注重逆向思維在數學活動中的培養及應用

楊孝貽

（福建省三明市尤溪縣第五中學 三明市 365000）

顧名思義，逆向思維就是指改變常規、反其道而行之的思維，是從問題的相反方向入手的一種思維模式.在數學活動過程中，人們往往只局限于按照熟悉的、常規的思路去思考問題，然而有些問題僅憑這種思維是不易得到正確結果的，甚至無從入手.而逆向思維會讓你在解決問題的多種方案中獲得最佳的方法和途徑，得到意想不到的、事半功倍的效果.下面就逆向思維在數學教學過程中的培養及在數學學習過程中的應用加以簡述.

一、在數學教學過程中注重逆向思維的培養

作為思維的一種形式，逆向思維是人們在學習和生活過程中必備的一種思維品質。在數學教學過程中，注重對學生逆向思維能力的培養，不僅能夠開拓學生的解題思路，還有助于激發學生的創新精神，提高學生分析問題和解決問題的能力.下面就以下兩個方面加以簡述.

1．在數學教學過程中激發學生逆向思維的興趣

興趣是最好的老師，在數學教學過程中，教師應當有意識地激發學生逆向思維的興趣，提高學生逆向思維的主動性和積極性.比如通過對現實生活中的典例或某些趣味問題的展示，就能很好地激發學生逆向思維的興趣.

例如“司馬光砸缸”是一個眾所皆知的歷史小故事，有人落水，人們常規的思維方式是“救人離水”，而幼小的司馬光無法按照傳統的方法做到這一

點.面對險情，他果斷地用石頭把缸砸破，做到“讓水離人”，從而救活了小伙伴.他的成功，就在于他有反常規的思維方式逆向思維.通過這個歷史小故事，讓學生感悟到“救人離水”與“讓水離人”是正反兩種不同的思維方式，體會逆向思維的妙用，從而激發學生對逆向思維的興趣.

2．在數學教學過程中培養學生逆向思維的習慣

人們對事物的興趣往往會隨著時間和環境的改變而發生變化，學生更是如此.教師用個別典例或某些趣味問題來激發學生逆向思維的興趣，短時間內也許能使學生在思考問題時，采用逆向思維的方式對所給的問題進行逆向分析，但要想讓學生形成長期的逆向思維意識，卻非一蹴而就.因此，在數學教學過程中，教師應充分采用逆向分析，將逆向思維的思想有意識地加以滲透和突出，并貫穿到每一堂課中，從中增強學生逆向思維的意識，養成良好的逆向思維習慣.

二、在數學學習過程中注重逆向思維的應用

數學的概念、定理和性質的理解；數學的公式、法則的應用；數學命題的解答等等，這些都是培養學生思維能力的重要手段，教師在教學過程中應高度重視對學生逆向分析能力的訓練，把逆向思維意識融入到整個課堂教學過程之中，從而找到解決問題的捷徑，提高學生分析問題、解決問題的能力.下面就以下三個方面加以簡述.

1．用逆向思維來加深對數學概念、定理和性質的理解

數學的概念、定理和性質是數學推理論證和運算的基礎，我們在平時教與學的過程中，往往只拘限于從左到右的運用，這就形成了正向思維定勢，對于逆用公式、法則和性質很不習慣.因此在數學教學過程中，除了讓學生理解其本身的含義及常規應用外，還要善于啟發學生反過來思考，從而加深對數學概念、定理和性質的理解.

例如在事件相互獨立的概念中，“若兩事件A、B滿足P（AB）=P（A）P（B），則稱事件與事件相互獨立”.這一結論為判斷事件的相互獨立性提供了有力的依據，但已知兩事件A、B相互獨立，能否利用P（AB）=P（A）P（B）來計算兩相互獨立事件同時發生的概率呢？這就要對概念進行反思得出結論：“兩事件A、B滿足P（AB）=P（A）P（B）”是“事件A與事件B相互獨立”的充要條件.

又如化簡代數式（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）2+5（x-1）+1，我們慣用的思路是利用二項式定理逐個展開計算，這種傳統的解題方法不但繁雜而且會浪費大量的時間，如果能仔細觀察式子的結構特點，逆用二項式定理，就會發現這個代數式[（x-1）+1]5實際上是的二項展開式，那么化簡的結果就呼之欲出了.還有立體幾何中，許多判定定理與性質定理是互逆的，這就要讓學生開啟逆向思維的大門，探討其逆命題是否成立了.由此可見，逆向思維有助于學生加深對數學概念、定理和性質的理解.

2．用逆向思維來提高數學公式、法則的應用能力

數學的公式、法則往往都有雙向性，從左到右及從右到左的轉換正是由正向思維演化到逆向思維的能力體現.加強逆向應用公式、法則的訓練，可以提高學生的逆向思維能力和發散思維能力，開闊思維空間，大大刺激學生學習數學的主觀能動性與探索數學奧秘的興趣.

例如求三角函數式的值的問題，學生慣用的思路是“切化弦→變形→求值”，但這種傳統的解題方法是個繁瑣的過程，要想迅速、準確地得到運算結果，就需認真觀察式子的結構特點，運用逆向思維的思想，逆用三角公式就很容易得到所求的值了.又如計算對數式lg2+lg5，若按常規的正向思維方式，不用計算器就難以入手了，如果運用兩數積的對數運算法則的逆推式，就很容易得到所求的值為1.由此可見，逆向思維有助于學生迅速準確解答問題，提高公式、法則的應用能力.

3．用逆向思維來拓展解決數學問題的思路

在數學解題過程中，人們通常是從給定的已知條件去探索所求的結論，然而有些數學命題,若總是按照這種思維定勢去解決，常常伴隨著較大的運算量和復雜的解題步驟.此時，作為思維方式之一的逆向思維就凸顯了它的優越性.

例1.將函數y=lnx的圖像繞平面直角坐標系的原點O按逆時針方向旋轉角θ后第一次與y軸相切，則角滿足θ的條件是（）

A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=1 D.cosθ=1

解析：首先要將函數y=lnx的圖像繞原點O按逆時針方向旋轉角θ，作出它第一次與y軸相切時的圖像，這就存在著作圖較難的問題.若采用逆向思維，將原題設反向考慮成“函數y=lnx的圖像保持不動，將y軸繞著原點O按順時針方向旋轉θ角（x.y軸保持垂直）后第一次與函數y=lnx的圖像相切”，那么作圖就相對容易，后續的解答也就順理成章了.

例2.德國數學家洛薩·科拉茨在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半（即）；如果它是奇數，則將它乘3加1即（3n+1），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1．如初始正整數為6，按照上述變換規則，我們得到一個數列：6，3，10，5，16，8，4，2，1． 對科拉茨猜想，目前誰也不能證明，更不能否定．現在請你研究：如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換（注：1可以多次出現）后的第八項為1，則n的所有可能的取值為_______.

解析：用常規的順向思維方式來確定n的所有可能取值，較易想到的思路是把正整數n（n=1、2、3、...）按從小到大的順序逐個加以驗證，從而找出滿足條件的n的所有可能取值，由于驗證的次數較多，這種方法絕非上策.若用逆向思維來考慮這個問題，從第八項為1，按照上述規則的逆運算進行驗證，則n的所有可能取值就相對容易得到了,n的所有可能取值為2、3、16、20、21、128.從答案中可以看出，n的值要按從小到大的順序逐個驗證到128才終止.可要做到這一點，卻又談何容易.

總之，在數學教與學的過程中，注重逆向思維能力的培養和應用，有助于學生對數學概念、定理和性質的理解，提高數學公式、法則的應用能力，拓展解決數學問題的思路；更有助于學生形成良好的思維習慣，具備良好的思維品質，從而提高學生的學習興趣與學習效果，激發學生的創新開拓精神，提升學生的思維能力和整體素質.