考慮超車可能性影響的跟車模型研究

張國浩，嚴 凌

(上海理工大學 管理學院，上海 200093)

隨著經濟發展和社會進步，汽車擁有量也在呈現逐年增加的趨勢，城市化進程加快的同時道路設施并沒有同步增長，這也是導致城市交通擁堵、交通環境不理想的一個重要原因。研究車輛在道路上的微觀的跟馳行為，分析車隊前方的擾動對車流波動的影響，對于分析一些實際存在的交通問題，找出解決的有效辦法是至關重要的，也是交通學領域多年的研究的重要課題之一。

Reuschel[1]和Pipes[2]從運動學的角度對隊列行駛中的車流進行動力學分析。通用汽車(General Motors)實驗室推動了跟馳模型的基礎性研究。隨著認知心理學和視覺知覺理論的逐步發展，許多學者嘗試著從心理學，視覺和知覺角度來分析和研究車輛跟弛現象[3]。Bando[4]等提出優化速度OV(Optimal Velocity)模型之后，許多物理學方面學者開始把研究轉移到車輛跟弛上來，接著出現了廣義力模型、智能駕駛模型、全速度差模型等。這些學者試圖通過對微觀跟馳行為的建模來展現宏觀交通流中諸如交通失穩、時走時停、激波相變等非線性特性，以此來解釋交通阻塞形成與消散的機理[5]。Helbing和Tilch[6]提出了廣義力GF(Generalized Force)模型。姜[7]提出了全速度差FVD(Full Velocity Difference)模型。金盛、王殿海[8]在FVD 模型的基礎上提出了“非基于車道的車輛跟馳的全速度差模型” NLBFVD(Non-lane-based Full Velocity Difference)。其后，許多學者也做了大量的理論和實踐創新，取得了一系列的理論成果。但是，對于雙車道或多車道行車情況下，相鄰車道行車狀況對車輛跟馳的影響的研究相對較少。本文在經典OV模型的基礎上，基于橫向偏移，考慮由于同向相鄰車道行車車頭間距大小變化而產生的超車可能性的影響，對雙車道不超車前提下跟車模型進行了一些研究。

1 模型建立

我國學者金盛、王殿海在2010年提出NLBFVD 模型，其微分方程描述如下：

(1)

V[Δxn,n+1(t),Δxn,n+2(t)]=V[(1-pn)Δxn,n+1(t)+pnΔxn,n+2(t)]。

(2)

G(Δvn,n+1(t),Δvn,n+2(t))=(1-pn)Δvn,n+1(t)+pnΔvn,n+2(t)。

(3)

式中：k為速度差的敏感系數，Δxn,n+1(t)=xn+1(t)-xn(t)是t時刻跟馳車n與前車的車頭間距，Δxn,n+2(t)=xn+2(t)-xn(t)是t時刻跟馳車n與第二輛前車的車頭間距，V(·)是優化速度函數。pn是橫向分離參數，滿足：

(4)

式中：LSn為跟馳車與前車的橫向分離值，LSmax是最大橫向分離值。

在多車道的公路行車過程中，相鄰車道的行車狀況也會對研究車道的車輛駕駛員的心理產生一定的影響，駕駛員在跟車的前提下，會觀察相鄰車道的行車狀況，如果相鄰車道存在一定的安全超車距離，駕駛員的超車欲望就會變得很大；如果相鄰車道可插車間隙小于最小的安全超車距離，駕駛員的超車欲望自然會變得很小。本文從同向雙車道的道路出發，研究其中一條車道在不超車前提下考慮車輛偏移和超車刺激這兩個因素影響的跟馳反應模型。本文中使用超車可能性Pos這個概念來對超車刺激進行一個量化表示。

超車可能性參數Pos的取值分析如下：

圖1 超車示意圖

研究發現，雙車道公路超車時，相鄰車道存在一個最小的超車范圍[9]。如圖1所示的A點和B點之間的范圍，只有在相鄰車道的車頭間距值大于該最小值時，跟馳車才會考慮超車，此文取值Lmins=xB-xA，也就是說，相鄰車道na和na+1的車頭間距取值大于等于Lmins時，xna+1-xna≥Lmins，研究車輛n的駕駛員才會考慮穿越到相鄰車道進行超車[10-12]。

此處如圖2所示兩種情況進行跟馳時的pos的可能取值或范圍進行分析：

(1)情形1：如圖2(a)所示，n車前車n+1偏向相鄰車道時：左側道路留出的側向凈空有限，右側被n+1車輛占用，此時n車駕駛員處于安全考慮，不會有超車的期望，可以認為pos為0；

(2)情形1有個特殊情況：前車徹底脫離原來車道進入相鄰車道，此時，前車n+1演化成相鄰車道上距離n車最近的車輛na，跟馳車輛n此時不再受n+1車制約，而是改受n+2車和na車的制約；

(3)情形2：如圖2(b)所示，前車n+1偏向外側車道，此時車道右側留有足夠的側向間距，對跟馳車輛駕駛員存在足夠大的超車刺激，駕駛員會根據相鄰車道行車狀況，產生不同的超車期望此時pos取值就不為0了；

(4)對情形2具體分析：如圖3所示，Lmins=xB-xA，令x1=|xA-xna|，x2=|xB-xna+1|，由前述可知，xna+1-xna≥Lmins時，駕駛員才會有超車期望，xna+1-xna

圖2 前導車不同偏向示意圖

圖3 前導車偏向道路外側

①xnaxB時，pos=1；

⑤xn

⑥xA

綜合以上分析，pos的取值可以總結如下：

(5)

帶入橫向偏移參數pn和超車可能性參數pos，同時考慮相鄰Δxna,n(t)(在t時刻n車和na車的車頭間距)的影響的關于跟車的模型的微分方程如下：

(6)

V[Δxn,n+1(t),Δxna,n(t),Δxn,n+2(t)]=V{(1-pn)[PosΔxn,n+1(t)+(1-Pos)Δxna,n(t)]+pn[PosΔxn,n+2(t)+(1-Pos)Δna,n(t)]}。

(7)

2 線性穩定性分析

交通流的穩定性主要考察小擾動在交通流中的演化過程[13]。本文利用線性穩定性理論對所建立的模型進行穩定性分析。假設給定初始狀態是穩定態，本文考慮具有相同橫向分離LSn和相同可通過間隙Wn的均勻交通流狀態，此時所有車輛有均勻的車頭間距，并以優化速度V(h,2h)在道路上行駛[3]。

對穩態交通流施加一個小擾動[10-11]，即可得到擾動傳遞差分方程式為：

yn(t+2T)=yn(t+T)+TV′(h,2h)×[(1-pn)PosΔyn,n+1(t)+γ(1-Pos)Δyn,n+1(t)+pnPosΔyn,n+2(t)]。

(8)

將yn(t)按照傅里葉級數展開，得到yn(t)=Ae(ikn+zt)，接著令z=z1(ik)+z2(ik)2+z3(ik)3+…帶入上式中可以得到一階和二階的系數分別是：

(9)

式中：m=(1-pn)Pos+γ(1-Pos),n=pnPos。

因此可以得到模型的穩定條件為：

(10)

在Bando提出的最優速度模型基礎上，參考薛郁等[10]的文獻中取值：Vmax=2m/s,hs=4m,?=1/T=2s-1。

下面兩圖分別描繪了在γ=1.5和γ=2.0時敏感系數和車頭間距的關系：可以看到圖中的曲線將平面分成了兩個部分，曲線以下的部分滿足敏感系數小于臨界值，為不穩定區域，對應的交通跟馳現象會有：堵塞，時走時停等；曲線以上部分滿足敏感系數大于臨界值，為穩定區域，對應交通流能平穩的運行，不會有太大的波動或停滯現象發生。同時，顯而易見，不同的參數下，曲線位置不同，頂點(臨界點)位置坐標(hc，?c)也不同：pn一定時，Pos越小，曲線偏向坐標平面的左上方，hc越小，?c卻越大，也就是說當駕駛員的超車可能性變小時，要求的臨界車頭間距的取值變小，但是為了保證行車的安全性，駕駛員必須保持更警惕的敏感性，這符合現實的駕駛行為特征；Pos一定時，pn越大，曲線偏向坐標平面的左下方，hc越小，?c也越小，也就是說當超車可能性一定時，前車的橫向偏移值越大，此時對應的臨界車頭間距越小，然而因為前方車輛偏移，駕駛員不會產生過多的擔心，相應的敏感性變得不再那么警惕了，這也符合現實的駕駛行為特征。

圖4 γ=1.5時穩定性系數變化趨勢圖

不同的γ取值情況下對比可以發現，隨著γ取值變大，曲線偏向坐標平面左上方，表明相鄰車道距離研究車輛n最近的車輛na和n的距離越遠，駕駛員的侵略性越強，均勻的交通流可以在更高的密度下較為穩定的運行，但同時對駕駛員的反應特性卻提出了更高的要求。這個也符合實際的駕駛行為特征。

圖5 γ=2.0時穩定性系數變化趨勢圖

最后，隨著γ，Pos以及pn的增大，可以看到曲線整體向左偏移，表明在車流密度較小，車速較快的情況下，交通流穩定區域增大，更加值得注意的是，在車流密度較大、車速較慢的情況下，交通流穩定區域隨著γ，Pos以及pn的增大反而減小，這可以解釋為在交通運行順暢，車流密度小的時候，駕駛員侵略性越強，超車可能性越大，橫向分離越大，交通流產生的小擾動越不容易影響車輛運行情況，同時車輛有足夠的車間距來做出反應，因而不容易發生交通擁堵情況；但在交通運行緩慢，車流密度大的時候，車輛并沒有足夠的車間距來對交通流擾動做出反應，因而越強的侵略性、超車可能性以及橫向分離情況反而越容易使擾動迅速演變為交通擁堵。

3 數值模擬

在穩定性分析的基礎上，本文計劃采用數值模擬的方法來驗證前面提到模型的有效性，進一步來研究分析模型特性。結合實際行車情況可知，當pos以及pn較小時，仿真才不會出現超車的行為。因此接下來只考慮較小的參數取值情況對交通流的影響。

首先將公式(7)改成以下形式：

Δn,n+1(t+2T)=Δxn,n+1(t+T)+TV[(1-pn+1)pos+1Δxn+1,n+2+γ(1-pos+1)Δxn+1,n+2+pos+1pn+1Δxn+1,n+3]-TV[(1-pn)posΔxn,n+1+γ(1-pos)Δxn,n+1+pospnΔxn,n+2]。

(11)

在開放性邊界條件下，假設道路足夠長，有102輛車行駛在這條道路上，而且認為所有的車輛的橫向偏移和超車可能性都是相同的，初始時刻的車頭間距取值為：第50和第51輛車與前車的車頭間距分別為h-0.5，h+0.5，其余車輛與前車車頭間距為h，此時因為第102輛車是頭車，在它前面沒有別的車輛，考慮車頭間距和前車有關，所以n取值從1開始到100結束。選取優化速度函數參數取值分別為Vmax=2m/s,hs=4m,?=1/T=2s-1。

首先考察在車流密度較小、車速較快的情況：取h=5 m。

圖6 γ=1.5,pn=0,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖6和圖7是超車可能性取值不同時車頭間距隨時間變化的整體趨勢圖。通過對比兩種取值時的圖形走勢可以看出：車流密度較小車速較快時，其他參數不變情況下，隨著pos取值的變大，交通不穩定程度是減弱的，也就是說隨著超車可能性的變大，駕駛員的敏感性變大，在跟車行駛中注意力更加集中，使得交通流不穩定程度逐漸降低，波動現象也相對微弱。明顯地，可從上述各圖將仿真過程大致分成2個階段：第一階段，交通擾動階段，此時車頭間距變化明顯，交通波出現紊亂；第二階段，交通穩定階段，該階段車頭間距趨于穩定，交通流達到穩定狀態，不穩定程度降低，該狀態為穩定狀態。

圖6和圖8是在橫向分離系數取不同值時的車頭間距隨時間的改變圖。通過對比可以看出來：γ，pos不變時，pn值越大，仿真開始交通流進入穩定狀態的時間較短，表明車流密度較小時，橫向分離越大，對交通堵塞的抑制作用越大。

圖8和圖9是在參數γ取值不同時的車頭間距隨時間變化圖。通過對比很明顯可以發現，參數γ取值越大，交通流越容易達到穩定狀態，擾亂現象越不明顯。

圖8 γ=1.5,pn=0.2,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖9 γ=1.5,pn=0.2,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖6和圖10是在橫向分離參數和超車可能性不同時的圖。對比發現，車流密度較小，車速較大時，橫向分離系數越大，超車可能性越大，車流從擾動演變到穩定狀態所需要時間越短。

綜上可知：在車流密度較小車速較大時，參數γ，pn和pos取值越大，對交通流堵塞的抑制作用越大，交通流從擾動恢復到平穩狀態需要的時間越短。

接下來，考察當車流密度較大車速較小時的變動情況，取h=4 m。

圖11和圖6是原始車頭間距分別取為4 m和5 m所得圖。對比可以發現，車流密度較小時，擾動影響范圍較大，而且從擾動開始到結束需要時間更長，車流更不穩定。

另外，通過一系列對比可以發現：在車流密度較大車速較小時，橫向分離系數和超車可能性越大，導致駕駛員的情緒和行為更加不穩定，交通流出現的波動現象更明顯，堵塞現象越嚴重。

圖10 γ=1.5,pn=0.5,pos=0.5時車頭間距變化圖

圖11 γ=1.5,pn=0,pos=0.2時車頭間距變化圖

4 結 論

本文在優化速度(OV)模型的基礎上，考慮橫向分離和超車可能性的影響，借鑒雙車道行駛情況下相鄰車道行車對跟馳車輛的超車可能性影響，引入超車可能性參數，并且針對前導車在車道上的位置不同，分類分析和討論了超車可能性系數的取值情況。在其他學者研究的基礎上，提出了考慮橫向分離和超車可能性的車輛跟馳模型。通過線性穩定性理論分析了提出的模型的穩定性條件，利用數值模擬發現：在車流密度較小車速較快時，前車的橫向分離越大，相鄰車道超車可能性越大，對于交通流由擾動到穩定是有促進作用的，這能間接抑制交通堵塞現象的發生；而對于車流密度較大車速較慢時，前車的橫向分離越大，相鄰車道超車可能性越大，對于交通流的擾動有加劇作用同時波動現象明顯，促進了堵塞現象的發生。研究中涉及到的相鄰車道的安全超車范圍和安全超車距離大小在本文中沒有具體數值化，數值模擬的時間取值也沒有足夠長，后續會從這些不足處著手研究。

【參 考 文 獻】

[1]Reushe L A.Vehicle movements in a platoon[J].Oesterreichishesing Arch，1950(4)：193-215.

[2]Pipes L A.An operational analysis of traffic dynamics[J].Journal of Applied Physics，1953，24(3)：274-281.

[3]何兆成，孫文博.考慮橫向分離與超車期望的車輛跟馳模型[J].物理學報，2013，62(10)：465-473.

[4]Bando M，Hasebe K，Nakayama A，et al.Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation[J].Physical Review E，1995，51(2)：1035-1042.

[5]Hayakawa H，Nakanishi K.Universal behavior in granular flows and traffic flows[J].Progress of Theoretical Physics Supplement，1998，130：57-75.

[6]Helbing D，Tilch B.Generalized force model of traffic dynamics[J].Physical Review E，1998，58：133-138.

[7]姜 銳，吳清松，朱祚金.一種新的交通流動力學模型[J].科學通報，2000，45(17)：1895-1899.

[8]王殿海，金 盛.車輛跟馳行為建模的回顧與展望[J].中國公路學報，2012，25(1)：115-127.

[9]于少偉.智能車輛自動超車控制仿真研究[J].系統仿真學報，2009，21(8)：2365-2368.

[10]薛 郁，董力耘，袁以武，等.考慮車輛相對運動速度的交通流演化過程的數值模擬[J].物理學報，2002，51(3)：492-494.

[11]劉 江.雙車道公路駕駛員超車行為試驗研究[J].北京工業大學學報，2013，39(8)：1238-1243.

[12]王維利，胡江碧.基于超車行為的高速公路車輛側向間距研究[J].內蒙古公路與運輸，2013(2)：60-62.

[13]馮 霞，孫鳳英，胡 薇.交通流影響因子與道路交通噪聲的關系研究[J].森林工程，2014，30(3)：128-130.