橋梁易損性曲線計(jì)算方法研究

張小璇 陳世鳴

(同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092)

1 概 述

結(jié)構(gòu)易損性曲線(Fragility Curves)定義為在不同強(qiáng)度地震作用下結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞的概率。當(dāng)某一地區(qū)的地震災(zāi)害等級(jí)確定后，該地區(qū)橋梁的易損性曲線便可以根據(jù)已知地區(qū)的地震動(dòng)參數(shù)(IM)范圍，計(jì)算出對(duì)應(yīng)地震動(dòng)參數(shù)下橋梁結(jié)構(gòu)或構(gòu)件地震損傷指標(biāo)(DI)超過(guò)其承載力(C)的概率，表達(dá)方式如式(1)所示：

Pf=P[DI>C|IM]

(1)

計(jì)算易損性曲線的理論方法可分為兩類：非線性靜力方法(Nonlinear Static Procedures,簡(jiǎn)稱NSP)和非線性動(dòng)力方法。后者在結(jié)構(gòu)底部作用實(shí)際的地震加速度，符合實(shí)際的地震反應(yīng)情況，但是需要耗費(fèi)大量的計(jì)算工作量和時(shí)間。而非線性靜力方法是指以Pushover分析得到的荷載變形曲線為基礎(chǔ)，計(jì)算出給定地震動(dòng)下結(jié)構(gòu)的最大位移。由于其避免了復(fù)雜的時(shí)程分析并且大大減少了運(yùn)算量和運(yùn)算時(shí)間，因此近年來(lái)受到了越來(lái)越多的發(fā)展和應(yīng)用。

國(guó)內(nèi)外在橋梁易損性曲線分析方面做了大量研究，如Hwang[1]、Nielson[2]、張菊輝[3]等。以往的易損性曲線的研究中，由于不同學(xué)者采用的模型參數(shù)、損壞等級(jí)以及計(jì)算方法的不同，導(dǎo)致即使針對(duì)同一地區(qū)橋梁，其易損性分析結(jié)果也會(huì)有很大的差別。為了克服以上不足，可采用同樣的橋梁分析模型，參照同樣的損壞等級(jí)，在相同的地震波作用下，使用不同的分析方法進(jìn)行計(jì)算，比較分析各類方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

本文對(duì)常見的鋼筋混凝土連續(xù)梁橋結(jié)構(gòu)，采用四種非線性靜力分析方法(承載力反應(yīng)譜法、N2法、改進(jìn)的模態(tài)Pushover法以及自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法)，結(jié)合50組地震波反應(yīng)譜，計(jì)算出結(jié)構(gòu)在地震作用下的易損性曲線。以非線性動(dòng)力分析計(jì)算結(jié)果作為比較的標(biāo)準(zhǔn)值，研究橋梁結(jié)構(gòu)易損性曲線的實(shí)用簡(jiǎn)化計(jì)算方法。由于地震對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)在橫橋向的損壞遠(yuǎn)大于其在順橋向所造成的損壞，因此在本文的研究中選擇建立三維的橋梁模型，并對(duì)其橫橋向的地震響應(yīng)進(jìn)行分析計(jì)算。

2 易損性曲線分析流程

進(jìn)行易損性曲線分析時(shí)，首先需建立橋梁樣本，再根據(jù)所選取的地震波數(shù)據(jù)，采用非線性靜力方法或者非線性動(dòng)力方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。最后根據(jù)結(jié)構(gòu)不同的損壞等級(jí)的定義，判斷結(jié)構(gòu)在相應(yīng)地震波作用下所發(fā)生的損壞及所屬的損壞等級(jí)，并進(jìn)行易損性曲線的計(jì)算。具體流程如圖1所示。

圖1 易損性曲線分析框架Fig.1 Analysis frame of fragility functions

2.1 橋梁參數(shù)選擇

中等跨徑多跨混凝土連續(xù)梁橋是目前已建橋梁中應(yīng)用較多的一種橋型。本文以四等跨鋼筋混凝土連續(xù)梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，計(jì)算模型如圖2所示，計(jì)算參數(shù)參考Bal等[4]給出的橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍，如表1所示。

圖2 橋梁構(gòu)造形式Fig.2 Configuration of a bridge model

表1材料以及幾何尺寸的參數(shù)列表

Table1Distributionofmaterialandgeometricalproperties

參數(shù)名稱平均值Cov概率分布形式鋼筋彈性模量/GPa2003%Normal鋼筋屈服強(qiáng)度/MPa371.111%Normal混凝土強(qiáng)度/MPa4020%Gamma橋墩高度/m1515%Normal橋墩直徑/m214%Lognormal跨度/m4022%Normal橋面板寬度/m54%Lognormal橋面梁高度/m12%Lognormal

注：Cov表示標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值。

2.2 橋梁模型建立

易損性曲線的計(jì)算需要對(duì)上百個(gè)橋梁使用龐大數(shù)量的地震波進(jìn)行分析，因此選擇使用可以提供自動(dòng)分析平臺(tái)的OpenSees作為分析軟件。橋梁模型使用3D環(huán)境建模，即在每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮6個(gè)自由度。橋墩使用纖維單元建模以考慮其材料非線性；混凝土模型選擇多軸Kent-Scott-Park混凝土模型；鋼筋模型使用的是Giuffre-Menegotto-Pinto鋼筋模型。橋臺(tái)使用等效剛度彈簧進(jìn)行模擬，其剛度參考Casarotti等[6]給出的值26 329 kN/m。

2.3 地震波選擇

本文采用的地震波是從PEER數(shù)據(jù)庫(kù)選取的。為了避免因放大過(guò)程中改變了真實(shí)地震波的頻率范圍和持續(xù)時(shí)間而影響到地震釋放能量以及頻譜信息等，選取了50個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何放大的真實(shí)地震波。同時(shí)，為了避免近斷層地震的復(fù)雜性，所選的地震波也盡量避開近斷層地震波數(shù)據(jù)。以下列出了所選50個(gè)地震波的總體信息：

(1) 震級(jí)：5.0～7.5Mw。

(2) 距斷層距離：10～150 km。

(3) 斷層類型：平移斷層(Strike slip)和傾斜斷層(Dip-slip)。

圖3表示這50個(gè)地震波的峰值加速度(PGA)分布情況。從圖中可以看出這50個(gè)地震波的PGA強(qiáng)度從0到1 g基本呈平均分布。

圖3 50個(gè)地震波的PGA分布Fig.3 PGA distribution of the 50 ground motion records

2.4 損壞等級(jí)

參考HAZUS[5]給出的損壞等級(jí)分類，定義了輕微、中度、嚴(yán)重和倒塌四種損壞等級(jí)，分別用LS1，LS2，LS3和LS4表示，以Neilson[2]給出的曲率作為量化參數(shù)，每個(gè)損壞等級(jí)對(duì)應(yīng)的具體數(shù)值為1.29,2.10,3.52和5.24。

位移延性比與曲率延性比可根據(jù)Priestley等[7]給出的轉(zhuǎn)換公式計(jì)算，如式(2)、式(3)所示。

μΔ=1+3(μφ-1)×(lp/l)×[1-0.5(lp/l)]

(2)

lp=0.08l+9db

(3)

式中，μΔ表示位移延性比；μφ表示曲率延性比；lp表示橋墩的塑性鉸長(zhǎng)度；l為橋墩的長(zhǎng)度；db表示為橋墩中縱向鋼筋的直徑。

橋梁結(jié)構(gòu)整體的位移延性比取值為三個(gè)橋墩中位移延性比的最大值。

3 非線性靜力分析方法

非線性靜力分析方法(NSP)提供了一個(gè)以Pushover分析結(jié)果為基礎(chǔ)，評(píng)估一個(gè)結(jié)構(gòu)體系在地震作用下變形能力的平臺(tái)。

由于不同靜力分析方法的要求不同，對(duì)每座橋梁結(jié)構(gòu)使用了三種不同的Pushover分析方法：①自適應(yīng)Pushover；②均布荷載的傳統(tǒng)Pushover；③按照第一模態(tài)陣型分布荷載的傳統(tǒng)Pushover。其中位移控制Pushover分析的控制位移定義為結(jié)構(gòu)整體位移達(dá)到0.7m或者任意橋墩受拉鋼筋受拉應(yīng)變達(dá)到0.1。

進(jìn)行隨機(jī)取樣之前，對(duì)樣本隨機(jī)取樣的結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值收斂性分析。按照表1參數(shù)范圍選取了10 000座隨機(jī)生成的鋼筋混凝土橋梁，并對(duì)其進(jìn)行Pushover分析，通過(guò)計(jì)算得到這10 000座橋梁中點(diǎn)最大位移的平均值，并以此結(jié)果作為準(zhǔn)確值。然后選取不同大小的樣本(從5到290)，對(duì)這些橋梁進(jìn)行Pushover分析，得到每一組樣本的橋梁最大位移平均值，計(jì)算每組樣本的平均相對(duì)誤差(圖4)。從圖4中可以看出，當(dāng)樣本大小超過(guò)170個(gè)之后，相對(duì)誤差就穩(wěn)定保持在4%之內(nèi)。因此之后的計(jì)算分析，選擇使用的樣本大小為200。

圖4 平均相對(duì)誤差與樣本大小的關(guān)系Fig.4 Relationship between the relative error and the size of sample

本文使用的承載力反應(yīng)譜法(CSM)、N2法、修改后模態(tài)Pushover法(MMPA)以及自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法(ACSM)都是以Pushover分析結(jié)果轉(zhuǎn)化而成的承載力曲線為基礎(chǔ)，根據(jù)真實(shí)地震波反應(yīng)譜以及圖形迭代方法估算結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)地震作用下的最大位移。根據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)地震強(qiáng)度下所處的不同損壞等級(jí)評(píng)定結(jié)果，進(jìn)行數(shù)值回歸計(jì)算，得到易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ和標(biāo)準(zhǔn)差ξ。

3.1 承載力反應(yīng)譜法

承載力反應(yīng)譜法(CSM)，是一種應(yīng)用圖表的計(jì)算方法，可通過(guò)迭代比較結(jié)構(gòu)承載力曲線與地震反應(yīng)譜的關(guān)系，計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的最大位移。為了考慮結(jié)構(gòu)體系的非線性性能，在迭代的過(guò)程中參照FEMA-440[13]給出的公式，計(jì)算等效阻尼以及反應(yīng)譜折減系數(shù)。通過(guò)計(jì)算得到的易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ與標(biāo)準(zhǔn)差ξ如表2所示。

表2CSM的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

Table2StatisticsoffragilityfunctionsbyCSM

損壞等級(jí)λξLS1-1.167 0.260 LS2-0.941 0.257 LS3-0.501 0.293 LS4-0.098 0.334

3.2 N2法

N2方法首先是由Fajfar在1988年時(shí)提出，作為一種簡(jiǎn)單的估算結(jié)構(gòu)在地震作用時(shí)的最大響應(yīng)的方法，進(jìn)而又在2000年時(shí)被Fajfar[8]提出改進(jìn)辦法。N代表非線性(Nonlinear)分析，2代表在此方法中有兩個(gè)相互獨(dú)立的數(shù)學(xué)運(yùn)算模型，分別是Pushover分析和反應(yīng)譜法。

N2與CSM在很多方面都是相似的，但N2使用非彈性反應(yīng)譜而不是利用彈性反應(yīng)譜乘以由等效阻尼推導(dǎo)而出的反應(yīng)譜折減系數(shù)。除此之外，根據(jù)FEMA-356[9]，承載力雙直線的屈服后剛度應(yīng)等于零。通過(guò)計(jì)算得到的易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ與標(biāo)準(zhǔn)差ξ如表3所示。

表3N2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

Table3StatisticsoffragilityfunctionsbyN2

損壞等級(jí)λξLS1-0.8590.212LS2-0.7310.222LS3-0.3600.280LS40.2010.375

3.3 改進(jìn)的模態(tài)Pushover分析

模態(tài)Pushover分析方法是由Chopra 和Goel在2002年提出，建議在靜力分析的過(guò)程中，對(duì)每一個(gè)重要模態(tài)分別進(jìn)行非線性靜力分析。此方法在提出后被廣泛地應(yīng)用在工程和學(xué)術(shù)領(lǐng)域。近期，Chopra 和Goel[10]經(jīng)過(guò)研究提出，在一般地震作用下橋梁的高階模態(tài)的響應(yīng)通常都保持在彈性范圍內(nèi)，因此對(duì)于高階模態(tài)的分析應(yīng)當(dāng)直接使用彈性反應(yīng)譜。因此他們提出了改進(jìn)的模態(tài)Pushover分析方法。改進(jìn)的部分是非彈性反應(yīng)譜只是在第一模態(tài)的非線性靜力分析中使用，對(duì)于高階模態(tài)，假設(shè)整個(gè)結(jié)構(gòu)處于彈性范圍。通過(guò)計(jì)算得到的易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ與標(biāo)準(zhǔn)差ξ如表4所示。

表4MMPA的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

Table4StatisticsoffragilityfunctionsbyMMPA

損壞等級(jí)λξLS1-0.780 0.322 LS2-0.5940.329 LS3-0.2850.303 LS40.2670.387

3.4 自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法

與以往非線性靜力學(xué)分析方法不同，自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法(ACSM)不再需要使用多自由度體系的任何彈性或者非彈性振動(dòng)模態(tài)來(lái)計(jì)算其等效單自由度(SDOF)體系，而是等效的SDOF自適應(yīng)承載力曲線在每一步的加載中根據(jù)真正的變形和剛度變化計(jì)算得來(lái)的[11]。ACSM中一個(gè)非常關(guān)鍵的問(wèn)題便是反應(yīng)譜折減系數(shù)的定義，然而在此方法中并沒(méi)有嚴(yán)格的介紹需要遵循的計(jì)算公式。在這些阻尼方法中，Priestley等[12]提出的方法被認(rèn)為是可以給出最精確的結(jié)果，其中計(jì)算公式如式(6)、式(7)所示：

(6)

(7)

通過(guò)計(jì)算得到的易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ與標(biāo)準(zhǔn)差ξ如表5所示。

表5ACSM的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

Table5StatisticsoffragilityfunctionsbyACSM

損壞等級(jí)λξLS1-0.691 0.229 LS2-0.342 0.273 LS30.010 0.359 LS40.987 0.490

4 非線性動(dòng)力方法

非線性動(dòng)力方法是估算一個(gè)結(jié)構(gòu)在地震中變形最準(zhǔn)確的方法。因此非線性動(dòng)力方法可作為計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)值，與其他非線性靜力方法進(jìn)行比較。使用OpenSees進(jìn)行非線性時(shí)程分析。通過(guò)計(jì)算得到的易損性曲線對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值λ與標(biāo)準(zhǔn)差ξ如表6所示。

表6NLTHA的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

Table6StatisticsoffragilityfunctionsbyNLTHA

損壞等級(jí)λξLS1-0.870 0.242LS2-0.626 0.271 LS3-0.309 0.309 LS40.146 0.382

5 結(jié)果分析

與非線性時(shí)程分析的結(jié)果比較，圖5表示對(duì)于每一級(jí)損壞等級(jí)的易損性曲線。

圖5 每一級(jí)損壞等級(jí)的易損性曲線Fig.5 Fragility functions for each damage state

從圖5中可以看出，N2是最接近動(dòng)力學(xué)結(jié)果的，緊接其后的便是MMPA。二者都沒(méi)有涉及等效阻尼的計(jì)算，使用的是非線性反應(yīng)譜的概念。

ACSM雖然使用了自適應(yīng)的Pushover分析，但是并沒(méi)有給出更好的結(jié)果。可能的原因是其使用的等效黏滯阻尼計(jì)算公式在相對(duì)較小的地震波作用下，不能給出相對(duì)準(zhǔn)確的等效阻尼值，從而導(dǎo)致計(jì)算得出的反應(yīng)譜折減系數(shù)不準(zhǔn)確。CSM也沒(méi)有提供很好的預(yù)測(cè)結(jié)果，在易損性曲線中CSM卻給出了比動(dòng)力分析結(jié)果要高的值，其原因可能是，CSM使用的等效阻尼計(jì)算公式與ACSM中使用的不同，而在過(guò)小的地震波作用下，CSM的阻尼計(jì)算會(huì)導(dǎo)致估算的等效阻尼比實(shí)際值偏小，從而導(dǎo)致最終結(jié)果偏大。在非線性靜力分析中造成誤差的另一個(gè)原因是由于所有的分析計(jì)算都是自動(dòng)生成的，因此當(dāng)不規(guī)則地震波反應(yīng)譜與結(jié)構(gòu)承載力曲線相交多于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，使用的是Casarotti等[6]建議的第一個(gè)交點(diǎn)，而在強(qiáng)度較小地震波作用時(shí)，會(huì)造成誤差。

6 結(jié) 論

本文以動(dòng)力分析結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值，比較了非線性靜力方法(承載力反應(yīng)譜法、N2法、改進(jìn)的模態(tài)Pushover分析法以及自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法)在計(jì)算鋼筋混凝土連續(xù)梁結(jié)構(gòu)的地震作用易損性曲線的特點(diǎn)。

承載力反應(yīng)譜法在最初的設(shè)計(jì)中主要針對(duì)房屋建筑結(jié)構(gòu)，雖然FEMA-440[13]中給出的相應(yīng)參數(shù)的完善，但其結(jié)果仍舊不理想。

自適應(yīng)承載力反應(yīng)譜法克服了以往非線性靜力方法無(wú)法考慮到結(jié)構(gòu)在地震作用下進(jìn)入非線性階段后的結(jié)構(gòu)剛度退化和內(nèi)力重分布影響的缺點(diǎn)，自適應(yīng)Pushover分析可得到更準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)承載力反應(yīng)譜。但是由于ACSM在計(jì)算過(guò)程中使用了等效阻尼的方法，因此在小強(qiáng)度地震作用下，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度受到影響。

N2法計(jì)算過(guò)程中使用的是非線性反應(yīng)譜，因此無(wú)論是小強(qiáng)度地震還是高強(qiáng)度地震，都可以給出高準(zhǔn)確度的計(jì)算結(jié)果。緊隨其后便是改進(jìn)的模態(tài)Pushover分析法。

綜上所述， 在鋼筋混凝土連續(xù)梁橋結(jié)構(gòu)易損性曲線計(jì)算中，N2法給出了計(jì)算精確度和計(jì)算效率之間最好的平衡，不僅縮短了計(jì)算時(shí)間，而且又提供了最接近非線性時(shí)程分析的結(jié)果。

致謝感謝帕維亞大學(xué)ROSE School, EUcenter, GEM對(duì)本文第一作者在帕維亞大學(xué)學(xué)習(xí)期間的資助以及對(duì)本文研究給予的技術(shù)支持。

[ 1 ] Hwang H, Liu J B, Chiu Y. Seimic fragility analysis for highway bridges [R]. Individual study, Center for Earthquake Research and Information, University of Memphis, USA, 2001.

[ 2 ] Nielson B G, DesRoches R. Seismic fragility methodology for highway bridges using a component level approach [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2007,26(6): 823-839.

[ 3 ] 張菊輝.基于數(shù)值模擬的規(guī)則橋梁墩柱的地震易損性分析[D].上海：同濟(jì)大學(xué)，2006.

Zhang Juhui. Seismic fragility analysis of regular bridge piers based on numerical simulations [D]. Shanghai: Tongji University, 2006. (in Chinese)

[ 4 ] Bal I E, Crowley H, Pinho R. Displacement-based earthquake loss assessment: method development and application to Turkish building Stock [R]. ROSE Research Report, IUSS Press, Pavia, Italy, 2010.

[ 5 ] HAZUS. Multi-hazard Loss Estimation Methodology Earthquake Model [M]. Federal Emergency Management Agency, Washington D C, USA, 2003.

[ 6 ] Casarotti C, Pinho R, Calvi G M. Adaptive Pushover-based methods for seismic assessment and design of bridge structures [R]. ROSE Research Report No. 2005/06, IUSS Press, Pavia, Italy, 2005.

[ 7 ] Priestley M J N, Seible F, Calvi G M. Seismic Design and Retrofit of Bridges [M]. New York: Wiley-Interscience, 1996.

[ 8 ] Fajfar P. A nonlinear analysis method for performance based seismic design [J]. Earthquake Spectra, 2000,16(3): 573-592.

[ 9 ] ATC prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings [R]. Report No. FEMA-365, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, 2000.

[10] Chopra A K, Geol R K, Chintanapakdee C. Evaluation of a modified MPA procedure assuming higher modes as elastic to estimate seismic demands [J]. Earthquake Spectra, 2004,20(3): 757-778.

[11] Casarroti C, Pinho R. An adaptive capacity spectrum method for assessment of bridges subjected to earthquake action [J]. Bulletin of Earthquake Engineering, 2007,5(3): 377-390.

[12] Priestley M J N, Calvi G M, Kowalsky M J. Displacement-based seismic design of structures [M]. Pavia: IUSS Press, 2007.

[13] ATC prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings [R]. Report No. FEMA-440, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, 2005.