數學與國家實力（上）

張恭慶

一、世界強國與數學強國

數學實力往往影響著國家實力，世界強國必然是數學強國。數學對于一個國家的發展至關重要，發達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求。

17-19世紀英國、法國，后來德國，都是歐洲大國，也是數學強國。17世紀英國牛頓發明了微積分，用微積分研究了許多力學、天體運動的問題，在數學上這是一場革命，由此英國曾在數學上引領了潮流。法國本來就有良好的數學文化傳統，一直保持數學強國的地位。19世紀德、法爭雄，在數學上的競爭也非常激烈，到了20世紀初德國哥廷根成為世界數學的中心。

俄羅斯數學從19世紀開始崛起，到了20世紀前蘇聯時期成為世界數學強國之一。特別是蘇聯于1958年成功發射了第一顆人造地球衛星，震撼了全世界。當時美國總統約翰·肯尼迪決心要在空間技術上趕超蘇聯。他了解到：蘇聯成功發射衛星的原因之一，是蘇聯在與此相關的數學領域處于世界的領先地位。此外，蘇聯重視基礎科學教育（包含數學教育）也是它在基礎科學研究中具有雄厚實力的一個重要原因，于是下令大力發展數學。

第二次世界大戰前美國只是一個新興國家，在數學上還落后于歐洲，但是今天他已經成為唯一的數學超級大國。戰前德國納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數學家被迫移居美國，大大增強了美國的數學實力，為美國打勝二戰、提升戰后的經濟實力做出了巨大貢獻。蘇聯發射第一顆人造地球衛星后，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使得本來在科技界、工商界、軍事部門等方面就有良好應用數學基礎的美國，迅速成為一個數學強國。蘇聯、東歐解體后，美國又吸納了其中大批的優秀數學家。

二、數學及其基本特征

數學是一門“研究數量關系與空間形式”（即“數”與“形”）的學科。 一般地說，根據問題的來源把數學分為純粹數學與應用數學。研究其自身提出的問題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數學（又稱基礎數學）；研究來自現實世界中的數學問題的是應用數學。利用建立數學“模型”，使得數學研究的對象在“數”與“形”的基礎之上又有擴充。各種“關系”， 如“語言” “程序” “DNA排序” “選舉”、“動物行為” 等都能作為數學研究的對象。數學成為一門形式科學。

純粹數學與應用數學的界限有時也并不那么明顯。一方面由于純粹數學中的許多對象，追根溯源是來自解決外部問題（如天文學、力學、物理學等）時提出來的；另一方面，為了要研究從外部世界提出的數學問題（如分子運動、網絡、動力系統、信息傳輸等）有時需要從更抽象、更純粹的角度來考察才有可能解決。

數學的基本特征是：

一是高度的抽象性和嚴密的邏輯性。

二是應用的廣泛性與描述的精確性。它是各門科學和技術的語言和工具，數學的概念、公式和理論都已滲透在其他學科的教科書和研究文獻中；許許多多數學方法都已被寫成軟件，有的數學軟件作為商品在出售，有的則被制成芯片裝置在幾億臺電腦以及各種先進設備之中，成為產品高科技含量的核心。

三是研究對象的多樣性與內部的統一性。數學是一個“有機的”整體，它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網絡。高層次的網絡是由低層次網絡和結點組成的，后者是各種概念、命題和定理。各層次的網絡和結點之間是用嚴密的邏輯連接起來的。這種連接是客觀事物內在邏輯的反映。

數學家，包括純粹數學家和部分應用數學家，他們的工作就在于：建立新的結點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并從客觀世界吸取營養來豐富、延伸這個網絡。在研究現實世界的問題當中，一旦建立的數學模型和我們已有的結點或者低層次的網絡相關，所有建立起來的連接都可能發揮作用，為我們提供解決問題的思路、理論和方法。

在現代社會，人們的生活愈來愈離不開數學，我們天天享受著數學的服務，但許多人可能根本不知道！這種例子俯拾皆是。人人都用手機，但并不是人人都知道其中許多關鍵技術是數學提供的。

三、數學與當代科學技術

（一）數學與科學革命和技術革命

第一次科學革命的標志是近代自然科學體系的形成。是以哥白尼的“日心說”為代表， 后經開普勒、伽利略， 特別是牛頓等一大批科學家的推動完成的。牛頓為了研究動力學，發明了微積分。他的著作《自然哲學的數學原理》影響遍布經典自然科學的所有領域。

被稱為19世紀自然科學三大發現的能量守恒與轉化定律、細胞學說和進化論是第二次科學革命的主要內容。

19世紀末到20世紀初，X射線、電子、天然放射性、DNA雙螺線結構等的發現，使人類對物質結構的認識由宏觀進入微觀，相對論和量子力學的誕生使物理學理論和整個自然科學體系以及自然觀、世界觀都發生了重大變革，成為第三次科學革命。在這次革命中，數學起了很大作用。建立相對論需要黎曼幾何，愛因斯坦本人就承認，是幾何學家走到前頭去了，他不過學了幾何學家的東西，才發明了相對論。在量子力學中用到的概率、算子、特征值、群論等基本概念和結論都是數學上預先準備好了的，所以數學對第三次科學革命起到了推動作用。

第一次技術革命是蒸汽機和機械的革命。

第二次技術革命是電氣和運輸的革命。雖然我們很難說出其中哪一項發明直接來自數學，但19世紀和20世紀數學家們發展了常微分方程、偏微分方程、變分學和函數論等數學分支，并把它們用于研究力學—包括流體力學和彈性力學、熱學、電磁學等中的物理問題和工程問題，推動了這些學科的發展。此外還值得一提的是：電磁波的發現是麥克斯韋先從數學推導中預見，然后由赫茲用實驗驗證的。、

第三次技術革命以原子能技術、航天技術、電子計算機的應用為代表。電子計算機從設想、理論設計、研制一直到程序存儲等過程，數學家在其中起決定性的主導作用。從理論上哥德爾創建了可計算理論和遞歸理論，圖靈第一個設計出通用數字計算機，他們都是數學家。馮·諾依曼是第一臺電子計算機的研制、程序和存儲的創建人，維納和香農分別是控制論和信息論的創始人，他們也都是數學家。

由此可見，數學差不多在歷次科技革命中，都起過先導和支柱的作用。

（二）數學與自然科學

任何一門成熟的科學都需要用數學語言來描述，在數學模型的框架下來表達它們的思想和方法。當代數學不僅繼續和傳統的鄰近學科保持緊密的聯系，而且和一些過去不太緊密的領域的關聯也得到發展，形成了數學化學、生物數學、數學地質學、數學心理學等眾多交叉學科。

數學在模擬智能和機器學習中也起了很重要的作用，包括：環境感知、計算機視覺、模式識別與理解以及知識推理等。

（三）數學與社會科學

數學在社會科學，如經濟學、語言學、系統科學、管理科學中占居重要位置。現代經濟理論的研究以數學為基本工具。通過建立數學模型和數學上的推演，來探求宏觀經濟和微觀經濟的規律。從1969年到2001年間，50名諾貝爾經濟學獎得主中，有27人其主要貢獻是運用數學方法解決經濟問題。

數學與金融科學的交叉—金融數學是當代十分活躍的研究領域。馮·諾依曼與摩根斯登的“對策論與經濟行為”使“決策”成為一門科學。

控制理論與運籌學，特別是線性規劃、非線性規劃、最優控制、組合優化等在交通運輸、商業管理、政府決策等許多方面得到廣泛的應用。

在工業管理方面，統計質量管理起很大的作用。在運用數學理論之前，質量管理是通過事后檢驗把關來完成的，難以管控，而且成本也很高。根據概率分布的原理，可以將數理統計的方法應用到質量管理當中去，產生了統計質量管理的理論和方法。

（四）數學與數據科學

人們利用觀察和試驗手段獲取數據，利用數據分析方法探索科學規律。數理統計學是一門研究如何有效地收集、分析數據的學科，它以概率論等數學理論為基礎，是“定量分析”的關鍵學科，其理論與方法是當今自然科學、工程技術和人文社會科學等領域研究的重要手段之一。

為了處理網絡上的大量數據，挖掘、提取有用的知識，需要發展“數據科學”。近年來大家都從媒體上知道掌握“大數據”的重要性。美國啟動了“大數據研究與發展計劃”，歐盟實施了“開放數據戰略”，舉辦了“歐盟數據論壇和大數據論壇”。 大數據事實上已成為信息主權的一種表現形式，將成為繼邊防、海防、空防之后大國博弈的另一個空間。此外，大數據創業將成就新的經濟增長點（電子商務—產品和個性化服務的大量定制成為可能，疾病診斷、推薦治療措施，識別潛在罪犯等）。所以 “大數據”已經成為各國政府管理人員、科技界和媒體十分關注的一個關鍵詞。

“大數據”的核心是將數學算法運用到海量數據上，預測事情發生的可能性。人們普遍認識到研究大數據的基礎是：數學、計算機科學和統計科學。

（五）數學與技術科學

馬克思說過：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”今天的技術科學如信息、航天、醫藥、材料、能源、生物、環境等都成功地運用了數學。

信息科學與數學的關系最為密切。信息安全、信息傳輸、計算機視覺、計算機聽覺、圖象處理、網絡搜索、商業廣告、反恐偵破、遙測遙感等都大量地運用了數學技術。

高性能科學計算被認為是最重要的科學技術進步之一，也是21世紀發展和保持核心競爭力的必需科技手段。例如核武器、流體、星系演化、新材料、大工程等的計算機模擬都要求高性能的科學計算。但有了最快的計算機并不等于高性能科學計算就達到了國際先進水平。應用好高性能計算機解決科學問題，基礎算法與可計算建模是關鍵。相對于計算機硬件，我國在基礎算法與可計算建模研究方面的投入不足，不利于我國高性能計算機的持續發展。

藥物分子設計已經成為發現新藥的主要方向。其中計算機輔助設計扮演著不可替代的角色。用計算的方法從小分子庫中搜索發現各種與酶可能的結合構象來篩選藥物，或者采用基于受體結構的特征，以及受體和藥物分子之間的相互作用方式來進行藥物設計，已成為當前耗費計算資源最多的領域之一。（未完待續）

（作者為北京大學數學科學學院教授，中國科學院院士，第三世界科學院院士）