隧道斷面監測的橢圓擬合方法研究

宮瑋清

(上海巖土工程勘察設計研究院有限公司，上海 200438)

隧道斷面監測的橢圓擬合方法研究

宮瑋清

(上海巖土工程勘察設計研究院有限公司，上海 200438)

監測隧道斷面是獲取隧道變形情況的有效途徑。通過對管片的高精度自動測量，采用有效的橢圓擬合算法，可以求解得到隧道橢圓化的幾何參數，同時，針對管片表面干擾物的影響，對數據粗差進行處理。通過工程實例的檢驗，證明算法有效可靠。

隧道斷面;橢圓擬合;最小二乘;粗差處理

隧道斷面測量是了解隧道變形情況最直觀的方法之一。盾構施工的隧道，設計的管片截面是標準的圓形，但是，在實際施工中由于拼裝的原因，剛成形的管片往往已經不是標準圓形，同時在隧道建成后，隧道管片在外圍荷載的影響下，還會產生一定量的不均勻變形，此時的管片截面更不是標準的圓，而更接近離心率比較小的橢圓。為了解隧道的真實情況，需采用橢圓來擬合隧道斷面[1]。

1 隧道全斷面法測量實施方案

為了解隧道的真實情況，全斷面法測量是比較適宜的方法，它通過測量管片內徑上較多的點來進行擬合，能較真實反映隧道的實際形狀。

首先，利用具有免棱鏡功能的全站儀，對管片的內徑進行觀測。利用全站儀的機載軟件控制儀器自動進行觀測，在隧道內架設儀器，在已知測站點三維坐標的前提下，選擇要測量的隧道斷面，儀器根據提前輸入隧道軸線的三維DTA數據，自動運算，尋找到需要測量的斷面，然后對該斷面進行掃描，并保證所測斷面垂直于當前隧道軸線。一般每個監測斷面以等角的形式掃描各點坐標，測量若干個點(點位的多少，根據所取的觀測角度而定)。然后，進行擬合計算，獲取斷面變形的信息[2-3]。

隧道全斷面法測量方案的流程如圖1所示。

圖1 斷面測量程序流程

2 斷面計算數學模型

隧道斷面測量實際是測量三維立面的圖形，如圖2所示。為了便于計算，先要擬合該斷面的平面方程，將三維坐標轉換為二維坐標，然后在所擬合的平面上擬合平面橢圓，最后，獲取斷面變形的信息。

圖2 隧道斷面示意圖

其涉及的數學計算模型主要有3個，即擬合平面、坐標轉換、擬合橢圓。

2.1 平面擬合

空間三維坐標系中，平面方程的一般形式描述為

Ax+By+Cz+D=0.

(1)

一般工程實際中，平面不會經過坐標系原點，所以，可以認為D≠0，取D=-1。將Pi的坐標代入，則

(2)

將其展開，并將參數近似值(A0,B0,C0)代入，初值可以取1，組成誤差方程。

Vi=N·δX-L.

(3)

利用最小二乘法求解δX，然后修正參數近似值，重新求解，不斷迭代，最終獲得(A，B，C)，得到平面方程：Ax+By+Cz-1=0。此方程中，(A，B，C)為該平面的法向量。

2.2 坐標轉換

上述方法，求得的是斷面所在的平面，然后，需將測得的三維坐標，旋轉到該平面上，經旋轉后的X軸方向即與所擬平面的法線方向平行，在新的坐標系下，X坐標值就為零，三維空間的圖形轉換成在新的YOZ平面內的二維圖形問題。

對坐標系進行旋轉，首先進行坐標系平移。將坐標系的原點平移到(x0,y0,z0)，即所有坐標的平均值。

據此進行坐標旋轉，將各點在原XYZ-O坐標系下的坐標，轉換為在新坐標系x′y′z′-o′下的新坐標值。以下數據擬合處理就是在該平面上進行。

2.3 橢圓擬合

橢圓擬合算法很多，比較常見的是代數擬合，這種方法是橢圓擬合最簡單直接的一種方法，它使用橢圓的隱式方程F(a·x)=0，其中a=(a，b，c，d，e，f)為橢圓方程的系數。將誤差距離定義為隱式方程在給定點與期望值之間的偏差，也即擬合誤差或殘差。但是代數擬合有一定的缺陷，例如，對估計擬合參數的可靠性很難測試，估計的擬合參數有偏，擬合參數對于坐標軸的變換不是不變的等等[4]。所以，雖然代數擬合算法上比較簡單，但擬合的精度不高；還有一種是利用橢圓定義的擬合迭代法，它根據橢圓的定義來進行擬合計算[5]。這種方法求解的橢圓參數雖然比較精確，避免了代數擬合的缺陷，但是，這種方法必須預先知道橢圓的兩個焦點的坐標和焦距的近似值，否則對迭代計算有一定的影響。顯然，這些參數無法預先簡單求得。

針對上述方法進行研究，選擇兩步擬合的方法，即先用代數擬合，得到橢圓方程的初始參數，然后，在此參數基礎上，再利用橢圓定義的擬合迭代法進行精確擬合，得到更為精確的橢圓參數。

2.3.1 代數擬合

由橢圓標準方程入手，將橢圓復雜的非線性方程進行變量替換，構建簡單的線性方程式，將常數項歸化為1，平面任意位置的橢圓方程可轉化為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0.

(4)

設Pi(xi,yi)(i=1,2,…n)為橢圓輪廓上的測量點(n≥5), 則橢圓方程可寫為

F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0.

(5)

橢圓幾何中心：

(6)

橢圓長軸的傾角：

(7)

橢圓的長半軸和短半軸：

(8)

2.3.2 橢圓定義擬合

為了更準確擬合橢圓，在代數擬合的基礎上，再根據橢圓的定義進行精確擬合(如圖3所示)。

圖3 橢圓定義擬合示意圖

設橢圓上任意一邊緣點Pi(xi,yi)，橢圓兩焦點的位置為F1(x10,y10)，F2(x20,y20)，焦距為2c。按照橢圓的定義，橢圓上的點到焦點距離之和為常數。

(9)

設觀測橢圓邊緣若干點Pi(xi,yi)，根據式(9)，列出誤差方程：

(10)

先進行線性化，再寫成矩陣形式，然后組成方程式

V=NδX-L.

(11)

將代數擬合得到的橢圓參數作為迭代計算的初值代入求解，得到結果，未知數由近似值X0修正為X0+δX，重新組成誤差方程、法方程，求解δX，修正近似值，迭代至改正數δX足夠小(收斂)，得到未知數的解。上述迭代，一般進行4～7次，就可收斂到小數點后6位，可以得到橢圓的兩個焦點坐標和長半軸的參數，再計算橢圓的其它參數。

橢圓擬合后，計算各點的殘差值。先建立標準橢圓坐標系，即以橢圓中心為原點，以橢圓的長、短軸分別為X,Y軸的坐標系。將橢圓邊緣點的Pi(xi,yi)換算成標準橢圓坐標系下的相對坐標(x′,y′)。

則Pi點的擬合偏差為

(12)

單位權中誤差：

(13)

式中：V為各點擬合殘差；n為斷面測量所測的坐標點個數；t為橢圓擬合必要觀測點個數。

此時，可根據橢圓方程對隧道的斷面變形進行比較分析。

3 斷面自動監測實施與粗差處理

斷面自動監測的關鍵是使全站儀自動尋找到待測點，根據待測點坐標與儀器自身的坐標，以此來控制全站儀鏡頭的旋轉，尋找到待測點，進行測量。儀器自身的坐標獲取很方便，待測點的坐標計算是關鍵。

斷面監測的待測點都是管片內壁上離散的點，單獨計算很困難，本文以隧道設計軸線為計算依據，創建斷面模型，以此計算各斷面待測點的坐標，進行成批量的計算。

1)計算隧道的設計軸線坐標。以隧道里程為排序標準，按一定的里程間距差，將連續型的隧道軸線線路方程式，變為離散型的軸線坐標表，整個表是由每隔一定距離的軸線上的點構成，當間隔取足夠小時就可精確地擬合出整個線路。該坐標表包含4項數值，即里程、X坐標、Y坐標、Z坐標。

2)計算管片內徑上各測點的坐標。先構造一個管片斷面模型，根據測量要求，計算各測點在斷面模型上的坐標值，然后，將該模型的中心平移到隧道中心上，再經旋轉使模型平面的法向量與隧道軸線相平行，這樣就可以得到各測點在隧道內的施工坐標。

斷面模型是一個平行于YOZ的平面圓，其法向量平行于X軸，半徑為管片內徑，如圖4所示。在該模型上可以將管片斷面上需要測量的點位p的三維坐標標示出來。

(14)

圖4 管片斷面模型

得到儀器坐標和管片內壁上各待測點的坐標后，就可以控制儀器旋轉到特定的位置，對待測點進行觀測。

按照這種方法計算的管片內徑上各待測點的坐標是根據隧道設計軸線得到的，所以，儀器掃描的斷面實際為設計斷面，而成型的隧道與設計軸線之間不可避免存在偏差，即實際的斷面和設計的斷面之間有偏差量，儀器掃描的斷面未必能保證垂直于當前隧道軸線，因而照搬設計值進行監測，會對斷面的計算造成一定的影響[6]。

如圖5所示，實際斷面和實測斷面之間存在夾角α，則由實測斷面所計算的斷面直徑和實際斷面的直徑有個差值，即Δ。

圖5 設計斷面與實測斷面

(15)

對于一般的地鐵隧道，管片直徑D=5.5 m，則α=1°10′時，Δ=1.1 mm。為避免由于這種原因造成斷面計算上的誤差，需要把隧道實際的軸線情況考慮進去。在進行監測時，先按設計軸線坐標計算并測量，在得到實測斷面的數據后，將實測斷面的法向量與設計斷面的法向量進行比較，如果兩者的差值大于某個特定的數值時(根據不同要求設定)，就提示是否要進行人工干預。如果選擇人工干預，則對隧道斷面進行粗略的人工采點，在隧道斷面內按上下左右平均分布采集4個點即可，然后，確定斷面的實際法向量，重新確定斷面的圓心坐標，再據此重新計算斷面上各待測點的坐標，重新進行測量。

儀器在軟件的控制下自動掃描斷面的坐標，在實際測量中難免會遇到障礙物，此時儀器仍然會繼續掃描，隧道內的電纜線、照明系統、通風設備、人行通道等等，都會給觀測的點位坐標帶來粗差。所以在進行數據處理時，必須考慮這些情況。這些誤差有的很大，很容易發現，有些則不容易發現，所以在處理中可以分為兩步進行：第一步進行數據粗處理，剔除那些明顯的粗差點，并對斷面進行判斷，是否符合精度；第二步，在擬合計算時，對數據進行精處理，進一步剔除對擬合計算有影響的粗差點。

4 工程實例

為檢驗這種方法的合理性和有效性，對某隧道抽取部分管片進行斷面監測，并對其觀測數據進行擬合，結果如表1所示。

表1 擬合結果

同時，人工測量相應管片的橫豎徑，另外，在擬合得到橢圓參數的基礎上，計算這幾環管片的橫豎徑，兩者的比較如表2所示。

表2 橫豎徑比較結果 mm

5 結 論

通過實例數據的比較分析，可以看出，用這種方法擬合橢圓計算比較有效。橢圓擬合中誤差要小于圓擬合中誤差，說明橢圓方程更能反映此時管片的真實形狀，證明成型管片形狀的橢圓化趨勢；再與實測管片橫豎徑的比較，擬合計算和人工測量的數值都比較接近，證明這種橢圓擬合算法的有效性。這種算法不僅有效可靠，而且增加對實測斷面的判斷和對粗差的剔除處理，更適合于實際運用，而且，由于運用全站儀自動化掃描，整個作業的速度大大加快，也可以方便地實現數據庫管理，便于數據的分析和管理[7]。

[1]何自強.地鐵隧道斷面變形檢測系統數據處理及計算的研究[J].地下工程與隧道，2011(2)：31-33,37.

[2]孫昊，姚連璧，謝義林．隧道斷面收斂測量與數據處理[J].工程勘察，2010(11)：70-74.

[3]許正文，姚連璧.基于穩健估計的直接最小二乘橢圓擬合[J].大地測量與地球動力學，2008(1)：77-80.

[4]夏菁.橢圓擬合方法的比較研究[D].廣州：暨南大學,2007.

[5]彭青玉.木星土星邊緣的橢圓擬合[J].云南天文臺臺刊，2007(4)：43-47.

[6]谷川.GA柱面擬合法在隧道斷面收斂監測中的應用[J].大地測量與地球動力學，2010(2)：58-62.

[7]黃騰，李桂華，孫景領.地鐵隧道結構變形監測數據管理系統的設計與實現[J].測繪工程,2006,15(6)：1-3.

[責任編輯：張德福]

Study on section monitor algorithm based on ellipse fitting

GONG Wei-qing

(Shanghai Geotechnical Investigations & Design Institute Co.,Ltd, Shanghai 200438, China)

Section of tunnel monitoring is an effective way to obtain the real deformation of tunnel. Through the high precision automatic measurement of segment and the ellipse fitting algorithm, the geometric parameters of ellipse of tunnel can be obtained. Considering effect of segment surface disruptors, process date error steps is added. Through the test of the engineering example, the algorithm can prove effective and reliable.

tunnel section;ellipse fitting;least squares;gross error handling

2014-02-19

宮瑋清(1981-),男，工程師.

U452.1+4

：A

：1006-7949(2014)07-0051-04