一種簡單的加權整體最小二乘直線擬合方法

王繼剛，周 立，蔣廷臣，孫佳龍

(淮海工學院 測繪學院，江蘇 連云港 222005)

一、引 言

道路橋梁工程、工業測量擬合、GIS數據采集和變形監測分析與預報等測量數據處理工作中直線擬合有著廣泛的應用。常規方法是測定直線上若干點，列立誤差方程式時只顧及因變量誤差，依據最小二乘準則獲得擬合方程。由于忽略了自變量誤差，導致擬合方程中存在著一定的模型誤差。若要克服模型誤差，應利用整體最小二乘法來求解直線的斜率和截距。文獻[1—4]較為詳細地探討了顧及因變量誤差的直線擬合問題，但這些文獻存在的問題是：要么未徹底解決模型誤差問題，要么模型僅僅適用于等精度觀測。事實上，在實際應用中，直線坐標分量觀測精度可能不等，這時應使用加權整體最小二乘法擬合。沈云中等[5-8]提出了嚴密的加權整體最小二乘直線擬合模型，雖然這些模型精度高，但算法往往涉及復雜的矩陣理論，運算過程繁瑣，不利于廣大一線測繪工作者理解和應用。

實際上，在不等精度直線擬合模型中，有兩個問題待解決：① 同時考慮坐標分量的誤差和觀測精度；② 所建立的直線方程是否是唯一的。無論哪種坐標分量是因變量，也無論直線方程系數近似值是如何得到的，最終得到的擬合方程都是一樣的。本文通過對直線擬合模型的深入分析，從廣大測繪工作者熟悉的測量平差角度入手，運用附有參數的條件平差理論建模，擬解決上述兩個問題，將不等精度的整體最小二乘法直線擬合納入到測量平差方法范疇，為進一步研究加權整體最小二乘擬合模型打下了基礎。

二、擬合模型

設某一條待定直線上某點i觀測值為(xi,yi)，i=1,2,…,n，其對應的觀測誤差分別為εxi和εyi，那么坐標分量之間存在的關系可表述為

a(x+εxi)+b(y+εyi)=c

(1)

式中，a和b為待估參數；c為由相關關系確定的常數，此處可設為1。

考慮到待估參數受到觀測誤差的影響，不妨取a=a0+δa和b=b0+δb，a0和b0分別為a和b的近似值，δa和δb分別為對應的改正數。將式(1)展開并略去二次項，得線性近似表達式為

a0vxi+b0vyi+xiδa+yiδb+a0xi+b0yi=1

(2)

式中，vxi和vyi為對應誤差εxi和εyi的估計值。現有n個觀測值，存在著n個觀測方程，用矩陣形式可表述為

在測量數據處理中，采用賦權方法處理不等精度觀測問題，由加權最小二乘準則

VTPV=min

(4)

來求解式(3)。其中，權陣P為2n階方陣，權陣本質是一種先驗精度矩陣。當所有的坐標分量都是獨立觀測得到的，此時P為對角陣；更特殊的是所有坐標分量都是獨立等精度觀測得到的，此時P為單位陣。

實際上式(3)是一個附有參數的條件平差問題，與附有參數的條件平差問題略有差異，其秩R(B)=2，參數的個數等于待估計的參數個數，但這不影響估計結果。從平差模型本質上看，間接平差和條件平差模型都可以看成附有參數的條件平差的特例，附有參數的條件平差模型是無法用間接平差或條件平差模型所表述的狹義模型。

根據附有參數的條件平差模型求解參數估值和精度評定方法，易得參數估值、單位權方差估計及平差參數的協方差陣，現直接給出相關結果如下，具體推導和有關符號含義參見文獻[9]。

特別的，當P為單位陣時，式(5)和式(7)可分別簡化為

三、實例計算

本文采用一個經典的不等精度的直線擬合算例進行分析，具體數據見表1。文獻[5—8]均運用該算例驗證了加權整體最小二乘法的有效性。算例中共有10個樣本點，每一個樣本點的坐標分量觀測精度用權加以量化。

表1 觀測值樣本

對于表1中的數據，用常規的加權擬合法無法同時使用x和y兩坐標分量的權，而如果僅僅采用x或y的權，得到的結果誤差較大，甚至嚴重地背離了真值，直接影響了擬合結果的應用，幾種擬合方法計算結果見表2。

表2 幾種方法計算結果比較

在采用本文模型時，可認為每個坐標分量都是獨立觀測得到的，即權陣P為對角陣。首先分析等精度的情況，即忽略坐標分量觀測精度，取P為20階單位陣，計算得到直線的斜率和截距與嚴密模型矩陣分解法(Golub算法)所得結果完全一致，表明本文建模方法是正確的。

對于加權模型，因為獲取近似值的3種方法(即x為自變量、y為自變量和等精度模型)得到的a0和b0相差很大，必須采用迭代算法。本文閾值設置為10-5，對于這3種方法獲得的近似值，最多迭代5次后就都收斂到了同一數值，表明本算法穩定，不受近似值的影響，解決了用不等精度直線擬合模型中存在的兩個問題。

從表2可以看出，本文的結果與真值和嚴密算法相比還存有微小的誤差，用向量的2-范數來衡量相對誤差，該方法計算結果的相對誤差僅有2%，完全能滿足一般工程計算的精度要求。表明本文所提出的加權擬合模型誤差小，進一步證明了建模方法的正確性。

四、結束語

在深入分析直線擬合誤差模型的基礎上，本文基于附有參數的條件平差理論建模，得到了一種簡單的加權整體最小二乘直線擬合模型。該模型解決了不等精度直線擬合中存在的兩個問題，同時將加權整體最小二乘直線擬合模型納入到測量平差體系中，模型算法簡單且穩定、占機時間少、計算誤差小，不涉及諸如矩陣分解和Kronecker積運算等復雜的矩陣理論，非常有利于廣大一線測繪工作者的應用。對于解決目前遇到的許多新問題具有一定的參考價值，對進一步研究顧及系數矩陣誤差的整體最小二乘解具有一定的啟發，為今后更深入地研究加權整體最小二乘在測繪中的應用打下了一定的基礎。

參考文獻：

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