基于結合面基礎特性參數的球面結合部模型研究

劉潔

(延安大學 化學與化工學院，陜西 延安 716000)

0 引言

對于結合面的各種結合條件，可以通過大量的基礎實驗來獲得不同情況下(如不同的載荷大小和性質，結合面材料，結合面的加工方法及表面完整性，潤滑油性質等)結合面的基礎特性參數。關于如何運用基礎特性參數解析計算實際機械結合部特性參數，即如何把結合面的基本假設，數學模型的理論運用于計算結合部特性參數的研究方面，國內外不少學者都在研究。文獻[1]的作者提出假設，組成結合部的構件在結合部處的剛度比結合面的剛度高的情況下，忽略構件本身在結合部處變形的影響。這就使結合部復雜的變形計算問題轉化成僅計算結合部的接觸表面層的變形問題，從而使結合部的變形可由構件間的相對線位移和相對角位移來表示。這是在處理結合部變形這一復雜的非線性問題上的一個突破。文獻[2]的作者，根據以上結合部的物理假設，建立了平面移動導軌結合部變形的通用數學模型，并編制了計算平面移動導軌結合部變形的通用計算軟件。并以JISGNC數控車床橫溜板為對象進行了實驗驗證，證明了上述結合部物理假設為基礎所建立的數學模型是適合的，計算程序是正確的。文獻[3]的作者，以滿足機械系統解析對結合部的上述要求為出發點，建立了圓柱結合部變形的通用數學模型，編制了計算圓柱結合部變形通用計算程序，并通過實驗驗證了其理論和程序是正確的。

在解析球面結合部時，也應用了文獻[5]提出的結合部物理假設。并通過借鑒圓柱面結合部的研究成果，進一步發展研究，提出了球面結合部的解析方法，編制了相應的解析程序，并通過了理論對比論證了其理論及相應的解析程序也是正確的。

1 球面結合部理論解析

1.1 球面結合部數學模型

圖1所示的球面結合部的總體坐標系xyz-O，xyz-o為球面上任一點的局部坐標系。

圖1 球面結合部計算坐標系

1.2 球面結合部位移條件及載荷結合條件的確定

1) 設球面上任意一點A處坐標(R,φ,θ)，其中x3表示在XYZ-O中z向坐標，圓球的半徑為R，其中X3=R·cosφ，r=R·sinφ。球面結合部坐標系∑J—xyz-O，球面結合面坐標系∑S—xyz-o。

從結合部坐標系∑J到結合面坐標系∑S的變換可以依次通過以下變換得到：

一次平移變換：

(rcosθ,rsinθ,X3)；

兩次旋轉變換：

則球面結合面坐標系∑S相對于球面結合部坐標系∑J的齊次變換矩陣為：

(1)

其中：

(2)

(3)

式中：SRJ是球面結合面坐標系與球面結合部坐標系的旋轉變換矩陣；

JPS是球面結合部坐標系與球面結合面坐標系的平移變換矩陣。

2) 設球面結合部變形位移列陣為：

{xJ}={xJ1,xJ2,xJ3,xJ4,xJ5,xJ6}T

(4)

式中：xJ1,xJ2,xJ3——分別為球面結合部x，y，z方向的線位移；

xJ4,xJ5,xJ6——分別為球面結合部x，y，z方向的角位移。

{xJS}=[SJJ]·{XJ}

(5)

式中： [SJJ]——球面結合面S與球面結合部J的坐標變換雅克比矩陣；

{XJS}——球面結合面的位移列陣。

則可由式(4)、式(5)可以求出球面結合面位移。

3) 由第一章和式(5)可以求出球面結合面上任一點處的接觸變形：

λτ=(xJ1+Rcosφ·xJ5)sinθ+(Rcosφ·xJ4-xJ2)cosθ-Rsinφ·xJ6

λn=cosθsinφ·xJ1+sinθsinφ·xJ2+cosφ·xJ3λ3=cosθcosφ·

xJ1+sinθcosφ·xJ2-sinφ·xJ3-Rsinθ·xJ4+Rcosθ·xJ5

(6)

4) 球面結合部反力及反力矩：

FRK=JJS·FRS

(7)

式中：FRK—作用在球面結合部上的反作用力及反力矩(K=1,2…6)；

JJS—球面結合部∑J與球面結合面∑S的力雅克比坐標變換矩陣；

FRS—球面結合面上的反作用力。

當結合部受力位移后，作用于球面上的反載荷可由求出：

(8)

1.3 球面結合部剛度矩陣的確定

當結合部受外力作用發生變形位移{XJ}后，結合部所受的力{FJ}={F1,F2,F3,F4,F5,F6}T

可表示如下：

F1=-FR1=

F2=-FR2=

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)sinθ-ατλnβτλτcosθ]X3}ds

[(ατλnβτλ3sinα+αnλnβncosα)cosθ-ατλnβτλτsinθ]X3}ds

(9)

其中：式(9)的λn，λτ，λ3與式(6)相同。

根據剛度的定義，可以用Fi(i=1,2,…6)分別對XJj(j=1,2,…6)求偏導數而求出剛度矩陣中的每個元素kij。即：

(10)

若以λn，λτ，λ3為中間變量，則kij可表示如下：

(11)

現以k21為例推導出如下：

cosθcosα+αnβnλnβn-1cos2αsinθcosθ-ατβτλnβτ-1λτcosθcosθcosα+ατλnβτsin2αsinθcosθ)φ(λn)rds

(12)

由第一章可知：

(13)

ατλnβτ=kτ

(14)

所以：

(15)

根據上面的方法可以求出圓錐面結合部剛度矩陣[KJ]中的每個元素kij。因篇幅所限，這里省略其他剛度值的推導過程?？傊?，根據式(10)可以推導出球面結合部的剛度矩陣。

2 球面結合部解析程序及理論驗證

對前面提出的關于球面結合部的數學模型中，含有六個待求的未知量XJi(i=1,2…6),但是由于這六個未知量都是隱含的，無法從方程組中分離出來。對于隱含的非線性方程組的求解問題，目前一直沒有一種通用的計算方法來加以解決，在借鑒了文獻[5]中的計算程序所用的計算方法的基礎上，采用了求解變量輪換弦截法，對球面結合部的數學模型，編制FORTRAN語言程序來求解。所謂坐標輪換弦截法的基本思想就是在給出欲求量賦初值后，通過弦截法來改進欲求量的值，對求解的數學模型中的每個方程輪換地進行驗算，一直到每個方程都滿足給定的精度后，輸出欲求量。

2.1 球面結合部解析程序編制說明

a) 程序的基本功能

1) 確定球面結合部的位移結合條件；

2) 確定球面結合部的載荷結合條件；

3) 確定球面結合部的靜剛度及動剛度；

4) 確定球面結合部的阻尼特性。

b) 程序結構流程圖(圖2)

圖2 程序流程圖

c) 程序各模塊功能

1) 主程序模塊：主要用來輸入控制參數、基礎特性參數、結構參數、載荷參數等。

2) 位移解析模塊DISPLACE：用于確定結合部位移結合條件。

3) 反力計算模塊REACTF：用于計算結合部反力及確定結合部載荷結合條件。

4) 面壓計算模塊PRESSURE：用于確定各結合面的載荷結合條件。

5) 剛度計算模塊STIFF：用于確定各結合面的剛度及結合部總剛度。

6) 阻尼計算模塊DAMP：用于確定結合面的阻尼特性。

2.2 球面結合部實例驗證

a) 實例驗證(圖3)

圖3 球面結合部坐標系

設作用于球面及圓柱面結合部的作用力均為：Fx=1400N，其余方向的作用力及力矩全為零。通過編制的程序分別比較這兩種情況的計算結果：

1) 設球面的半徑R=0.82m，其中取φa=89°,φb=91°，則通過編制的球面結合部程序計算輸出結果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12451E+06 -0.68760E-02 -0.10690E-03 0.0000 -0.11573E-02 0.63331E-01

-0.68760E-02 0.12451E+06 0.16288E-05 0.11573E-02 0.0000 492.06

-0.10690E-03 0.16288E-05 25403.-0.63331E-01 -492.06 0.0000

0.0000 0.11573E-02 -0.63331E-01 8533.5 0.41546E-03 0.22257E-04

-0.11573E-02 0.0000 -492.06 0.41546E-03 8536.0-0.13031E-05

0.63331E-01 492.06 0.0000 0.22257E-04 -0.13031E-05 17066.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.29

CJ5[N·m·s/rad]=6.29

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

2) 設圓柱面的半徑為R'，則球臺面等效為圓柱面的半徑近似為：

R'=R·sinφa=0.819875m , 而且Za=R·cosφa=0.014311m，

Zb=R·cosφb=-0.014311m。通過圓柱結合部程序計算輸出結果為：

STATIC STIFFNESS MATRIX OF JOINT SURFACE:

IJS=1

0.12449E+06 -0.12315E-02 0.00000.25746E-07

-0.41531E-05 0.61525E-01

-0.12315E-02 0.12449E+06 0.0000-0.19629E-05 -0.25746E-07 491.78

0.0000 0.0000 25378.-0.61525E-01 -491.78 0.0000

0.25746E-07 -0.19629E-05 -0.61525E-01 8534.5 0.53026E-03 0.37521E-06

-0.41531E-05 -0.25746E-07 -491.78 0.53026E-03

8537.0 -0.36427E-06

0.61525E-01 491.78 0.0000 0.37521E-06 -0.36427E-06 17059.

GENERAL DYNA.STIFFNESS MATRIX OF JOINT:

KJ1[N/μm]= 0.103E+06

KJ2[N/μm]= 0.103E+06

KJ3[N/μm]= 0.215E+05

KJ4[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ5[N·m/(μm/m)]= 0.724E+04

KJ6[N·m/(μm/m)]= 0.145E+05

GENERAL DYNA.DAMPING MATRIX OF JOINT:

CJ1[N·s/m/mm2]=138.

CJ2[N·s/m/mm2]=138.

CJ3[N·s/m/mm2]=18.7

CJ4[N·m·s/rad]=6.30

CJ5[N·m·s/rad]=6.30

CJ6[N·m·s/rad]=12.6

b) 實例驗證結論

由此可以看出，當球面半徑為R時，其中φ=89°-91°，可以把球臺面近似為半徑R'=R·sinφ的圓柱面求解，通過對圓柱面結合部計算的對比就可以論證本文中球面結合部理論解析及解析程序是正確的。

3 總結

通過建立球面結合部數學模型，然后推導出球面結合部位移及載荷結合條件，并給出了球面結合部剛度矩陣的求法，為以后機械系統性能分析提供通用性參數打下基礎。最后介紹了編制基于FORTRAN語言的球面結合部解析程序說明，并通過實例對比驗證了球面結合部解析方法及解析程序是正確的。

[1] 黃玉美,張廣鵬,高峰.虛擬樣機整機結構特性邊界元仿真[M].北京：機械工業出版社,2004:152-173.

[2] 董獻國.導結合部的變形解析、加工誤差綜合及其結構優化設計[D].西安：陜西機械學院碩士論文.1989.

[3] 王曉春,孔祥安.接觸力學及其計算方法[J].西南交通大學報,1996,31(3):230-233.

[4] 溫衛東,高德平.接觸問題數值分析方法的研究現狀與發展[J].南京航空航天大學學報, 1994，26(5):664-667.

[5] Parson B,Wilson E A.A method for determning the surface contact stresses resulting from interference fits[J].ASME J Engng for Industry,1970;208-218.

[6] Ohtakake K,Oden J T,Kikuchi N.Analysis of certain unilateral problem in von karman plate theory by a Penalty method-Part I:a variational pririple with penalty[J].ComPut & Meth Appl Mech and Engng,1980;24:187-213.