基于EKF和自適應(yīng)抗差濾波的星載GPS定軌方法

段 宇，吳江飛

(信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

基于EKF和自適應(yīng)抗差濾波的星載GPS定軌方法

段 宇，吳江飛

(信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052)

針對在星載GPS衛(wèi)星定軌中由于衛(wèi)星動力學(xué)模型誤差和不可避免的觀測異常嚴重影響定軌精度的問題，通過采用適當?shù)淖赃m應(yīng)控制因子和應(yīng)用抗差估計原理，構(gòu)造自適應(yīng)抗差擴展卡爾曼濾波(RAEKF)來實現(xiàn)星載GPS衛(wèi)星定軌。實測計算表明，自適應(yīng)抗差擴展卡爾曼濾波對觀測誤差和狀態(tài)擾動有一定的抵制能力，與一般擴展卡爾曼濾波相比提高了精度，證明其理論的可行性。

非線性濾波；定軌；擴展卡爾曼濾波；自適應(yīng)濾波；抗差估計

國內(nèi)外學(xué)者提出多種自適應(yīng)濾波算法并廣泛地應(yīng)用于各種工程實踐中[1-3]。利用抗差估計原理也可以實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波[3]。卡爾曼濾波應(yīng)用于星載GPS實時定軌的情況下，由于一方面低軌衛(wèi)星的受力情況復(fù)雜，其動力學(xué)模型的精確度難以保證。另一方面其數(shù)據(jù)采集裝置星載GPS接收機處在外空高速運動狀態(tài)，環(huán)境變換大，可觀測性不強。這些特點導(dǎo)致星載GPS觀測值出現(xiàn)異常甚至粗差的幾率與地面觀測的情形相比有明顯的增大。上述問題若無法解決，卡爾曼濾波結(jié)果的精確性和穩(wěn)定性會顯著降低，嚴重情況下甚至?xí)?dǎo)致濾波器的發(fā)散。因此，在使用卡爾曼濾波器進行迭代計算時，對于狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣和觀測噪聲協(xié)方差陣采用抗差估計的原理自適應(yīng)的求解，可以有效地減弱和控制觀測噪聲和狀態(tài)噪聲對狀態(tài)估計的影響[4-5]。

EKF(extended Kalman filter)是一種非線性濾波算法。它是在卡爾曼濾波的框架下，使用展開泰勒級數(shù)的方法對動態(tài)方程和誤差方程作一階線性化處理，來近似非線性濾波的方法[6]。它是到目前為止應(yīng)用最為廣泛的一種非線性濾波，且在某些情況下仍為解決問題的最佳方法[7-8]。本文基于非線性濾波EKF研究了一種新的非線性自適應(yīng)抗差濾波(adaptively robust extended Kalman filter， AREKF)，并將這種算法在MicroLab-1衛(wèi)星的精密定軌中進行應(yīng)用，實測計算結(jié)果證明該算法的有效性和可行性。

1 非線性自適應(yīng)抗差濾波[9]

本文研究的衛(wèi)星軌道確定問題是一個非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別為

Xk=f(Xk-1)+Wk,

(1)

Lk=h(Xk)+ek.

(2)

式中：Xk為狀態(tài)向量；f(·)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；Wk為狀態(tài)噪聲向量；Lk為觀測向量；h(·)為觀測方程；ek為觀測噪聲向量。其中Wk和ek的期望為零，且不相關(guān)，協(xié)方差分別為∑Wk和∑k。

為控制觀測異常和狀態(tài)噪聲導(dǎo)致的狀態(tài)預(yù)測信息異常對狀態(tài)參數(shù)估值的影響，可以構(gòu)造如下極值原則：

n.

(3)

對式(3)求極值可得

).

(4)

在擴展卡爾曼濾波框架下，式(4)可等價為

).

(5)

(6)

狀態(tài)向量驗后協(xié)方差矩陣為

(7)

由以上公式可得，要實現(xiàn)自適應(yīng)抗差濾波，就必須求得觀測向量等價協(xié)方差矩陣和自適應(yīng)因子。

1.1 觀測噪聲等價協(xié)方差陣[3]

觀測向量等價協(xié)方差陣可通過雙因子方差膨脹模型求得[9]。觀測向量的協(xié)方差矩陣是一種觀測量的精度評定指標，它能夠定量地反映觀測量的離散程度。如果觀測向量等價協(xié)方差小，則說明觀測量的質(zhì)量好，精度高，該觀測所占的權(quán)重就大；相反地，若觀測量的質(zhì)量較低，精度一般，則該觀測所占的權(quán)重就小。

(8)

由此生成的協(xié)方差矩陣稱為等價協(xié)方差矩陣。由上述推導(dǎo)可以知道，通過加入膨脹因子構(gòu)造的等價協(xié)方差陣仍然能夠與原來的協(xié)方差陣保持相關(guān)性。

為了在觀測誤差超過閾值時，相應(yīng)的方差膨脹，否則原有的方差不變，以λii為例，其膨脹因子可構(gòu)造為

(9)

(10)

式中:vi，σvi分別為殘差向量Vk和殘差向量協(xié)方差矩陣∑Vi中的元素。可由以下公式求得

(11)

(12)

由膨脹因子的構(gòu)造過程可以得知，當觀測值的誤差超過某一設(shè)定值時，相應(yīng)的方差會膨脹，即對原協(xié)方差矩陣作降權(quán)處理。反之，膨脹因子的值為1，原方差保持不變。

1.2 自適應(yīng)因子

不同的誤差判別統(tǒng)計量[10]或衡量了動態(tài)載體實時位置狀態(tài)與模型標定狀態(tài)的差異，或衡量了動力學(xué)模型的誤差大小。基于這樣的原理，可以構(gòu)造自適應(yīng)因子α，以調(diào)節(jié)狀態(tài)信息與觀測信息對參數(shù)估計的影響。本文中選擇了兩段函數(shù)模型作為自適應(yīng)因子，其具體形式為

(13)

(14)

(15)

1.3 非線性自適應(yīng)抗差擴展卡爾曼濾波算法

以標準EKF算法框架為基礎(chǔ)，結(jié)合1.1、1.2所述理論，可以建立如下的非線性自適應(yīng)抗差卡爾曼濾波算法：

狀態(tài)更新：

(16)

(17)

量測更新：

(18)

(19)

(20)

2 計算與分析

為了驗證所提出的算法性能，實驗中選取MicroLab-1衛(wèi)星星載GPS接收機所采集的數(shù)據(jù)進行定軌解算[11]。在數(shù)據(jù)處理時進行了一定的簡化。本算例使用了預(yù)測殘差統(tǒng)計量作為誤差判別統(tǒng)計量，采用兩段式函數(shù)構(gòu)成自適應(yīng)因子。對于膨脹因子和預(yù)測殘差統(tǒng)計量的閾值選取，經(jīng)過多次計算和比較，確定為0.9和0.8。

本算例中為研究自適應(yīng)抗差濾波的性能，設(shè)置了A，B，C 3種情況，其參數(shù)設(shè)置如表1所示；同時將24 h內(nèi)分別由標準擴展Kalman濾波(EKF)和抗差自適應(yīng)Kalman濾波(RAEKF)計算的位置誤差和速度誤差繪制成圖，如圖1～6所示。

表1 A，B，C 3種情況下的濾波參數(shù)

圖1 情況A的位置誤差

圖2 情況A的速度誤差

圖3 情況B的位置誤差

圖4 情況B的速度誤差

圖5 情況C的位置誤差

圖6 情況C的位置誤差

由圖1～6可以得出：

1)濾波結(jié)果在前5 000 s 歷元內(nèi)極不穩(wěn)定，位置誤差最大約達180 m，速度誤差最大達0.29 m/s，其后趨于穩(wěn)定,這是由濾波的原理造成的；

2)自適應(yīng)抗差濾波相對于EKF的濾波結(jié)果有所改善，大部分歷元的誤差均有所降低，但誤差仍在同一個數(shù)量級；

3)從自適應(yīng)抗差濾波結(jié)果相對EKF濾波結(jié)果的改善情況來看，情況B改善最大，誤差減小幅度最大，情況A次之，情況C基本無明顯改善，說明狀態(tài)噪聲的權(quán)越大，自適應(yīng)抗差濾波的效果越明顯。

均方根誤差(RMS)是估值與真值之差的平方與觀測次數(shù)比值的平方根，能很好地反應(yīng)出估值的精度。本算例中，分別計算了狀態(tài)向量估值各維的均方根誤差和位置、速度均方根誤差。其中位置分量的均方根誤差[12]計算公式為

(21)

(22)

(23)

(24)

速度分量的均方根誤差計算公式依此類推。其計算結(jié)果如表2所示。

表2給出了A，B，C 3種方案的RMS誤差統(tǒng)計結(jié)果。可以看出，AREKF的軌道確定結(jié)果在各個分量上的RMS誤差均小于EKF的軌道確定結(jié)果在各個分量上的RMS誤差。各種情況的自適應(yīng)抗差濾波結(jié)果的均方根誤差相對于EKF均有所減小，說明估值的精度均有所提高，但并不十分明顯，其中，情況B精度提高最大，情況A次之，情況C精度提高最小。這與上圖的分析是一致的。

表2 A，B，C 3種方案的RMS誤差統(tǒng)計結(jié)果 m

3 結(jié)束語

結(jié)合上一節(jié)的圖表可知，個別歷元自適應(yīng)抗差濾波的解反而比EKF解的誤差更大。這一方面是因為原始觀測數(shù)據(jù)誤差較大，無論使用何種濾波方法均不可能實現(xiàn)高精度的定軌，另一方面因為自適應(yīng)抗差濾波只是修改了觀測噪聲協(xié)方差陣和預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差陣，只能消減觀測誤差和狀態(tài)噪聲的擾動對濾波結(jié)果的影響，提升總體濾波精度，并不能使每個歷元的誤差都降低。總的來說，本文提出的自適應(yīng)抗差擴展卡爾曼濾波算法(RAEKF)對狀態(tài)擾動和觀測誤差有一定的抵制能力，與標準擴展卡爾曼濾波(EKF)相比提高了精度，證明其理論的可行性。

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[責任編輯：劉文霞]

Methodofsatellite-borneGPSorbitdeterminationbasedonEKFandadaptiverobustfilter

DUAN Yu, WU Jiang-fei

(School of Geospatial Information, Information Engineer University, Zhengzhou 450052, China)

The satellite dynamic model errors and the inevitable observation anomaly have a serious influence on the orbit determination accuracy of satellites based on GPS. An appropriate adaptive control factor and the robust estimation theory are used to establish an adaptive robust extended Kalman filter(AREKF) to complete the orbit determination of satellites based on GPS. The measured calculation shows that the adaptive robust extended Kalman filter serves a certain resistance against the observation error and state disturbance. The precision is improved and the feasibility of the theory compared with the standard extended kalman filter is verified.

nonlinear filter; orbit determination; EKF; adaptive filter; robust estimation

2013-03-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(41174006;40974010;41274016)

段 宇(1989-)，男，碩士研究生.

P228.4

：A

：1006-7949(2014)01-0021-04