伴隨飽和感染率和分布時滯并具有體液免疫的病毒感染模型的全局動力學研究

王 蓉,王 輝,胡志興,馬萬彪,廖福成

(北京科技大學數理學院, 北京 100083)

伴隨飽和感染率和分布時滯并具有體液免疫的病毒感染模型的全局動力學研究

王 蓉*,王 輝,胡志興,馬萬彪,廖福成

(北京科技大學數理學院, 北京 100083)

提出并研究了伴隨體液反應且帶有兩個分布時滯的病毒感染模型. 通過構造合適的Lyapunov函數得出了該模型的全局穩定性是由兩個基本再生數R0和R1決定的, 并且當R0≤1時, 無感染平衡點E0是全局漸近穩定的. 此時, 病毒會被清除. 當R1≤11時, 攜帶B細胞感染平衡點E2是全局漸近穩定的. 在這種情況下, 感染為慢性的且伴隨持久的B細胞反應. 最后, 利用數值仿真來證實以上結論分析的正確性.

全局穩定性; 體液免疫; 飽和感染率; 分布時滯

體液免疫是一種以B淋巴細胞產生抗體來達到保護目的的免疫機制, 對于瘧疾等一些傳染病,體液免疫比細胞免疫更加有效[1-6], 國內外許多文章為體液免疫構造了一些數學模型[7-11]. Wang[12]提出了一個帶有兩個確定時滯并伴隨體液免疫的感染模型.

(1)

其中T代表未感染細胞,I代表感染細胞,V為病毒,B是B細胞.λ和d分別代表無感染細胞的出生率和死亡率.β為感染率,N代表感染細胞在生命周期內產生的游離的病毒數，d1為感染細胞的死亡率,c為病毒的死亡率,g和u分別代表B細胞的出生率和死亡率, 而q則代表B細胞的中和率.

本文中, 作者在(1) 的基礎上加以改進, 將雙線性感染率變為飽和感染率[13]并引入分布時滯, 假設未感染的細胞在t時刻被病毒侵入后經過. 單位時間后才會被感染,f1(τ) 是一個概率分布函數,m1則為健康細胞變為感染細胞的死亡率. 同時假設在t時刻受感染的細胞在. 單位時間后才開始產生病毒,f2(τ) 也為一個概率分布函數, 在t時刻的產生病毒的細胞數取決于t-τ時刻被感染并且t時刻仍然存活的感染細胞的數量,m2則為被感染但尚未產生病毒的細胞的死亡率. 由此模型則變為

(2)

其中假設fi:[0,∞)→[0,∞)分段連續并且滿足

系統(2) 的初始條件為如下形式：

T(θ)=φ1(θ),I(θ)=φ2(θ),V(θ)=φ3(θ),B(θ)=φ4(θ),

φi(θ)≥0,θ∈(-∞,0),φi(0)>0(i=1,2,3,4),

(3)

2 平衡點的存在性分析

3 全局穩定性

定理1對系統(2), 當R0≤1時, 無感染平衡點E0是全局漸近穩定的. 此時, 病毒會被清除.

(4)

構造Lyapunov函數

定理2對系統(2), 當R1≤1

定義Lyapunov函數

(5)

定理3對系統(2), 當R1>1時, 攜帶B細胞感染平衡點E2是全局漸近穩定的. 在這種情況下,感染為慢性的且伴隨持久的B細胞反應.

k2cV2+k2qV2B-k3uB-k3gB2V+k3uB2.

定義Lyapunov函數

(6)

V3(t)的全導數可化簡為

4 數值模擬

本文取fi(τ)=δ(τ), 首先在圖1中取參數為：λ=10 mm-3day-1,d=0.1day-1,β=0.01 mm-3day-1,a=0.000 1day-1,m1=0.4day-1,τ=1.5day,δ=0.1day-1,N=2 mm-3,m2=0.4day-1,c=0.1day-1,q=0.01mm-3day-1,g=0.1mm-3day-1,u=0.1day-1.此時可計算出R0=0.602 388<1且E0(50,0,0,0), 由定理1證明了無感染平衡點E0是全局漸近穩定的，圖1證實了結論. 圖2中，作者將參數取為λ=20mm-3day-1,g=0.1mm-3day-1, 其余參數不變.則可以得到R1=0.802 649<1,R0=1.204 78>1, 圖2證實了定理2的結論，即無B細胞感染平衡點E1的全局穩定性. 圖3中，作者將參數取為λ=28mm-3day-1,g=0.1mm-3day-1, 其余參數不變.則可以得到R1=20.066 2>1, 圖3說明了攜帶B細胞感染平衡點E2的全局漸近穩定性.

圖1 平衡點E0是全局漸近穩定的 圖2 平衡點E1是全局漸近穩定的Fig.1 The equilibrium E0 is globally asymptotically stable Fig.2 The equilibrium E1 is globally asymptotically stable

圖3 平衡點E2是全局漸近穩定的Fig.1 The equilibrium E2 is globally asymptotically stable

5 結論

本文研究了伴隨體液反應且帶有兩個分布時滯的病毒感染模型, 這兩個分布時滯一個代表病毒進入健康細胞到此細胞變為感染細胞的滯后；另一個則代表被感染的細胞到可以產生新游離病毒的滯后.通過構造合適的Lyapunov函數以及運用LaSalle不變集原理, 完全討論出了無感染平衡點,無B細胞感染平衡點以及攜帶B細胞感染平衡點的全局穩定性，得到了時滯和飽和發生率對模型的穩定性沒有影響.

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(編輯 沈小玲)

Global Dynamics of an In-Host Viral Model of B Cells with Saturated Infection Rate and Distributed Intracellular Delays

WANGRong*,WANGHui,HUZhi-xing,MAWan-biao,LIAOFu-cheng

(Mathematics and Physics School, Science and Technologe University of Beijing, Beijing 100083, China)

The global stability of an in-host viral model of B cells with saturated infection rate and distributed intracellular delays is investigated. By structuring suitable Lyapunov function and using LaSalle’s invariance principle, the global stability of the three equilibriums is obtained. The uninfected equilibrium is globally asymptotically stable ifR0≤1. The infected equilibrium without B cells response is globally asymptotically stable ifR1≤1 andR0>1. The infected equilibrium with B cells response is globally asymptotically stable ifR1>1. Finally, each analysis is confirmed by the numerical simulations.

global stability; humoral immunity; saturated infection rate; distributed intracellular delays

2013-04-16

國家自然科學基金資助項目(61174209, 11071013); 中央高校基礎研究基金資助項目(FRF-BR-11-048B,FRF-BR-12-004); 北京科技大學冶金工程研究院基礎研究基金資助項目(YJ2012-001)

*

,E-mail：bkwangrong@163.com

O29

A

1000-2537(2014)04-0077-05