圓柱體的擬合與質量檢測

王君剛，王解先,2

(1. 同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092；2. 現代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室，上海 200092)

一、引 言

在工程測量中，經常有涉及建筑物形變監測的問題，需要精確地確定建筑物的空間形態和位置，進而分析建筑物的質量狀況。實際應用中大多數建筑物是由規則的幾何體(如長方體、圓柱體等)構成的。對圓柱體的擬合就是確定圓柱體軸線的位置和方向，以及圓柱體的半徑。

圓柱體的擬合方法有高斯圖法[1]、遺傳算法[2]、特征值算法[3]等。但是這幾種算法都有一定的缺陷：基于遺傳算法和高斯圖的圓柱體擬合在計算上比較繁瑣；基于特征值的圓柱體擬合存在一定的近似計算，并不是基于幾何距離的最小二乘算法。本文采用一種比較簡單的算法，以觀測點到擬合圓柱面的距離平方和最小為原則，擬合出圓柱面的空間位置和形態參數。

由于在一個測站上不能均勻地觀測圓柱體表面的多個點位，因此需要在兩個測站從不同方向觀測圓柱體，然后將觀測的坐標歸算到同一坐標系。利用觀測的點位坐標，擬合出圓柱體的空間位置和形態參數，然后計算觀測點的圓度。為了更直觀地表示觀測點的圓度，可以將圓柱體側面展開，用等值線的方式表示整個圓柱體側面的凹凸性。

下面將詳細闡述坐標測量與轉換、圓柱體擬合及圓柱體質量檢測的原理與計算過程。

二、坐標轉換

在兩個測站上任意設站對圓柱體進行觀測，獲得的點位坐標分屬不同坐標系，需要將其歸算到同一坐標系。本文利用在兩個測站上觀測的公共點坐標，獲取兩坐標系之間的轉換參數。由于兩測站坐標系之間不存在尺度變化，因此只有6個轉換參數[4]。兩坐標系之間的轉換公式為

(1)

式中，α、β、γ分別為繞X、Y、Z的旋轉角，以逆時針為正；ΔX、ΔY、ΔZ為3個平移量。將上式線性化，根據公共點的坐標列立誤差方程構成法方程，迭代計算至改正數符合限差即可[5]。

三、圓柱體擬合

利用上面計算的坐標轉換參數，將兩個測站觀測的圓柱體表面點位坐標歸算到同一坐標系下，然后進行圓柱體的擬合。

圓柱體的幾何特征包括：軸線的單位方向向量(abc)，軸線上某一固定點P0(X0，Y0，Z0)及圓柱體的半徑R。由于軸線的方向在數學表示上不唯一[6]，同一軸線可以表示為相反的兩個向量，因此規定：a>0，若a=0則b>0，若a=0，b=0則c>0(由單位向量的定義可知此時c=1)。 由于固定點可以選取位于軸線上的任一點，因此該點只有兩個未知數，即固定點的某一分量為已知值。

圖1 觀測點與圓柱體關系示意圖

而

因此誤差方程為

di=

R

(4)

將誤差方程線性化，組成法方程。此外，根據單位向量的定義，還有條件式

a2+b2+c2=1

(5)

根據附有限制條件的間接平差計算圓柱的6個參數。

四、圓柱體質量分析

1. 圓柱體的圓度

在擬合得到圓柱體的參數后，可以求得圓柱體的圓度。以觀測點到所擬合的圓柱體表面的距離di來表示圓度[7]，即式(4)中的殘差，在此稱為絕對圓度。由于圓柱體的半徑不同，絕對圓度并不能很合理地表示圓柱體的質量狀況，因此引入相對圓度的概念，以絕對圓度與圓柱半徑之比作為相對圓度，這樣能更合理地表達觀測點相對于圓柱體表面的偏離程度。相對圓度dri計算公式為

式中，R為圓柱體半徑。

2. 圓柱體傾斜率

由圓柱體軸線的方向向量(abc)，可以計算圓柱體軸線的垂直角δ為

δ=arccos|c|

(7)

3. 投影點坐標

式中，R為擬合的圓柱體半徑。

4. 圓柱體側面的展開

將觀測點投影到圓柱體側面后，可以將圓柱側面展開，從而更直觀地表示投影點在圓柱體側面上的分布及殘差。將圓柱體側面展開需要建立圓柱標準坐標系和圓柱展開面坐標系，將投影點坐標從測量坐標系轉換到圓柱標準坐標系，然后再轉換到圓柱展開面坐標系。

(1) 圓柱標準坐標系

以圓柱軸線上的固定點P0為坐標原點o，以圓柱軸線方向(abc)為z軸方向，建立圓柱標準坐標系oxyz。測量坐標系與圓柱標準坐標系的關系如圖2所示。

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z軸方向(ez1ez2ez3)=(abc)，x軸在測量坐標系OXYZ中的方向定義為過o與圓柱軸線垂直的任意方向，設x的方向為(ex1ex2ex3)，且滿足

圖2 測量坐標系與圓柱標準坐標系

任意點在測量坐標系OXYZ中的坐標(Xi，Yi，Zi)與其在圓柱標準坐標系oxyz中的坐標(xi，yi，zi)的關系為

根據式(13)可以將觀測點的測量坐標轉換為圓柱標準坐標。

(2) 圓柱展開面坐標系

式中，R為圓柱半徑；ωi為Pi點在xoy面上的投影與ox的夾角，以逆時針為正，ωi的取值范圍為[-π,π]。ωi的計算式為

根據式(14)與式(15)，可以將位于圓柱表面上的點位從圓柱標準坐標系轉換到圓柱展開面坐標系。

圖3 圓柱標準坐標系與圓柱展開面坐標系

五、算例分析

本文以同濟大學校內某圓柱體為例，利用索佳SET230R無反射電子全站儀，在兩個測站上各觀測了4個公共點及均勻分布在圓柱表面上的29個點。

根據上文中的坐標轉換關系，利用4個公共點坐標和式(1)，求得兩個測站坐標系之間的轉換參數見表1，公共點的坐標及坐標殘差見表2。

表1 坐標轉換參數

表2 公共點坐標及轉換殘差

坐標轉換的單位權中誤差為5.6 mm。

利用表1中的坐標轉換參數，將在兩個測站上觀測的圓柱表面點位坐標歸算到同一坐標系下，按照式(4)列立誤差方程并組成法方程，附加限制條件式(5)，根據附有限制條件的間接平差進行解算。本算例中固定點的已知分量為Z0，取各觀測點6.268 5 m。平差后固定點另兩個分量X0、Y0分別為：5 836.919 3 m、2 666.329 9 m，圓柱軸線的單位方向向量為(0.000 746 2 0.002 102 2 -0.999 997 5)，圓柱半徑為0.122 6 m。根據圓柱軸線方向和式(6)，軸線傾斜率δ=7′40.107 972″。各觀測點中誤差為1.7 mm，各觀測點的圓度與相對圓度見表3。

由式(7)將觀測點投影到圓柱體表面，然后以(5 836.919 3，2 666.329 9，6.268 5)為原點o建立圓柱標準坐標系，以圓柱軸線方向為z軸，從原點o指向(-0.999 999 7 0 -0.000 746 2)方向為x軸，則y軸指向(0.000 001 6 -0.999 997 8 -0.002 102 1)。將投影點坐標轉換到圓柱標準坐標系，并建立圓柱展開面坐標系，將圓柱側面展開，各投影點在圓柱展開面坐標系中的坐標見表3。

表3 觀測點的圓度以及在圓柱展開面坐標系中的坐標

根據表3中觀測點的投影點在圓柱展開面坐標系中的坐標和觀測點的圓度，繪制展開面的等值線，如圖4所示。對觀測點的圓度進行分析，繪制殘差分布如圖5所示，殘差分布圖可以直觀地表達殘差是否符合偶然誤差的規律。

通過表3、圖4和圖5可以看出，圓柱表面比較平整，觀測點殘差分布合理。對照圖4與表3可以對圓柱體表面的凹凸性有直觀清晰的認識。

圖4 圓柱面展開圖

圖5 觀測點誤差分布圖

六、結束語

本文介紹了根據圓柱表面觀測點的坐標，利用最小二乘原理擬合圓柱體的空間位置和形態的方法與計算過程。該方法原理清晰、計算簡單、結果可靠，而且有實際的幾何意義，并通過算例驗證了該擬合算法的可靠性與準確性。

擬合出圓柱體后，根據觀測點坐標與圓柱體參數可以計算觀測點的圓度，本文引入了相對圓度的概念，以圓度與圓柱半徑的比值表示相對圓度，從而更加合理地表達觀測點相對圓柱體表面的偏離度。利用圓柱體的參數計算觀測點在圓柱體表面的投影點坐標，然后經過坐標轉換，將圓柱側面展開為平面，能夠更加直觀地表示投影點的分布。本文詳細闡述了圓柱體側面展開的原理和計算過程，通過算例驗證了算法的可行性。

作為一種基本的幾何體，圓柱體在建筑物、工業部件中很常見，因此圓柱體的擬合在工程測量、工業測量、逆向工程中都有著廣泛的應用。本文介紹的圓柱體擬合方法與質量檢測方法易于理解、便于計算，且精度可靠，在圓柱體的擬合和質量檢測中是一種可靠的方法。

參考文獻：

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