則立得本數(shù)為[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韓信點兵題）有兵一隊，若成5列縱隊，則末行僅1人；若成6列縱隊，則末行僅5人；若成7列縱隊，則末行僅4人；若成11列縱隊，則末行僅10人，求兵數(shù)。

分析與解：本題條件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四兩條件可知，應(yīng)把6×11-1=65定為搜尋起點，下個目標定為“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，當y=1時，x=3。

，下一目標“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

（江西省南昌市高等師范專科學校 330006）endprint

我國古算書《孫子算經(jīng)》中有題云：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”我們把這類已知若干個“模”（除數(shù)）的余數(shù)，而要求適合條件的最小正整數(shù)的題目統(tǒng)稱為“物不知數(shù)問題”。

解答“物不知數(shù)問題”，通常要布列并求解一個一次不定方程組或一個一次同余式組，頗為不易。而且這些知識屬“數(shù)論”范疇，不在小學數(shù)學內(nèi)容之列。但因此類問題有利于考查學生思維的靈活性，故在小學數(shù)學試題中反倒屢屢出現(xiàn)。鑒于此，不定方程組的知識曾被上世紀八十年代的中師數(shù)學教材收錄，筆者長期擔任中等師范學校的數(shù)學教學，故對此類問題的解法有一定的關(guān)注。

數(shù)學大師們無一不是解題高手，解答《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)問題，華羅庚先生就有其獨特的方法。1963年，華先生在其所著《從孫子的“神奇妙算”談起》一書中，即有如下表述：“因為三除余二，七除余二，則二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小數(shù)，剛好又是五除余三的數(shù)，所以心算快的人都能算出。”其實，華先生的這一思路早在上世紀二十年代即已萌生，當年的少年華羅庚就是因為以此法巧解了《孫子算經(jīng)》中的這道名題而譽滿鄉(xiāng)里。但他在書中卻稱此法是“笨”算法。隨后說：“‘笨字可能用得不妥當，但這個方法是樸素原始的方法，算起來費時間的方法。”接著又說：“這方法雖然拙笨些，但這是一個步步能行的方法，是一個值得推薦的樸素的方法。”不難看出，華先生在評價此法時，是心存矛盾的。

但筆者一直堅定地認為，這是個值得推薦的好方法，它只依靠余數(shù)、倍數(shù)、公倍數(shù)等基礎(chǔ)知識就打起了“游擊戰(zhàn)”，體現(xiàn)了各個擊破的軍事思想，采用了步步為營的搜尋戰(zhàn)術(shù)，具有機動靈活、簡便易行等諸多優(yōu)點。華先生之所以認為這個方法“笨”，很大程度是因為它完全依賴文字表述的緣故。德國數(shù)學家希爾伯特說：“嚴格的方法同時也是簡潔而易于理解的方法。”這一觀點與我國道德經(jīng)中的“大道至簡”不謀而合。相信只要能找到一種適當?shù)姆绞郊右躁U明原理、記錄過程，則必將為華先生的方法增添簡潔美的色彩。筆者為此日夜求索，經(jīng)過多年潛心鉆研，一種有效的搜尋方法已逐漸形成。以之應(yīng)對古今各種物不知數(shù)問題，無不迎刃而解。欣喜之余，不敢自專，謹將此法奉獻于讀者，希冀對提高廣大小學數(shù)學教師的解題能力有所幫助。

例1.文首《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)題。

分析與解：3除、7除余2的最小數(shù)是2，記作。括號內(nèi)之7、3為所適合條件中的模。為使已適合之條件不再丟失，搜尋時所加之數(shù)應(yīng)為7、3的公倍數(shù)。7、3的最小公倍數(shù)[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又適合條件“5除余3”，故23即為所求。整個搜尋過程可表為：

以此代替文字敘述，頗顯簡潔、明快。

例2.今有一數(shù)，3除余1，5除余2，7除余3，此數(shù)最小是幾？

分析與解：為使搜尋速度加快，應(yīng)首先考慮模較大的那個條件，于是把起點定為3（7），3+7=10，10又滿足“3除余1”，表為。再往前搜尋，所加之數(shù)應(yīng)為21。10+21=31。31被5除余1，不符題意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即為所求。整個過程可表為：

例3.二數(shù)余一，五數(shù)余二，七數(shù)余三，九數(shù)余四，問本數(shù)。（選自楊輝1275年寫成的《續(xù)古摘奇算法》）

此題曾被中師《代數(shù)與初等函數(shù)》第一冊選作復習題。若仿照課本例題解答，須布列并求解一個五元一次不定方程組，這無異于擺開架勢去打陣地戰(zhàn)，過程繁復，令不少中師學生望而生畏，不敢問津。而采用搜尋法，只須三次搜尋即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了許多麻煩。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整數(shù)值，不再贅述。

例10.七數(shù)剩一，八數(shù)剩二，九數(shù)剩三，問本數(shù)。（選自《續(xù)古摘奇算法》）

分析與解：以“九數(shù)剩三”的次小數(shù)12為起點，下一個目標定為“八數(shù)剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余數(shù)與（4+1·x）除以8的余數(shù)相同，而此余數(shù)應(yīng)等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。當y=1時，x=6。

，下個目標是“七數(shù)剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。當y'=2時，x'=6。故有

將整個搜尋過程串成一體即為

答：498即為所求。

通過簡單計算，兩度將6個逐次搜尋并為一個一次搜尋，大大提高了搜尋效率。不過此題還可解得更巧：若將條件敘述為“7數(shù)少6，8數(shù)少6，9數(shù)少6”，則立得本數(shù)為[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韓信點兵題）有兵一隊，若成5列縱隊，則末行僅1人；若成6列縱隊，則末行僅5人；若成7列縱隊，則末行僅4人；若成11列縱隊，則末行僅10人，求兵數(shù)。

分析與解：本題條件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四兩條件可知，應(yīng)把6×11-1=65定為搜尋起點，下個目標定為“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，當y=1時，x=3。

，下一目標“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

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我國古算書《孫子算經(jīng)》中有題云：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”我們把這類已知若干個“模”（除數(shù)）的余數(shù)，而要求適合條件的最小正整數(shù)的題目統(tǒng)稱為“物不知數(shù)問題”。

解答“物不知數(shù)問題”，通常要布列并求解一個一次不定方程組或一個一次同余式組，頗為不易。而且這些知識屬“數(shù)論”范疇，不在小學數(shù)學內(nèi)容之列。但因此類問題有利于考查學生思維的靈活性，故在小學數(shù)學試題中反倒屢屢出現(xiàn)。鑒于此，不定方程組的知識曾被上世紀八十年代的中師數(shù)學教材收錄，筆者長期擔任中等師范學校的數(shù)學教學，故對此類問題的解法有一定的關(guān)注。

數(shù)學大師們無一不是解題高手，解答《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)問題，華羅庚先生就有其獨特的方法。1963年，華先生在其所著《從孫子的“神奇妙算”談起》一書中，即有如下表述：“因為三除余二，七除余二，則二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小數(shù)，剛好又是五除余三的數(shù)，所以心算快的人都能算出。”其實，華先生的這一思路早在上世紀二十年代即已萌生，當年的少年華羅庚就是因為以此法巧解了《孫子算經(jīng)》中的這道名題而譽滿鄉(xiāng)里。但他在書中卻稱此法是“笨”算法。隨后說：“‘笨字可能用得不妥當，但這個方法是樸素原始的方法，算起來費時間的方法。”接著又說：“這方法雖然拙笨些，但這是一個步步能行的方法，是一個值得推薦的樸素的方法。”不難看出，華先生在評價此法時，是心存矛盾的。

但筆者一直堅定地認為，這是個值得推薦的好方法，它只依靠余數(shù)、倍數(shù)、公倍數(shù)等基礎(chǔ)知識就打起了“游擊戰(zhàn)”，體現(xiàn)了各個擊破的軍事思想，采用了步步為營的搜尋戰(zhàn)術(shù)，具有機動靈活、簡便易行等諸多優(yōu)點。華先生之所以認為這個方法“笨”，很大程度是因為它完全依賴文字表述的緣故。德國數(shù)學家希爾伯特說：“嚴格的方法同時也是簡潔而易于理解的方法。”這一觀點與我國道德經(jīng)中的“大道至簡”不謀而合。相信只要能找到一種適當?shù)姆绞郊右躁U明原理、記錄過程，則必將為華先生的方法增添簡潔美的色彩。筆者為此日夜求索，經(jīng)過多年潛心鉆研，一種有效的搜尋方法已逐漸形成。以之應(yīng)對古今各種物不知數(shù)問題，無不迎刃而解。欣喜之余，不敢自專，謹將此法奉獻于讀者，希冀對提高廣大小學數(shù)學教師的解題能力有所幫助。

例1.文首《孫子算經(jīng)》中的物不知數(shù)題。

分析與解：3除、7除余2的最小數(shù)是2，記作。括號內(nèi)之7、3為所適合條件中的模。為使已適合之條件不再丟失，搜尋時所加之數(shù)應(yīng)為7、3的公倍數(shù)。7、3的最小公倍數(shù)[7，3]=21，2﹢21=23，23正好又適合條件“5除余3”，故23即為所求。整個搜尋過程可表為：

以此代替文字敘述，頗顯簡潔、明快。

例2.今有一數(shù)，3除余1，5除余2，7除余3，此數(shù)最小是幾？

分析與解：為使搜尋速度加快，應(yīng)首先考慮模較大的那個條件，于是把起點定為3（7），3+7=10，10又滿足“3除余1”，表為。再往前搜尋，所加之數(shù)應(yīng)為21。10+21=31。31被5除余1，不符題意，再往前：31+21=52。52恰好5除余2，故52即為所求。整個過程可表為：

例3.二數(shù)余一，五數(shù)余二，七數(shù)余三，九數(shù)余四，問本數(shù)。（選自楊輝1275年寫成的《續(xù)古摘奇算法》）

此題曾被中師《代數(shù)與初等函數(shù)》第一冊選作復習題。若仿照課本例題解答，須布列并求解一個五元一次不定方程組，這無異于擺開架勢去打陣地戰(zhàn)，過程繁復，令不少中師學生望而生畏，不敢問津。而采用搜尋法，只須三次搜尋即告完成。

解：

在此例中，十步并作一步走，省去了許多麻煩。以下各例所列方程中之x，y，z…均取最小正整數(shù)值，不再贅述。

例10.七數(shù)剩一，八數(shù)剩二，九數(shù)剩三，問本數(shù)。（選自《續(xù)古摘奇算法》）

分析與解：以“九數(shù)剩三”的次小數(shù)12為起點，下一個目標定為“八數(shù)剩二”。

，12除以8余4，9除以8余1。（12+9x）除以8的余數(shù)與（4+1·x）除以8的余數(shù)相同，而此余數(shù)應(yīng)等于2。故令4+1·x=8y+2。x=8y-2。當y=1時，x=6。

，下個目標是“七數(shù)剩一”。66除以7余3，72除以7余2。故令3+2x'=7y'+1。2x'=7y'-2。x'=3y'+。當y'=2時，x'=6。故有

將整個搜尋過程串成一體即為

答：498即為所求。

通過簡單計算，兩度將6個逐次搜尋并為一個一次搜尋，大大提高了搜尋效率。不過此題還可解得更巧：若將條件敘述為“7數(shù)少6，8數(shù)少6，9數(shù)少6”，則立得本數(shù)為[7，8，9]-6=7×8×9-6=504-6=498。

例11.（韓信點兵題）有兵一隊，若成5列縱隊，則末行僅1人；若成6列縱隊，則末行僅5人；若成7列縱隊，則末行僅4人；若成11列縱隊，則末行僅10人，求兵數(shù)。

分析與解：本題條件有四：5除余1，6除余5，7除余4，11除余10，由二、四兩條件可知，應(yīng)把6×11-1=65定為搜尋起點，下個目標定為“7除余4”。

。65除以7余2，66除以7余3。故令2+3x=7y+4。3x=7y+2。，當y=1時，x=3。

，下一目標“5除余1”，263除以5余3，462除以5余2，故令3+2x'=5y'+1，2x'=5y' -2。

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