基于價格和銷售努力補貼的庫存模型

葛安華，苑文雅，白曉宇

(東北林業大學 工程技術學院，哈爾濱 150040)

在經濟快速發展競爭激烈的環境下，經典庫存控制EOQ模型不能完全適用于現在的市場需要。對市場的調查研究可以發現銷售商所確定的銷售價格和銷售努力投入對市場的需求具有決定性的影響，同時越來越多的銷售商意識到只有與供應商有效合作才能達到雙贏。Kunreuther和Richard[1]第一次從定量的角度建立需求受價格影響的最優訂購批量以及最優銷售價格的數學模型；Baker W[2]和Huang Z[3]以廣告作為促銷手段建立供應商和銷售商之間的供貨模型；周永務[4]、汪峻萍[5]在考慮價格與廣告投入費用的前提下，建立了商品的最優廣告投入與訂貨策略的隨機模型；胡本勇[6]、李清艷[7]在研究收益共享和銷售努力成本共擔的供應鏈模型中，分析了銷售努力共擔對供應鏈的協調的影響。

雖然許多研究者針對不同的合作問題建立了需求與價格、銷售努力等相關的分析模型，但是在批量折扣前提下，把銷售價格、銷售努力以及供應商共擔的銷售努力補貼同時引入進行決策的卻很少。本文以價格和銷售努力決定的需求函數為前提，引入供應商提供的銷售努力補貼，建立銷售商最優的定價訂貨模型，以達到利潤最大化。最后通過數值實例對模型進行驗證。

1 銷售商依賴價格和銷售努力補貼的庫存模型

1.1 參數意義與模型假設

(1)參數意義見表1。

(2)模型假定：①假設系統在無限周期水平上運行并且不允許缺貨，補充缺貨瞬時完成；②邊際收入d(pD)/dD=p+D/D′是關于p的增函數[8]，對于任意的p，都存在2-(DD″/D′2)>0。

表1 參數意義

1.2 模型建立

最優庫存控制的決策問題可以轉化為存在批量折扣的情況下，如何確定最優的銷售價格、訂購量以及最優銷售努力投入[9]，從而使銷售商在一個周期內的平均總利潤達到最大。

1.2.1 需求函數的確定

銷售努力投入越多，就有越多的顧客了解其經銷商品和經營場所的有關情況，因而對其經銷商品的需求量就越大。但不能無限制增長，其遞增效用會逐漸減弱，最終趨于零。在保證銷售價格不變的前提下，受銷售努力影響的增加的需求量為D(I)=αIβ[7]，此函數應用較為廣泛更符合實際。α為促銷投資系數，β為投資的彈性，由于邊際效用是逐漸遞減的，所以0<β<1 。

綜合考慮需求受價格和銷售努力的影響，則需求函數為D=f(p，I)=a-bq+αIβ(以下簡稱為D)。

1.2.2 供應商的批量折扣

在實際中，銷售商單位產品的購進價是與其訂購批量緊密聯系的，訂購批量越大，訂購進價相應的減少，即批量折扣。考慮到簡化模型，本文采用符合實際且運用廣泛的全單位量折扣[4]，模型如下：

式中：c0>c1>…>cm。

1.2.3 模型的建立

一個周期內銷售商所獲得的平均總利潤，與銷售收益R、購買費用Cp、庫存費用Ch、訂購費用C0以及銷售商努力投入CI有關，是I、p、Q的函數，記為G(I，p，Q)(以下簡稱為G)。其中，R是指企業在一定時期內銷售產品的貨幣總收入，R=pD。Cp是指支付給供應商的所購物品的費用，Cp=cD。Ch是指貨物入庫到出庫過程中用于物品保管的所有費用，可以簡單地用單位產品在單位時間內庫存持有成本占銷售商單位購買成本的百分比來計算，Ch=Qhc/2。C0是指銷售部門每訂購一次貨物所發生的費用，該項費用只與訂購的次數有關，C0=AD/Q。CI是指在一個銷售周期內，銷售商為了促進商品銷售所做的投入，本文考慮供應商向銷售商提供的銷售努力補貼，則銷售商實際所做的銷售努力投入為CI=λID/Q。

(1)

根據一階最優性條件可得，最優的p*需滿足下式：

(2)

再求G在p=p*的二階偏導得，

同理最優的I*需滿足下式，

(3)

再求G在I=I*的二階偏導得：

(4)

將函數D(I*，p)=a-bp+α(I*)β帶入公式(4)化簡得：

因此，對于確定的訂購批量Q，帶入公式(2)和(3)求得p*和I*實際上是關于Q的函數，即p*=p*(Q)，I*=I*(Q)。將p*和I*帶入式(1)，那么銷售商的平均總利潤可以表示為只關于Q的一元函數，不妨記為G(p*，I*，Q)=G1(Q)。然后，求最優訂購批量Q*使G1(Q)取得最大值。

根據一階最優性條件可得，最優的Q*需滿足下式：

(5)

把函數D(I，p)帶入(2)、(3)、(5)整理并化簡得方程組：

(6)

2 實 例

以哈爾濱市大型超市家樂福所銷售的維達四層薄荷手紙帕為例。經過調查發現家樂福銷售的同類產品大約有10余種，每種又有不同的系列，價位在3～11元/條不等，同類產品之間可替代性強，需求價格彈性較大。根據以往的銷售記錄，利用多元回歸分析的方法預測需求函數為D(p，I)=3600-400p+500I0.2。每次訂購該商品需要的固定訂購費用為A=200元，單位產品在單位時間內平均庫存持有成本占零售商單位購買成本的百分比為h=40%，供應商對銷售商所做的銷售努力補貼率，則λ=1-s=0.8。供應商提供的全單位數量折扣如下：

考慮銷售努力投入時，將所有已知的參數帶入公式(6)中，利用matlab軟件可算出不同訂購價格下銷售商的最優訂購量、銷售價格及銷售努力投入見表2。

表2 計算結果

可以看出，在給定的數值條件下，考慮銷售努力和不考慮時最優銷售價格相差不大，但是大大提高了訂購批量，從而驗證銷售努力促進商品的銷售，提高銷售商的平均總利潤。

3 結 論

在批量折扣情況下，建立了由一個供應商和一個銷售商組成的銷售努力共擔的庫存控制模型。運用線性需求函數，并引入銷售努力以及銷售努力補貼更加貼近現實的市場運營形式。不同于傳統的庫存控制只確定最優訂購批量，還確定了最優銷售價格和銷售努力水平。并通過實例進行驗證，最后證明銷售商平均總利潤明顯增加。

【參 考 文 獻】

[1] Kunreuther H，Richard J F.Optimal pricing and inventory decisions for non-seasonalitems[J].Ecnometrica，1971，39(1)：173-175.

[2] Baker W，Marn M，Zawada C.Price smarter on the net[J].Harvard Business Review 2001，79(2)：122-127.[3] Huang Z，Li S X.Co-op advertising models in a manufacturer retailer supply chain：A game theory approach[J].European Journal of Operational Research，2001，135(3)：52-544.

[4] 周永務.庫存控制理論與方法[M].上海：科學出版社，2009.

[5] 汪峻萍，周永務，楊劍波.需求依賴廣告費用和銷售價格的 newsboy 型產品庫存模型[J].控制與決策，2010，25(1)：89-92.

[6] 胡本勇，王性玉.考慮努力因素的供應鏈收益共享演化契約[J].管理工程學報，2010，24(2)：135-138.

[7] 李清艷.需求依賴銷售努力和銷售價格的庫存模型[D].合肥：合肥工業大學，2011.

[8] 克里斯托弗.R托馬斯.管理經濟學第九版[M].北京：機械工業出版社，2009.

[9] 楊英姿，楊慧敏，王 雨.基于RFID技術的現代倉儲管理優化設計[J].森林工程，2013，29(3)：115-117.

[10] 高鴻業.西方經濟學[M].北京：中國人民大學出版社，2007.