對有效培養學生數感的再思考

洪亮

[摘要]早在2001年《數學課程標準（實驗稿）》中描述了數感的主要表現，將“建立初步的數感”列入數學思考目標的首項要求。時過十年有余，審慎觀之，不得不正視這樣一個問題：數感“被焦點”了，它一直徘徊在教學的邊緣。我們的日常教學只關注了標準的程序、方法和技能，卻忽視了數學的直覺、敏感和意識，使得學生的學習機械、繁瑣，對數的感悟越來越遲鈍。這促使我們再次重新思考，什么是數感？怎樣才能讓數感從教學的邊緣走向中心？

[關鍵詞]數感；實踐活動；應用意識

《數學課程標準》（2011年）在原來的基礎上對數感重新進行了界定：數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。

現實生活中的數多是伴以數量的形式出現的，研究單純的數較少，小學的數學研究也多是以學習新的數學知識來解決生活中的問題作為切入點的，把數與量、數學與生活聯系起來，就會使學生更易于理解數的意義。伴隨著這樣的學習，學生對數的感悟自然也會慢慢得到發展，數學學習的內容也會逐步由具體走向抽象，乃至到達純數學的研究領域。由此可見，這里的“數感”指的是對數、數量等的感悟，更多的應該是就“數量感”來說的。

數感是建立在明確數的概念和有效進行計算等數學活動的基礎之上，有助于理解現實生活中數的意義和具體情境中的數量關系。因此，數感使人眼中看到的世界具有量化的意味，是人的一種基本的數學素養。數感的形成既是現實生活的需要，也是發展數學思考、培養創新精神與實踐能力的需要。那么應該如何有效地培養數感？

一、啟蒙數感——豐富厚實的生活體驗

現實生活是數學的源泉。無論是數與數量，還是數量關系，都來源于現實生活。為此可以學生熟悉的、豐富多彩的現實世界作為學習的背景，引導學生在具體情境中感受數值大小，理解數的意義，促進學生主動建構知識，發展數感。

課例：《分數的意義》

（1）從1到“1”

師：請看，老師往這兒一站，幾個人？能用1這個數來表示嗎？（板書：1）想想我們周圍，還有哪些物體的數量也可以用1來表示？

師：看來，能用1表示的物體還真不少。想想看，除了剛才同學們所列舉的一個物體可以用1來表示，還有什么也能用1來表示？

生：（略有遲疑1一個班級也能用1來表示。

師：一個班級可不止1個學生哦，40多個同學能用1來表示嗎？誰來評判評判？

生：40多個同學是一個整體.當然可以用1來表示啦。（生：繼續舉例。）

師：這樣下去，能說完嗎？（生：不能）看來，小小的1還真是無所不包。（師在1上加雙引號）不過，這時的“1”和我們一年級時所認識的1一樣嗎？

生：不一樣。以前認識的1，表示的是1個物體，比如1個人、1瓶水，但現在這個1不但可以表示1個物體，還可以表示由一些物體組成的整體。

師：說得真好！“1”的內涵發生了變化，變得更豐富了。

（2）揭示單位“1”

師：老師這兒還帶來了3個蘋果，能看作“1”嗎？把3個蘋果看作的這個“1”有點像以前學過的什么呀？

生：計量單位。

師：是呀，把3個蘋果看作的“1”其實不就成了一個計量單位了嗎？把它看作一個單位.有幾個這樣的單位就是幾。

師：所以，數學上把這樣的“1”給了一個特殊的名稱叫“單位1”。

教師創設熟悉的生活情境，喚醒學生已有的數學經驗，引導學生在具體情境中經歷從實物到數的抽象過程，感受了從1到“1”，再到“單位1”的發展歷程，從而建立了“單位1”的概念表象。

數的概念的體驗和理解與數感密切相關。數的概念本身是抽象的，學生理解和掌握數的概念要經歷一個過程，應注重選擇學生感興趣的、熟悉的情境和實例，通過觀察、交流、操作等活動，體驗和感受身邊事物中具體的數量，使學生加深理解數的意義，形成對數的良好直覺，啟蒙學生積極的數感。

二、建立數感——充分多樣的探索活動

數量關系是數學研究內容的重要組成部分，對它的感悟是數感的一個重要內涵。具有良好數感的人，在遇到實際問題時，能主動探索具體問題中的數量關系和變化規律，從而順利選擇合理解決問題的方法。教學中引導學生通過分析、概括，認識、理解隱藏在事物之間抽象的本質關系，嘗試用數量關系來表達數學情境，通過猜想、概括等思維活動建立相應的關系模型，達到對數與數之間關系的深刻領悟。

課例：《圖形覆蓋規律》

第三階段的“找”：在抽象中找規律。

（1）師：看來，只要知道什么就可以知道平移的次數？知道平移幾次，有什么用呢？（答略）

師：如果平移20次，就有（21）種不同情況。

如果有100種不同情況，就是平移了（99）次。

（2）師：看來，同學們已經初步掌握了某種規律，下面來考考大家。出示花邊題。

如果花邊有10格，每次給相鄰的五個格蓋上紅色的透明紙，一共有多少種不同的蓋法？

生：數出剩下的花邊，再加1。

生：總個數一每次蓋的個數+1，即10-5+1=6

師：你能試著解釋一下嗎？

生：10-5表示平移幾次.再加上先框住的一次。

師：出示13個花邊的圖案。生列式13-5+1=9

師：比較這兩題，有什么區別嗎？

生：雖然每次蓋的數相同.但總數不同.所以有幾種蓋法也不同。

（3）師：結合剛才同學們所做的，你能歸納這其中不變的規律嗎？

（4）小組交流匯報。

（5）師：如果用a表示總個數，用b表示每次框的個數，有幾種不同情況？該怎樣表示呢？

生：a-b+1

第三次“找”是在學生大量感知、豐富積累后，全面的分析、比較、剔除非本質屬性，找出數量之間的穩固關系，抽象成數學模型，使感性認識上升到理陛認識。

數感的建立應該是一個不斷猜想、驗證、思辨的過程。創設多樣化的、開放性的探究情境，最大限度地激發學生的思維潛力。這樣，學生通過在探究中的多次嘗試、思考、追問，逐步揭示數量之間的關系，體會就會越來越深，可以積累更多的科學、豐富的活動經驗，對數量關系的感覺就會更靈敏、更嚴謹。

三、增強數感——逐層深入的估計運算

日常生活中，所需要估算結果的次數往往要多于精確計算，人們經常在自覺不自覺地運用著估算。估算教學中，要引導學生探索不同的估算方法，結合實際生活經驗交流對比，掌握估計技巧與方法，優化估算的策略，這樣層層遞進、逐層深入，增強學生對數據快速判斷、敏捷估算的能力。

課例：《估算》

（通過曹沖稱象的故事引人，出示6次稱石頭的質量：328、346、307、377、398、352。單位：千克）

（1）師：你能估計出這頭大象大約有多重嗎？把估算的過程記下來。

生1：這6個數都是300多，我就把它們估成400，400x6=2400。

師：非常好！你們能不能給他的做法起個名字？本來這些數有大一點的，有小一點的，有中間的，他這是往哪里估啊？

討論后得出：同看成一個數，把這些數都往大一點的數估，叫大估法。

生2：我把這6個數都估成300.300><6=1800。

學生得出：他是把這些數往小一點的數估，叫小估法。

生3：300+300+300+400+400+400=2100。我是把350看成中間的數.超過350的就把它估成400，低于350的就把它估成300.

師：有的往小一點的估，有的往大一點的估。這方法和前面兩位同學有什么不同？

生：前兩位同學的整百統一，這種整百不統一。

師：那我們就取名字，叫整百不統一。

生4：我把這6個數都看成整百整十數，接近幾十就當成幾十。

330+350+310+380+400+350=2120

師：這樣的估法，就是我們未來要學習的“四舍五入”。

（2）師：同學們想出了4種估計結果的方法.現在用計算器算一算這6個數相加的和是多少？比較一下，這個和與剛才估算的結果，你想說什么呢？

生說（略）

師：這4種估算方法，你比較喜歡哪一種？能說出理由嗎？

從曹沖稱象的故事引出估算，使得估算成為解決實際問題的需要，激發了學生估算的愿望。學生在自主探索后出現了多種不同的估算方法，在比較、反思中逐步優化估算策略，體會到盡管這些方法的具體思維過程不同，但估算的策略都是一致的，都采用了“湊整”的策略。

由此可見，估算比較靈活簡便，它可使學生運用已經掌握的知識和經驗，通過對抽象的數據符號不同角度、不同側面的觀察比較、分析，以敏銳的觀察力和迅捷的判斷力，對問題作簡約推理，接觸問題的本質，使問題得以解決。估算意識和習慣的培養，不能一蹴而就，需要教師經常給學生提供估算的機會和創設估算的情境，強化他們的估算意識和估算能力，讓他們估算越來越準確，估算方法越來越高明，從而擁有良好的信息感，數據感和量化能力。

四、發展數感——精巧扎實的課外實踐

走出課本，到現實生活中去，用數學的眼光去觀察、認識周圍的事物，用數學的眼睛去發現事物的特征、聯系，用數學語言來表達與交流，才會增強數學意識，發展數感。在學習了書本知識后，教師要精心設計課外活動計劃，促使學生到社會中去，靈活運用所學知識來解決問題，在實踐中再次體驗數的感覺、量的直覺。

課例：《（克、千克的認識）實踐活動》

（學習了《克、千克的認識》后，教師給學生布置了課外活動事項。）

（1）找一找周圍還有哪些物體的質量大約是1克、1千克，自己先掂一掂、猜一猜、估一估，再進行檢驗。

（2）掂一掂、說一說你周圍的一些物品的質量大約是幾克、幾千克。可請家長配合完成。

（3）到超市里去，掂一掂貨架上的商品的質量，再與商標上的質量對照。

（4）到菜場或超市里去，估一估買的菜、水果等大約有幾千克。

（5）讓家長拿一些物品，學生觀察后直接說出物品的質量。

在實踐活動中先讓學生尋找和體會“手”的感覺，借助手的感覺豐富對實際數量的感知，然后讓學生通過“火眼金睛”，憑借對數量和形的敏感度，直接說出物品的質量。

總之，數感是一種感悟。感悟是人的思維產物，只能發生在頭腦和心中，不能通過外部的力量來代替。但是數感的體驗和建立需要依靠經驗的積累和理性的疊加，教學作為學生學習的外部支持力量，應該給學生提供感悟的機會，創造感悟的條件，不要再讓數感游離于數學學習的邊緣，真正把數感培養拉入到教學的中心，使學生眼中的世界呈現出“量化”的美。

（責任編輯 楊晶晶）