平面欠驅動兩桿柔性機械臂的全局穩定控制

葛 洋，張安彩，韓丹陽，馮凱強，王 琛

(臨沂大學汽車學院，山東臨沂 276000)

平面欠驅動兩桿柔性機械臂的全局穩定控制

葛 洋，張安彩，韓丹陽，馮凱強，王 琛

(臨沂大學汽車學院，山東臨沂 276000)

針對平面欠驅動兩桿柔性機械臂，該文提出一種新的控制策略，實現了機械臂的全局穩定控制目標。首先,為機械臂系統引入一個同胚坐標變換，將其變換為一個結構簡單的新系統；然后,將新系統分離為線性和非線性2個部分，利用等價輸入干擾的概念為新系統設計控制器，以實現新系統的全局穩定控制目標,并通過坐標變換的同胚性使原機械臂系統的全局穩定控制問題得以解決。該文所提控制方法僅需利用機械臂的位置量信息設計控制器，這不僅能降低控制系統成本，而且還能有效避免速度噪音對控制性能的影響。數值仿真結果顯示,所提的控制策略在機械臂系統的穩定運動過程及穩定時間等性能方面，均能達到令人滿意的控制效果。

欠驅動機械系統；柔性機械臂；穩定控制；等價輸入干擾

1 欠驅動機械系統簡介

欠驅動機械系統是控制輸入個數少于自由度個數的一類非線性系統[1-2]。驅動器的減少使這類系統具有質量輕、能耗低、運動靈活等優點，目前它們已經被廣泛應用于工業、農業、交通運輸、航空航天等領域中，在人們的生活中發揮著越來越重要的作用。

近年來，學者們對欠驅動機械系統的控制理論進行了廣泛深入的研究[3-4]。作為欠驅動機械系統的一類典型代表，欠驅動機械臂成為學者們研究的熱點[5-7]，這其中兩桿體操機器人Acrobot[8]的研究尤其引人關注。 Acrobot是一個在垂直平面內運動的兩連桿機械臂，它是一個體操運動員在單杠上運動的簡化模型。 為模擬體操運動員由上杠到垂直倒立的過程，學者們最常討論的控制目標是將Acrobot由垂直向下的最低點搖起，并最終穩定在垂直向上的最高點處。 然而要實現這個控制目標并非易事，這主要是由于Acrobot 是一個具有二階非完整約束的[9]、并且不能嚴密反饋線性化的[10]復雜非線性系統所致。 為有效實現Acrobot 的上述控制目標，目前比較常用的策略是將它的整個運動空間劃分為搖起區和平衡區，然后分別為這兩個子區域設計控制器，并最終通過搖起控制器和平衡控制器的切換實現穩定控制。 基于這種分區切換控制策略，學者們提出了很多種控制方法，這包括部分反饋線性化法[11]、模糊控制法[12]、能量控制法[13]等。

與在垂直平面內運動的機械臂相比，水平面內運動的機械臂在工業制造、外科手術等領域具有更廣泛的應用背景[14-15]。與欠驅動Acrobot 相對應的水平面內運動的機械臂常稱之為平面欠驅動兩桿機械臂，這個機械臂的機械構造與Acrobot 一樣，不同之處是它在一個水平面內運動，并且它的運動過程不受重力作用的影響。 雖然機械構造與Acrobot一樣，但平面欠驅動兩桿機械臂的控制卻比Acrobot 的控制難的多，這主要由兩方面原因造成的：第一，重力作用的缺失使運動平面上的每個點都成為機械臂平衡點，并且機械臂系統在每個平衡點周圍都不能局部線性能控；第二，正如文獻[16]所指出那樣，平面欠驅動兩桿機械臂甚至不能小范圍局部能控的，因此很難將機械臂控制到期望的目標位置。 為有效解決平面欠驅動兩桿機械臂的控制問題，學者們在機械臂的機械構造方面提出了一些有益的建議，如文獻[17]在機械臂的第一關節處加裝了一根彈簧，形成了彈簧耦合型欠驅動兩桿機械臂，并提出了一種基于無源性的穩定控制方法。 由于彈簧的成本遠低于驅動器,因此這種在機械臂上加裝彈簧的方法是控制平面欠驅動機械臂最經濟有效的方法。 事實上，這種加裝彈簧的做法是比較符合實際的，因為機械臂或多或少都存在柔性，這種做法是將機械臂的柔性通過彈簧的彈力來體現。 因此，學者們也常將彈簧耦合型機械臂視為柔性機械臂的簡化模型。

目前，對平面欠驅動兩桿柔性機械臂的相關研究還比較少，很少有文獻來討論這類機械臂的穩定控制問題，正是此背景促使了本文研究工作的展開。針對平面欠驅動兩桿柔性機械臂，本文提出一種新的控制策略來實現機械臂的全局穩定控制目標。這種控制策略的設計過程包含如下2個階段：

1) 為機械臂系統引入一個同胚坐標變換，將其變換為一個結構簡單的新系統；

2) 將新系統的線性部分和非線性部分分離，通過將非線性部分視為虛擬擾動的方法來引入等價輸入干擾的概念，并利用等價輸入干擾來構造新系統的全局穩定控制器，最后通過坐標變換的同胚性保證原系統全局穩定控制目標的實現。

上述控制策略僅需利用機械臂的位置量信息便能實現系統的全局穩定控制目標，這不僅能降低控制系統成本，而且還能有效避免速度噪音對控制性能的影響，具有重要的實際應用價值。

2 動力學模型和坐標變換

欠驅動兩連桿柔性機械臂的簡化模型如圖1所示，其中的參數與變量的定義如下(i=1,2):

圖1 欠驅動兩連桿柔性機械臂Fig.1 Underactuated horizontal two-link flexible manipulator

mi為第i桿的質量；Li為第i桿的長度；li為第i關節到第i桿質心的距離；

Ji為第i桿的轉動慣量；k為彈簧的彈性系數；τ2(t)為第二關節處的控制輸入力矩；

q1(t)為第一桿相對y軸的轉動角度；q2(t)為第二桿相對于第一桿的轉動角度。

(1)

(2)

(3)

運動方程 (3)簡化為如下的標準形式：

(4)

為完成上述的控制目標，首先為系統 (4) 引入一個可逆的同胚坐標變換

根據式(3)第1個式子，不難驗證坐標變換T將系統 (4) 變為

(5)

(6)

式中det(M(q2))=M11(q2)M22-M12(q2)M21(q2)>0為矩陣M(q2)的行列式。 現記z(t)=[z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)]T。 由于T是一個可逆連續的坐標變換，故得ξ(t)=0等價于z(t)=0。因此,原系統 (4) 在零點處的全局穩定控制問題就轉化為變換后系統 (5) 在零點處的全局穩定控制問題。基于此，以下章節主要來討論如何設計控制器u(t)使系統(5)全局漸近穩定在z(t)=0處。

3 基于等價輸入干擾的控制系統設計

由于本文假設只有位置變量q(t)=[q1(t),q2(t)]T可測，故根據坐標變換T的表達式知只有z1(t)與z3(t)的信息可測。選擇z1(t)與z3(t)作為系統 (5) 的輸出量，并將式(5) 記為式(7)形式：

(7)

式中：

不難發現，式(7)中的ε(t)為該系統的非線性高階項。 在本文的研究中，將ε(t)作為系統 (7) 的一個虛擬擾動來處理。 經過簡單計算得，(A,B)完全能控，(C,A)完全能觀測且系統(A,B,C)沒有零點。 根據文獻[18]中的結論知，在輸入端存在一個與擾動項ε(t)相對應的等價輸入干擾εe，并且相應的系統方程為

(8)

為描述方便，仍采用符號z來表示系統 (8) 的狀態變量。為系統(8) 構建一個基于等價輸入干擾的控制系統，其結構如圖2所示，它由被控系統、擾動估計器、反饋控制器與狀態觀測器4部分組成。 下面來詳細說明等價輸入干擾估計器，反饋控制增益K以及觀測器增益L的設計。

圖2 基于等價輸入干擾的控制系統結構圖Fig.2 Configuration of equivalent-input-disturbance (EID)-based control system

3.1等價輸入干擾估計器設計

為系統 (8) 構造如下一個全維狀態觀測器：

(9)

(10)

式中

(11)

聯立式(9)和式(10)可得：

(12)

在式(12)兩端同時乘以BT并化簡得

(13)

(14)

3.2反饋控制增益設計

將狀態反饋控制增益Kf設計為

(15)

式中：Q>0,R>0為正定的權矩陣。由于(A,B)能控且A-LC是穩定的，故易知反饋控制律

(16)

可使系統(8)漸近穩定在z(t)=0處。 從而知控制律

(17)

可將系統 (8) 的輸出漸近穩定在零點，即z1(t)→0，z3(t)→0。再由系統 (5) 的表達式推得，當z1(t)→0，z3(t)→0時z2(t)→0,z4(t)→0。這說明控制律 (17) 可將系統 (5)漸近穩定在z(t)=0處。

(18)

3.3狀態觀測器增益設計

對于式(14)中給定的低通濾波器F(s)，本小節來論述觀測器增益L的設計，以保證整個控制系統的穩定性。 由式(9)，式(10)和式(11)得

(19)

再由式(13) 和式(17)得

(20)

G(s)=1-BTLC[sI-(A-LC)]-1B=BT(sI-A)[sI-(A-LC)]-1B。

(21)

如文獻[16]中所述，為保證整個系統的穩定性，觀測器增益L需要滿足A-LC穩定且

(22)

式中σmax[·]為最大的奇異值函數。這里將L設計為如下形式，見式(23):

(23)

式中QL>0,RL>0為正定的加權矩陣,ρ>0為一個標量。由于(A,C)是可控的,那么(CT,AT)是可觀測的。因此,由式(23) 設計的L可以使A-LC穩定。另一方面，考慮到系統(A,B,C)的對偶系統為

(24)

由于系統 (24) 的控制輸入的數目要大于控制輸出的數目，并且AT-CTKρ是穩定的，因此，根據文獻[19]中定理1和定理3的結論可有

(25)

注意到

[sI-(A-LC)]-1B=[BT[sI-(AT-CTKρ)]-1]T

為G(s)的一部分，故由式(25)可知，當參數的值很大時可保證條件式 (22) 是成立的。

4 數值仿真實例

為驗證本文所提控制方法的有效性，在Matlab/Simulink環境下搭建欠驅動兩桿柔性機械臂的模型進行數值仿真,機械臂的物理參數取為

(26)

此外,式 (14),式(15)和式(23) 中的控制參數分別選為

(27)

其中In表示一個n×n單位矩陣。在這些參數的條件下，通過利用Matlab函數lq r和norm計算得

顯然,條件(22)是滿足的。 另外，機械臂的初始仿真條件選為

(28)

圖3給出了在這一初始條件下的數值仿真結果。 結果表明,在控制器 (7) 和控制器(20) 的作用下，欠驅動兩桿柔性機械臂能夠被快速穩定在x(t)=0處，整個穩定過程比較平滑，穩定時間也不超過6 s，所有這些均說明了本文所提控制方法有效性。

圖3 欠驅動兩桿柔性機械臂角度和角速度的仿真結果Fig.3 Simulation results of angles and angular velocities for underactuated horizontal two-link flexible manipulator

5 結 論

針對平面欠驅動兩桿柔性機械臂，在只有機械臂的位置量信息可測的條件下，本文提出了一種有效的全局穩定控制方法。這種控制方法的設計過程共包含2個階段。首先，通過一個同胚坐標變換將原機械臂系統轉化為一個結構簡單的非線性系統。 然后,將新系統的線性部分和非線性部分分離，通過將非線性部分視為虛擬擾動的辦法來引入等價輸入干擾的概念，并利用等價輸入干擾來構造控制器，以使新系統全局漸近穩定在原點。由于原系統和新系統之間的變換是同胚的，從而使原機械臂系統的全局穩定控制問題得以解決。 仿真實例驗證了所提控制方法的有效性。

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Global stabilization control of underactuated horizontal two-link flexible manipulator

GE Yang, ZHANG Ancai, HAN Danyang, FENG Kaiqiang, WANG Chen

(School of Automobile Engineering, Linyi University, Linyi Shandong 276000, China)

This paper presents a new control strategy for an underactuated horizontal two-link flexible manipulator (HTFM) to realize the global stabilization. First, a homeomorphous coordinate transformation is introduced to the original manipulator system to create a new simple nonlinear system. Then, the new system is divided into the linear and nonlinear parts, and the idea of equivalent-input-disturbance (EID) is used to design a controller that globally and asymptotically stabilizes the new system as goal. The global stabilization control problem for the underactuated HTFM is soloved by the fact that the transformation is homeomorphous. The presented control method just adopts the position information of HTFM to design the stabilizing controller, which can not only reduce the cost of the control system, but also avoid the influence of velocity noises on the control performance effectively. The simulation results show that the stabilizing motion process, stabilizing time and other performances of the underactuated HTFM can achieve satisfactory results.

underactuated mechanical systems; flexible manipulator; stabilizing control; equivalent input disturbance

2014-04-16；

2014-06-17；責任編輯：李 穆

國家自然科學基金(61304023)

葛 洋(1993- )，男，山東莒南人，主要從事機器人控制的相關研究。

張安彩博士，講師。E-mail: zhangancai@lyu.edu.cn

1008-1542(2014)05-0428-07

10.7535/hbkd.2014yx05004

TP273

A

葛 洋，張安彩，韓丹陽，等.平面欠驅動兩桿柔性機械臂的全局穩定控制[J].河北科技大學學報,2014,35(5):428-434.

GE Yang，ZHANG Ancai，HAN Danyang，et al.Global stabilization control of underactuated horizontal two-link flexible manipulator[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2014,35(5):428-434.