基于CVaR的債券投資組合模型

申飛飛　楊柳

摘 要 針對債券投資組合中的風險度量難題， 用CVaR作為風險度量方法， 構建了基于CVaR的債券投資組合優化模型. 采用歷史模擬算法處理模型中的隨機收益率向量， 將隨機優化模型轉化為確定性優化模型， 并且證明了算法的收斂性. 通過線性化技術處理CVaR中的非光滑函數， 將該模型轉化為一般的線性規劃模型. 結合10只債券的組合投資實例， 驗證了模型與算法的有效性.

關鍵詞 CVaR；債券投資；收斂性分析；歷史模擬法；隨機優化

中圖分類號 F832.8 文獻標識碼 A

1 引 言

美國經濟學家Mayers在1984年提出了著名的Pecking Order理論， 認為公司在融資時將優先考慮使用內部融資， 然后是采用債券融資， 最后才考慮股權融資. 債券融資之所以優于股權融資是因為它可以避免稀釋股東權益， 并且可以降低稅收負擔. 近年來， 我國債券市場進入了快速發展時期，債券投資成了許多投資機構及投資者的一種重要投資產品. 然而， 債券市場和其他證券市場一樣也會面臨許多風險， 并且隨著債券投資比重的增加， 其風險越來越不容忽視. 因此， 如何對債券市場的風險進行準確度量和有效管理， 從而實現債券投資的最優投資組合已成為投資機構和研究人員的重要課題.

對于債券投資組合問題， 投資者或研究人員通常選取若干個具有不同到期日的債券進行投資， 構建利潤風險型的優化模型， 通過求解模型得到資金投資最優分配比. 自1952年美國經濟學家MarKowitz“證券投資組合”研究成果發表以來^[1]， 各國的經濟學家和數學家就對投資組合理論展開了深入研究. 在MarKowitz的均值方差模型中研究的投資產品是股票而不是債券. 債券和股票最大的不同就是債券有本金和利息， 而股票只有買入和賣出價格. 所以Cheng首次構建了均值方差債券投資組合模型^{[2] ， 然而方差度量風險存在一些缺點：其一， 模型的計算量大； 其二， 方差不僅刻畫了上半方差也反映了下半方差， 而投資者最關注的是構造合理的組合使下半方差最小， 因此， 王延章等研究了基于下半方差的債券投資組合模型[3]， 但是下半方差只是表示收益或風險的波動并不能反映出投資損失金額的大小. 為此， 學者們提出了VaR作為風險度量工具來研究投資組合問題[4]， 但VaR不能度量超過本身的損失， 且不滿足次可加性. 針對VaR的不足， Rockafellar 等提出了CVaR[5]，CVaR的提出改善了VaR的不足， 特別是通過一種特殊函數的引入， 使CVaR的計算通過求解一個凸優化問題， 且同時得到VaR的值. Pflug證明了CVaR滿足次可加性， 是一致風險度量[6]. 進一步， Krokhmal 基于CVaR提出了利潤風險的三類優化模型[7]， 張茂軍等研究了求解CVaR投資組合模型的L-S算法[8]. 這些CVaR理論成果已被成功應用于國內證券市場投資領域的應用研究之中， 并得到了很多具有重要價值的實用化成果[9-12]. 然而， 尚未見到將CVaR方法應用到債券投資組合問題中. 為了克服現有研究中其他風險度量方法的不足， 本文用CVaR作為債券組合的風險度量， 構建債券投資組合收益風險組合優化模型， 研究單個時期的債券組合投資問題. 針對模型的求解， 采用歷史模擬方法處理隨機收益率向量， 將模型轉化為易于求解的隨機凸規劃問題， 直接采用現有數學計算工具求解. 隨機選取中國證券市場中的10只債券作為投資產品， 應用歷史模擬方法生成表示債券收益率的隨機向量， 利用所提模型得到了最優投資組合及相應的最小風險值， 并通過設置不同的期末預期收益， 得到了收益風險的有效前沿. 通過實例證明， 基于CVaR的債券投資組合模型可以為投資者或投資機構投資債券提供科學依據和決策.}

3.3 結果分析

1）從表3與圖1可知：投資組合的風險與投資者期望收益成正相關， 即投資組合的風險值CVaR隨預期收益的增大而增大.當預期收益從0.07上升到0.08時，CVaR風險值從0.078 3大幅度上升到0.096 3， 若投資者為了獲得期望收益， 則需要增加對高收益資產08昆建債和08西基投的投資比重， 由此也將導致資產配置的風險與收益失衡. 因此， 投資者應整體把握自身的盈利和承受風險的能力， 設定適宜的財富期望值.

2）在一定的期望收益內， 隨著期望收益的變化， 投資風險幾乎不發生變化， 這個很符合投資者的需求， 投資者需要設定一個最低的收益水平， 在保證最低收益的基礎上， 優化配置資產， 獲得更大的收益. 這符合投資人的心理， 而不是投機者的賭博心理. 因此， 該模型更加貼合實際.

綜上所述， 投資債券需要權衡各個方面的因素， 在保證最低收益水平的條件下， 合理分配資產， 使投資期末的收益達到最大， 即投資風險最小.

4 結 論

本文結合實際， 建立了基于CVaR的債券投資組合模型， 采用歷史模擬方法處理隨機收益率向量， 將模型轉化為確定性的線性規劃近似問題， 并通過Matlab對其進行求解， 得到利潤-風險的有效前沿， 進一步說明債券投資組合收益與風險之間的關系， 為投資者決策提供重要依據. 本文研究中僅考慮債券投資為單個階段與債券投資者為理性投資者， 引入行為金融理論和多階段動態隨機規劃研究債券投資， 將是今后進一步研究的方向.

參考文獻

[1] H MARKOWITZ. Portfolio selection[J]. Journal of Finance， 1952， 3（7）：77-91.

[2] P L CHENG. Optimum bond portfolio selection[J]. Management Science， 1962， 8（4）： 490-499.

[3] 王延章， 蔡建波，張茂軍，等. 基于下半方差的債券投資組合模型[J] . 系統工程， 2012 ， 30（4） ： 32-38.

[4] J PHILIPPE. Value at risk[M]. New York： The Mc Graw-Hill Companies， Inc， 1977.

[5] R T ROCKAFELLAR， S URYASEV. Optimization of conditional Value-at-risk [J]. The Journal of Risk ， 2000， 2（3）： 21-41.

[6] C G PFLUG. Some remarks on the value-at-risk and the conditional Value-at-risk[C]//Probabilistic Constrained Optimization：Methodology and Applications . Dordrecht ：Kluwer Academic Publishers，2000：134-145.

[7] P KROKHMAL， J PALMQUIST， S URYASER. Portfolio of optimization with conditional value-at-risk objective and constraints [J]. The Journal of Risk， 2002， 4（2）：11-27.

[8] 張茂軍，南江霞，高愛華，等. 求解帶有交易費用的CVaR投資組合模型的L-S算法[J]. 經濟數學， 2012， 29（2）： 73-78.

[9] 劉小茂， 李楚霖，王建華，等. 風險資產組合均值-CVaR有效前沿[J]. 管理工程學報， 2003， 17（2）：29-32.

[10]陳劍利， 李勝宏. CVaR風險度量模型在投資組合中的應用[J]. 運籌與管理， 2004， 13（1）： 95-99.

[11]李婷， 張衛國. 風險資產組合均值-CVaR模型的算法分析[J]. 安徽大學學報， 2006， 30（6）：4-7.

[12]徐穎春. 風險度量方法VaR與CVaR及其在投資組合中的實證分析[D].吉林：吉林大學應用數學， 2011.endprint

[3] 王延章， 蔡建波，張茂軍，等. 基于下半方差的債券投資組合模型[J] . 系統工程， 2012 ， 30（4） ： 32-38.

[4] J PHILIPPE. Value at risk[M]. New York： The Mc Graw-Hill Companies， Inc， 1977.

[5] R T ROCKAFELLAR， S URYASEV. Optimization of conditional Value-at-risk [J]. The Journal of Risk ， 2000， 2（3）： 21-41.

[6] C G PFLUG. Some remarks on the value-at-risk and the conditional Value-at-risk[C]//Probabilistic Constrained Optimization：Methodology and Applications . Dordrecht ：Kluwer Academic Publishers，2000：134-145.

[7] P KROKHMAL， J PALMQUIST， S URYASER. Portfolio of optimization with conditional value-at-risk objective and constraints [J]. The Journal of Risk， 2002， 4（2）：11-27.

[8] 張茂軍，南江霞，高愛華，等. 求解帶有交易費用的CVaR投資組合模型的L-S算法[J]. 經濟數學， 2012， 29（2）： 73-78.

[9] 劉小茂， 李楚霖，王建華，等. 風險資產組合均值-CVaR有效前沿[J]. 管理工程學報， 2003， 17（2）：29-32.

[10]陳劍利， 李勝宏. CVaR風險度量模型在投資組合中的應用[J]. 運籌與管理， 2004， 13（1）： 95-99.

[11]李婷， 張衛國. 風險資產組合均值-CVaR模型的算法分析[J]. 安徽大學學報， 2006， 30（6）：4-7.

[12]徐穎春. 風險度量方法VaR與CVaR及其在投資組合中的實證分析[D].吉林：吉林大學應用數學， 2011.endprint

[3] 王延章， 蔡建波，張茂軍，等. 基于下半方差的債券投資組合模型[J] . 系統工程， 2012 ， 30（4） ： 32-38.

[4] J PHILIPPE. Value at risk[M]. New York： The Mc Graw-Hill Companies， Inc， 1977.

[5] R T ROCKAFELLAR， S URYASEV. Optimization of conditional Value-at-risk [J]. The Journal of Risk ， 2000， 2（3）： 21-41.

[6] C G PFLUG. Some remarks on the value-at-risk and the conditional Value-at-risk[C]//Probabilistic Constrained Optimization：Methodology and Applications . Dordrecht ：Kluwer Academic Publishers，2000：134-145.

[7] P KROKHMAL， J PALMQUIST， S URYASER. Portfolio of optimization with conditional value-at-risk objective and constraints [J]. The Journal of Risk， 2002， 4（2）：11-27.

[8] 張茂軍，南江霞，高愛華，等. 求解帶有交易費用的CVaR投資組合模型的L-S算法[J]. 經濟數學， 2012， 29（2）： 73-78.

[9] 劉小茂， 李楚霖，王建華，等. 風險資產組合均值-CVaR有效前沿[J]. 管理工程學報， 2003， 17（2）：29-32.

[10]陳劍利， 李勝宏. CVaR風險度量模型在投資組合中的應用[J]. 運籌與管理， 2004， 13（1）： 95-99.

[11]李婷， 張衛國. 風險資產組合均值-CVaR模型的算法分析[J]. 安徽大學學報， 2006， 30（6）：4-7.

[12]徐穎春. 風險度量方法VaR與CVaR及其在投資組合中的實證分析[D].吉林：吉林大學應用數學， 2011.endprint