排隊論在某家樂福超市服務臺優化設計中的應用

范澤超，吳金卓

(東北林業大學 工程技術學院，哈爾濱 150040)

在超市購物方面，人們已經不僅僅滿足于商品的質量和種類，對于超市的服務速度和便捷程度的要求也越來越高。因此，作為一個大型連鎖超市，研究如何提高服務質量是非常有必要的。超市收銀臺作為超市連接顧客的重要紐帶，在提高超市服務水平、增加競爭力方面有十分重要的地位。由于顧客的到來時間和接受服務時間是一個隨機過程，因此該系統是一個隨機服務系統。如果超市開放的收銀臺數目過少，就會造成系統的擁堵，增加顧客的等待時間，造成客戶的不滿意，甚至客戶流失。如果收銀臺設置的數量過多，雖然可以提高客戶的滿意度，但超市投資就會增加并導致資源的浪費。因此，超市決策者需要找到其中的平衡點，既能降低企業的成本，使各項資源得到合理使用，又能提高客戶的滿意度[1]。本文采用排隊論理論來考慮服務臺數最優設計的問題，通過應用超市收銀排隊系統優化模型，并以哈爾濱市某家樂福超市為例，優化其在不同時段開放的服務臺數。

1 超市排隊模型

在超市服務臺系統中，顧客到來的時間和數量屬于隨機分布，而且不同收銀服務臺的服務時間也屬于隨機分布，因此，該系統是一個顯著的隨機排隊服務系統。超市收銀排隊服務系統可以認為是一個具有多服務臺、排隊規則為先到先服務的M/M/n/∞排隊系統[2]。在該系統中，有n個服務臺并列工作，顧客按照參數λ(λ>0)的泊松流到達，單個顧客需要的服務時間獨立且服從參數μ(μ>0)的負指數分布。該系統中的顧客源可以認為是無限的，并且每個顧客到達該系統都是隨機和獨立的[3-4]。

當整個排隊系統穩定時，即ρn<1，顧客在系統中的平均等待時間為

(1)

平均等待隊長為

(2)

上述方法中計算出的僅僅是該模型的初步參數。實際上，由于不同人在不同情況下對于排隊等待時間的容忍度不一樣，例如在空閑時間允許排隊的時間會長一些，而當時間緊急的時候所能允許的排隊時間就會明顯縮短。而且，不同的消費人群所允許的排隊等待時間和隊長也是不一樣的。因此，需要獲取不同人群的最長等待時間和最長等待隊長，在此基礎上對該超市排隊系統的服務臺數量來進行優化，獲得各個時段最佳的服務臺開放數量，這樣既可以提高客戶的滿意度又能為超市節約成本，增加收益。

設顧客所允許的最長平均等待時間為Tw，所能允許的最長隊長為Lw，由此，所能容忍的系統中最長平均等待隊長為nLw，由上可得：

(3)

n的最小取值就是服務臺數量的最優數，即為：

(4)

由上可得：

(5)

(6)

由此，可以建立相應的超市服務臺排隊系統的模型[5]。

2 家樂福超市服務臺排隊系統的模擬及優化

2.1 數據收集

2012年1月到2013年3月，筆者對哈爾濱市某家樂福超市進行數據調查。該超市一共有45個收銀臺，在工作日和節假日分別進行調查統計，并分15個不同時段進行調查(每5 min為一個單位時段)，在每個時段隨機抽查其中的400個樣本進行統計，整理出觀察數據。在非節假日的數據整理見表1、表2和表3。

表1 非節假日顧客到來人數統計頻數Ⅰ

表2 非節假日顧客到來人數統計頻數Ⅱ

表3 非節假日顧客到來人數統計頻數Ⅲ

節假日顧客到來的有關數據整理見表4至表7。

表4 節假日顧客到來人數統計頻數Ⅰ

表5 節假日顧客到來人數統計頻數Ⅱ

表6 節假日顧客到來人數統計頻數Ⅲ

表7 節假日顧客到來人數統計頻數Ⅳ

通過對表1至表7中的數據進行統計分析，可以算出顧客的平均到達率，見表8。表9和表10分別為節假日/非節假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數量。λ1、n1分別表示非節假日顧客到達的均值和相應的各個時段開放的收銀服務臺數。同樣，λ2、n2分別表示節假日顧客到達的均值和相應的各個時段開放的收銀服務臺數。

表8 單位時間內顧客的到達率

表9和表10中的數據表明該超市的收銀臺的開放數目非常不合理。例如，在節假日期間17：00-18：00屬于高峰期，然而開放的數目為30，而13：00-14：00為低值期，但是開放的收銀臺數目同樣為30，這就造成了資源的浪費，并且有可能造成高峰期的擁堵，降低服務質量，在其他時段同樣存在這樣的問題，因此該超市收銀臺服務系統的設置不夠合理，需要對服務臺數進行優化。為了研究收銀臺服務系統中服務員服務顧客的時間的概率分布，在該超市中隨機地調查了顧客的服務時間，整理見表11。并且隨機調查了一部分消費者，獲取其所能容忍的最長的等待時間和等待隊長。見表12至表15。

表9 非節假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數量

表10 節假日各時段顧客的到達率及相應開放的服務臺數量

表11 顧客所需的服務時間 s

表12 非節假日所能容忍的最長的等待時間 min

表13 非節假日所能容忍的最長的等待隊長

表14 節假日所能容忍的最長的等待時間 min

表15 節假日所能容忍的最長的等待隊長 人

根據表12至表15中的數據，可以計算出在非節假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為6.23 min，最長平均等待隊長為7.61人；在節假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為10.57 min，最長平均等待隊長為9.24人。

2.2 顧客到達分布

根據每個時間段的原始數據，分別對其單位時間內即五分鐘內到達的顧客數是否服從泊松分布進行檢驗。本文采用χ2擬合的方法來檢驗，由于泊松分布中的參數λ是未知的，需要先用極大似然估計法來估計這個參數[6-7]。設總體X服從參數為λ的泊松分布，即

(7)

X1，X2，X3，…Xn是來自總體X的樣本，x1,x2,x3，…xn是相對應的樣本X1,X2,X3，…Xn中的一個樣本值，則樣本的極大似然函數為：

(8)

令

可以得到λ的極大似然估計值為

(9)

2.3 指標的計算

在2.1中，在非節假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為6.23 min及最長平均等待隊長為7.61人；在節假日期間顧客所能容忍的最長平均等待時間為10.57 min及最長平均等待隊長為10.24人。參照表16和表17可以看到，該超市在很多時段所開放的服務臺數不合理，存在開放過多和過少的問題，比如在非節假日7：00-8：00，顧客的平均逗留時間為3.08 min，遠小于所能容忍的6.23 min，因此在此時就會造成服務臺資源的浪費。而在節假日8：00-9：00段，顧客的平均等待時間為16.75 min，平均逗留時間為19.52 min，遠遠高于顧客所能容忍的最長時間10.57 min，因此，會造成許多不愿等待的顧客的離開，也就造成了顧客的損失。因此，需要對不合理的時段進行優化處理。

表16 非節假日系統的各項指標

表17 節假日的各項指標

2.4 優化服務臺數

本節將對該超市的收銀臺排隊系統進行優化，通過公式

表18 非節假日應開放的服務臺數量及相應參數

表19 節假日應開放的服務臺數量及相應參數

3 結 論

本文以哈爾濱市某家樂福超市為例，運用統計的方法在非節假日和節假日分別對顧客單位時間的到達數量和服務時間進行了統計，并收集顧客所能容忍的最長等待時間和最長等待隊長，通過M/M/n/∞模型，算出系統的各項指標。根據計算的數據，指出超市服務臺在各時段的開放數目中存在不合理之處，并進行優化，最后給出該超市在非節假日和節假日各個不同時段應該開放的服務臺的數目。但是，本文中還有一些不足，期望在以后的工作中能夠考慮：

(1)本文中數據的收集還不夠精確，因此后續的數據收集在收集方法和收集基數方面應更加精確。

(2)本文中沒有考慮到的M/M/n/∞非平衡狀態，希望后續能加入非平衡狀態的考慮，使結果更加科學準確。

【參 考 文 獻】

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