基于有限元法的物體受力變形和應力研究

王重

【摘 要】本文以工程中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，基于有限元分析方法對懸臂梁進行計算模型建立，并求解出懸臂梁在受力后的變形輪廓和應力分布，為其設計和優化提供了驗證和指導。結果表明，該懸臂梁在受力時中部位置應力較大，為該工況下的薄弱區域，需要進行局部加強，以防止在使用中發生失效。

【關鍵詞】彎曲懸臂梁；有限元；剛度矩陣；變形；應力；應變

0 引言

物體受力變形和應力分析是工程中的常見問題，它在受力零件設計過程中是不可或缺的重要工作，例如在飛機承力梁、高壓導管支架等的設計階段對其將來在飛行中承受載荷后會出現的變形量、變形后輪廓進行估計以及完成強度校核。這類問題的實質是經典彈性問題，它們的數學模型一般都是一組具有相應邊界條件和初值的微分方程，這些微分方程組的解析解能夠向我們展示出精確且完整的系統行為，也就是我們所需要的分析結果[1-2]。但由于這些微分方程組的復雜性，我們又往往無法得到它們的解析解，這時我們就需要利用數值方法來求出近似解，這時在系統中各“節點”的數值解近似于解析解。因此我們在使用數值方法進行求解前需要對“節點”和“單元”進行合理劃分和定義，也就是“離散化”[2-3]。在此過程之后我們再使用數值解法對問題進行求解。有限元法是工程中常用的一種數值解法，它使用積分方法來建立系統的代數方程組，用一個連續的函數來近似描述每個單元的解，正因為每個單元的邊界是連續的，因此整個系統的解可以由每一個單個的解“組裝”起來[2-3]。不難理解，當我們所劃分的單元趨近于無窮多時，使用有限元法所得的解會趨近于精確解。本文將基于有限元法的基本原理，對具體受力物體進行變形和應力的分析和研究，求解出物體的形變輪廓和相應的應力分布。

1 物體受力工況

圖1所示為工程中常見的彎曲懸臂梁。假設該懸臂梁的形狀為圓形的四分之一，不考慮懸臂梁自重，所以當不受外力時懸臂梁處于無應力狀態。內邊半徑為r=2.5m，梁厚度為h=0.5m，寬度為0.1m。懸臂梁材料的楊氏模量為75GPa，泊松比為0.3。所受外部拉力為t=40kPa。假設該問題為平面應變問題。

從計算結果不難看出最大的應力發生在懸臂梁的中部位置，該處是此工況下最容易發生失效的部位。為了防止使用中的潛在危險，需要對該區域進行加強，例如增加該處的局部寬度；相對來說懸臂梁的固定端和尖端位置應力小很多，這些區域在此工況下比較安全。

5 結束語

有限元分析方法在當今基礎理論研究和工程領域得到了廣泛的應用，全世界每年有數十億美元被花費在有限元分析工作中。本文基于有限元方法，選取工程應用中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，建立了計算模型，通過完整的分析和求解過程，最終得到其受力后的變形輪廓以及應力分布，為該懸臂梁的工程設計和優化提供了驗證和指導。文中所展示的分析方法在工程設計中具有很高的實用性，可以將其作為一套有效的工具來為各種受力零件和結構的設計提供支持。

【參考文獻】

[1]王崧，劉麗娟，董春敏.有限元分析——ANSYS理論與應用[M].北京：電子工業出版社，2011.

[2]Y.C.Fung， Pin Tong. Classical and Computational Solid Mechanics[M]. Singapore： World Scientific， 2001.

[3]Jacob Fish， Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements[M]. England： Wiley， 2007.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】本文以工程中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，基于有限元分析方法對懸臂梁進行計算模型建立，并求解出懸臂梁在受力后的變形輪廓和應力分布，為其設計和優化提供了驗證和指導。結果表明，該懸臂梁在受力時中部位置應力較大，為該工況下的薄弱區域，需要進行局部加強，以防止在使用中發生失效。

【關鍵詞】彎曲懸臂梁；有限元；剛度矩陣；變形；應力；應變

0 引言

物體受力變形和應力分析是工程中的常見問題，它在受力零件設計過程中是不可或缺的重要工作，例如在飛機承力梁、高壓導管支架等的設計階段對其將來在飛行中承受載荷后會出現的變形量、變形后輪廓進行估計以及完成強度校核。這類問題的實質是經典彈性問題，它們的數學模型一般都是一組具有相應邊界條件和初值的微分方程，這些微分方程組的解析解能夠向我們展示出精確且完整的系統行為，也就是我們所需要的分析結果[1-2]。但由于這些微分方程組的復雜性，我們又往往無法得到它們的解析解，這時我們就需要利用數值方法來求出近似解，這時在系統中各“節點”的數值解近似于解析解。因此我們在使用數值方法進行求解前需要對“節點”和“單元”進行合理劃分和定義，也就是“離散化”[2-3]。在此過程之后我們再使用數值解法對問題進行求解。有限元法是工程中常用的一種數值解法，它使用積分方法來建立系統的代數方程組，用一個連續的函數來近似描述每個單元的解，正因為每個單元的邊界是連續的，因此整個系統的解可以由每一個單個的解“組裝”起來[2-3]。不難理解，當我們所劃分的單元趨近于無窮多時，使用有限元法所得的解會趨近于精確解。本文將基于有限元法的基本原理，對具體受力物體進行變形和應力的分析和研究，求解出物體的形變輪廓和相應的應力分布。

1 物體受力工況

圖1所示為工程中常見的彎曲懸臂梁。假設該懸臂梁的形狀為圓形的四分之一，不考慮懸臂梁自重，所以當不受外力時懸臂梁處于無應力狀態。內邊半徑為r=2.5m，梁厚度為h=0.5m，寬度為0.1m。懸臂梁材料的楊氏模量為75GPa，泊松比為0.3。所受外部拉力為t=40kPa。假設該問題為平面應變問題。

從計算結果不難看出最大的應力發生在懸臂梁的中部位置，該處是此工況下最容易發生失效的部位。為了防止使用中的潛在危險，需要對該區域進行加強，例如增加該處的局部寬度；相對來說懸臂梁的固定端和尖端位置應力小很多，這些區域在此工況下比較安全。

5 結束語

有限元分析方法在當今基礎理論研究和工程領域得到了廣泛的應用，全世界每年有數十億美元被花費在有限元分析工作中。本文基于有限元方法，選取工程應用中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，建立了計算模型，通過完整的分析和求解過程，最終得到其受力后的變形輪廓以及應力分布，為該懸臂梁的工程設計和優化提供了驗證和指導。文中所展示的分析方法在工程設計中具有很高的實用性，可以將其作為一套有效的工具來為各種受力零件和結構的設計提供支持。

【參考文獻】

[1]王崧，劉麗娟，董春敏.有限元分析——ANSYS理論與應用[M].北京：電子工業出版社，2011.

[2]Y.C.Fung， Pin Tong. Classical and Computational Solid Mechanics[M]. Singapore： World Scientific， 2001.

[3]Jacob Fish， Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements[M]. England： Wiley， 2007.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】本文以工程中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，基于有限元分析方法對懸臂梁進行計算模型建立，并求解出懸臂梁在受力后的變形輪廓和應力分布，為其設計和優化提供了驗證和指導。結果表明，該懸臂梁在受力時中部位置應力較大，為該工況下的薄弱區域，需要進行局部加強，以防止在使用中發生失效。

【關鍵詞】彎曲懸臂梁；有限元；剛度矩陣；變形；應力；應變

0 引言

物體受力變形和應力分析是工程中的常見問題，它在受力零件設計過程中是不可或缺的重要工作，例如在飛機承力梁、高壓導管支架等的設計階段對其將來在飛行中承受載荷后會出現的變形量、變形后輪廓進行估計以及完成強度校核。這類問題的實質是經典彈性問題，它們的數學模型一般都是一組具有相應邊界條件和初值的微分方程，這些微分方程組的解析解能夠向我們展示出精確且完整的系統行為，也就是我們所需要的分析結果[1-2]。但由于這些微分方程組的復雜性，我們又往往無法得到它們的解析解，這時我們就需要利用數值方法來求出近似解，這時在系統中各“節點”的數值解近似于解析解。因此我們在使用數值方法進行求解前需要對“節點”和“單元”進行合理劃分和定義，也就是“離散化”[2-3]。在此過程之后我們再使用數值解法對問題進行求解。有限元法是工程中常用的一種數值解法，它使用積分方法來建立系統的代數方程組，用一個連續的函數來近似描述每個單元的解，正因為每個單元的邊界是連續的，因此整個系統的解可以由每一個單個的解“組裝”起來[2-3]。不難理解，當我們所劃分的單元趨近于無窮多時，使用有限元法所得的解會趨近于精確解。本文將基于有限元法的基本原理，對具體受力物體進行變形和應力的分析和研究，求解出物體的形變輪廓和相應的應力分布。

1 物體受力工況

圖1所示為工程中常見的彎曲懸臂梁。假設該懸臂梁的形狀為圓形的四分之一，不考慮懸臂梁自重，所以當不受外力時懸臂梁處于無應力狀態。內邊半徑為r=2.5m，梁厚度為h=0.5m，寬度為0.1m。懸臂梁材料的楊氏模量為75GPa，泊松比為0.3。所受外部拉力為t=40kPa。假設該問題為平面應變問題。

從計算結果不難看出最大的應力發生在懸臂梁的中部位置，該處是此工況下最容易發生失效的部位。為了防止使用中的潛在危險，需要對該區域進行加強，例如增加該處的局部寬度；相對來說懸臂梁的固定端和尖端位置應力小很多，這些區域在此工況下比較安全。

5 結束語

有限元分析方法在當今基礎理論研究和工程領域得到了廣泛的應用，全世界每年有數十億美元被花費在有限元分析工作中。本文基于有限元方法，選取工程應用中常見的彎曲懸臂梁作為研究對象，建立了計算模型，通過完整的分析和求解過程，最終得到其受力后的變形輪廓以及應力分布，為該懸臂梁的工程設計和優化提供了驗證和指導。文中所展示的分析方法在工程設計中具有很高的實用性，可以將其作為一套有效的工具來為各種受力零件和結構的設計提供支持。

【參考文獻】

[1]王崧，劉麗娟，董春敏.有限元分析——ANSYS理論與應用[M].北京：電子工業出版社，2011.

[2]Y.C.Fung， Pin Tong. Classical and Computational Solid Mechanics[M]. Singapore： World Scientific， 2001.

[3]Jacob Fish， Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements[M]. England： Wiley， 2007.

[責任編輯：湯靜]