兩種功率倒置陣列天線調(diào)零模型的等效性分析

石 榮,鄧 科,李 洲,張 偉

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610036)

0 引 言

在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的功率低,傳輸距離大,到達(dá)地面導(dǎo)航接收機(jī)的信號(hào)十分微弱,非常容易被干擾，鑒于此,各種衛(wèi)星導(dǎo)航抗干擾手段的研究一直沒(méi)有間斷,除了時(shí)域和頻域所采取的抗干擾方法之外,采用陣列天線來(lái)接收衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào),并根據(jù)干擾來(lái)波方向調(diào)整天線中各個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù),在干擾來(lái)波方向上自動(dòng)形成零陷,從而達(dá)到在空域上抑制并濾除干擾的目的,這一措施進(jìn)一步增強(qiáng)了衛(wèi)星導(dǎo)航接收系統(tǒng)抵御外界干擾的能力。

雖然自適應(yīng)天線抗干擾調(diào)零在雷達(dá)、通信、聲納等各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的研究,但是在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中這一陣列天線調(diào)零有其特殊性。因?yàn)閷?dǎo)航信號(hào)是一個(gè)擴(kuò)頻信號(hào),天線接收到的導(dǎo)航信號(hào)一般在接收機(jī)的噪聲基底之下,而外界的干擾信號(hào)往往在噪聲基底之上,所以衛(wèi)星導(dǎo)航陣列接收天線通常采用功率倒置的方法來(lái)形成針對(duì)干擾的零陷,且干擾信號(hào)越強(qiáng),天線在干擾來(lái)波方向的零陷就越深。目前已經(jīng)有大量的文獻(xiàn)對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航陣列接收天線的功率倒置調(diào)零問(wèn)題進(jìn)行了研究,所采用的分析模型主要有兩種:一種是基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型[1-5],另一種是線性約束條件下的最小功率模型[5-8]。本文在對(duì)上述兩種模型簡(jiǎn)要分析的基礎(chǔ)上,利用分塊矩陣求逆的相關(guān)特性,從理論上證明了上述兩種模型之間的等效性,也就是說(shuō),在這兩種模型中依據(jù)任一種模型所計(jì)算出的天線陣元的加權(quán)系數(shù)都是一樣的，所以可以根據(jù)不同的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合和不同的研究關(guān)注重點(diǎn),分別采用不同的模型。

1 兩種功率倒置調(diào)零模型

在采用功率倒置調(diào)零的衛(wèi)星導(dǎo)航接收系統(tǒng)中,以M+1個(gè)天線陣元組成的接收陣列天線，如圖1所示。

圖1 功率倒置調(diào)零陣列天線示意圖

圖中：X=[x0,x1,x2,…,xM]T表示輸入信號(hào)向量；W=[w0,w1,w2,…,wM]T表示加權(quán)向量,整個(gè)天線陣列的輸出記為y,于是有

y=WHX，

(1)

式中：上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置。通過(guò)不同的方法來(lái)求解式(1)獲得最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)Wopt,從而在干擾來(lái)波方向形成陣列天線波束方向圖的零點(diǎn),由此起到在空域上抑制和濾除干擾的作用。

1.1 基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型

功率倒置調(diào)零的第一種常見(jiàn)模型是“基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型LMS”,在該模型中將第0號(hào)陣元接收的信號(hào)x0作為參考信號(hào),剩余的M個(gè)陣元接收信號(hào)在經(jīng)過(guò)加權(quán)合成后的信號(hào)要求與參考信號(hào)之間的均方誤差最小。記這M個(gè)陣元的輸入信號(hào)為XL=[x1,x2,…,xM]T,與之對(duì)應(yīng)的M個(gè)可調(diào)加權(quán)系數(shù)組成的向量為WL=[w1,w2,…,wM]T,于是系統(tǒng)輸出yL可以表示為

(2)

按照最小均方誤差準(zhǔn)則,M維的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)WL,opt可表示為

(3)

將式(2)代入式(3),通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算,并令導(dǎo)數(shù)為零,可求得最優(yōu)加權(quán)系數(shù)為

(4)

(5)

1.2 線性約束條件下的最小功率模型

功率倒置調(diào)零的第二種常見(jiàn)模型是“線性約束條件下的最小功率模型LCMP”,在很多文獻(xiàn)中也將其稱之為“線性約束最小方差LCMV 模型”[5-9]。在該模型中,所附加的無(wú)畸變約束條件為

WH·C=1,

(6)

其中,C=[1,0,0,…,0]T為M+1維的約束向量。

根據(jù)拉格朗日乘子法,M+1維的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)Wopt,2可表示為

(7)

式中:λ為拉格朗日乘子;*為共軛運(yùn)算，于是通過(guò)式(7)可求得

(8)

式中：Rxx=E[X·XH]為所有M+1個(gè)天線陣元接收信號(hào)的自相關(guān)矩陣。

2 兩種模型的等效性分析

由上可見(jiàn),在衛(wèi)星導(dǎo)航中陣列接收天線的功率倒置抗干擾調(diào)零有兩種模型,并且這兩種模型在已經(jīng)公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)中都得到了應(yīng)用。實(shí)際上這兩種模型相互之間是等效的,具體證明如下。

在“線性約束條件下的最小功率模型”所導(dǎo)出的式(8)中,Rxx為(M+1)×(M+1)維的自相關(guān)矩陣;而在“基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型”所導(dǎo)出的式(4)中,RL,xx為M×M維的自相關(guān)矩陣,它們都是埃爾米特矩陣,并且相互之間的關(guān)系可由下面的分塊矩陣來(lái)表示

(9)

(10)

式中:GM×M表示M×M維的矩陣;gM×1表示M維的列向量;α0,0為一個(gè)數(shù),由于

(11)

式中,I(M+1)×(M+1)表示(M+1)×(M+1)維的單位矩陣,將式(9)(10)代入式(11)得

α0,0rL,x0+RL,xxgM×1=0M×1，

(12)

式中,0M×1表示M維的零向量,由此可解得

(13)

(14)

(15)

對(duì)比式(5)與式(15)有下式成立

Wopt,1=Wopt,2.

(16)

由上可見(jiàn),由兩種模型計(jì)算出的陣列天線的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)是完全相同的,這也說(shuō)明兩種模型是完全等效的。

3 兩種模型的不同應(yīng)用場(chǎng)合

以上理論上證明了兩種模型的等效性,但是這兩種模型的應(yīng)用場(chǎng)合是有所不同的,這也是目前兩種模型在各種文獻(xiàn)中都有應(yīng)用的重要原因之一,簡(jiǎn)要分析如下。

對(duì)于“基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型”,式(4)表示了一個(gè)典型的平穩(wěn)狀態(tài)下的維納解,但是當(dāng)外界的干擾并不平穩(wěn)時(shí),就需要采用自適應(yīng)的調(diào)零解算跟蹤干擾的來(lái)波方向、強(qiáng)度等各個(gè)方面的變化,所以式(4)所表示的模型通常用于自適應(yīng)調(diào)零算法的工程實(shí)現(xiàn)。常用的兩種自適應(yīng)算法分別為L(zhǎng)MS最小均方自適應(yīng)算法與RLS遞歸最小二乘自適應(yīng)算法。

如果采用LMS算法進(jìn)行陣列天線的自適應(yīng)調(diào)零,其加權(quán)系數(shù)的迭代求解為

WL,opt(n)=WL,opt(n-1)+μXL(n-

1)XL(n-1)]*，

(17)

式中:WL,opt(n)為第n次迭代所產(chǎn)生的加權(quán)向量;μ為步長(zhǎng)參數(shù);x0(n)為第0號(hào)陣元的第n次采樣數(shù)據(jù);XL(n)為剩余M個(gè)陣元的第n次采樣數(shù)據(jù)所形成的列向量。

如果采用RLS算法來(lái)進(jìn)行陣列天線的自適應(yīng)調(diào)零,其加權(quán)系數(shù)的迭代求解為[10]

WL,opt(n)=WL,opt(n-1)+K(n)[x0(n)-

(18)

式中,K(n)為增益向量,且由下式?jīng)Q定:

(19)

式中:γ是一個(gè)接近于1,但又小于1的正常數(shù);P(n)表示逆相關(guān)矩陣,可以由下式進(jìn)行迭代計(jì)算:

P(n)=γ-1P(n-1)-γ-1

(20)

通過(guò)式(17)或式(18)所迭代計(jì)算出的陣列天線加權(quán)系數(shù),都可以在衛(wèi)星導(dǎo)航工程應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾來(lái)波方向的自適應(yīng)調(diào)零。

對(duì)于“線性約束條件下的最小功率模型”來(lái)說(shuō),式(8)表示的是一個(gè)獨(dú)立的矩陣形式,常常用于理論上的分析與相關(guān)矩陣的特征分析。由于Rxx是一個(gè)埃爾米特矩陣,所以可以對(duì)其進(jìn)行特征分解為

(21)

式中:λi為矩陣Rxx的第i個(gè)特征值;qi為該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,且各個(gè)特征向量相互正交;λi,J為與干擾相關(guān)的特征值,上式中總共包含了J+1個(gè)干擾,而σ2表示陣列天線中噪聲的方差，于是有:

(22)

4 仿真驗(yàn)證

以衛(wèi)星導(dǎo)航接收系統(tǒng)中常用的4元圓陣天線進(jìn)行仿真,其中第0號(hào)陣元位于圓心處,第1至3號(hào)陣元的相位中心均勻分布于圓周上,整個(gè)圓形區(qū)域的半徑為λ/2.以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),從圓心到第1號(hào)陣元所在方向?yàn)閄軸的正向,圓所在平面為XY平面,建立XYZ三維直角坐標(biāo)系如圖2所示。

如圖2所示,干擾來(lái)波方向的方位角φ=20°,俯仰角θ=30°,干擾信號(hào)的強(qiáng)度比接收機(jī)的噪底高30 dB.由此計(jì)算得到的所有陣元的相關(guān)矩陣Rxx,除第0號(hào)陣元之外的相關(guān)矩陣RL,xx,以及第0號(hào)陣元與其它陣元的互相關(guān)向量rL,x0分別為

圖2 衛(wèi)星導(dǎo)航4元圓陣天線

于是由第一種“基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型”式(4)和(5)計(jì)算出的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)

Wopt,1=[1.0000,-0.1189-0.3055i,

-0.2014-0.2666i,0.1773+

0.2879i]T.

由第二種“線性約束條件下的最小功率模型”式(8)計(jì)算出的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)

Wopt,2=[1.0000,-0.1189-0.3055i,

-0.2014-0.2666i,0.1773+

0.2879i]T.

由上可見(jiàn),兩種模型計(jì)算得到的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)是完全一樣的,這也同時(shí)說(shuō)明了兩種模型之間的等效性。

5 結(jié)束語(yǔ)

從理論上證明了衛(wèi)星導(dǎo)航自適應(yīng)陣列接收天線系統(tǒng)中兩種功率倒置調(diào)零模型的等效性，即分別根據(jù)“基于參考信號(hào)的最小均方誤差模型”與“線性約束條件下的最小功率模型”所計(jì)算出的陣列天線的加權(quán)系數(shù)是完全一樣的。這說(shuō)明在衛(wèi)星導(dǎo)航自適應(yīng)陣列接收天線的理論分析、仿真模擬、系統(tǒng)設(shè)計(jì)和調(diào)試應(yīng)用中,可以根據(jù)所要解決問(wèn)題的特點(diǎn)和方便性,采用其中任意一種模型,所得到的結(jié)果都是一致的，這一結(jié)論也為衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)接收系統(tǒng)中空域抗干擾研究提供了新的參考。

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