應用Bernoulli型簡單方程求(2+1)維KP方程的精確行波解

和玲超 ，龐 晶，趙忠龍

(1.內蒙古工業大學理學院，中國 呼和浩特 010051;2.中國礦業大學理學院，中國 徐州 221116)

應用Bernoulli型簡單方程求(2+1)維KP方程的精確行波解

和玲超1，龐 晶1*，趙忠龍2

(1.內蒙古工業大學理學院，中國 呼和浩特 010051;2.中國礦業大學理學院，中國 徐州 221116)

利用行波變換把(2+1)維KP方程化成常微分方程，再運用簡單方程法求解(2+1)維KP方程的行波解. 文中選取 Bernoulli方程為簡單方程.將由KP方程所化成的常微分方程分成兩部分：一部分包含導數項，另一部分為方程其他部分. 然后, 平衡最高次冪的非線性項所產生的最高次數和最高階導數項所產生的最高項的次數，得到平衡方程，確定解的形式. 最后解得(2+1)維KP方程的行波解.

簡單方程法；(2+1)維KP方程；精確行波解

在過去的30年里, 非線性偏微分方程數學模型廣泛應用于自然現象和社會現象中. 比如流體力學和湍流理論, 神經學，混沌理論和生態學，孤子理論，生物學，動力系統理論等. 模型中的偏微分方程的精確解在以下幾方面有著重要的用途. 首先這些解描述了不同類型的波. 在研究海底暗流，石油鉆探和海洋開發等方面有廣泛的應用. 其次，在所研究的系統中，特解可以作為程序模擬過程中計算機的初始條件，為計算機軟件的開發提供理論支撐. 求解偏微分方程精確解中著名的方法有反散射變換和Hirota方法[1]. 在多年研究課題中，許多獲得非線性偏微分方程精確解的方法已經得到了發展. 通過這些方法，許多方程的精確解已經獲得. 比如Kuramoto-Sivasinsky方程[2]， sine-Gordon 方程[3-5]，Korteweg-de Vries方程[6],種群動態模型方程，Poisson-Boltzmann方程[7]等.而獲得非線性偏微分方程的精確解和近似解的一個直接的方法是簡單方程方法[8-12]. 該方法或修正的簡單方程方法已應用于許多非線性偏微分方程，如Fisher方程，反應類擴散和反應的電報方程[13]，廣義Kuramoto-Sivasinsky方程[14]，廣義Swift-Hohenberg方程和廣義Rayleigh方程[15]．在本文中，作者將運用簡單方程方法得到(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程的精確行波解.

1 方法的引入

1.1 用簡單方程法研究非線性偏微分方程.

假設一個偏微分方程經過行波變換化成如下形式的常微分方程：

(1)

這個方程的精確解可以構造成如下級數形式.

(2)

其中G(ξ)是一些常微分方程也就是所說的簡單方程的解，所選取的簡單方程應具有下面兩條性質：

(ⅰ)簡單方程的階數比方程(1)的階數低;

(ⅱ)知道簡單方程的一般解或者至少知道簡單方程的一個特殊的解.

本文中，選Bernoulli方程作為簡單方程，它擁有的精確解可由初等函數構造得到.所選的Bernoulli方程形式如下：

(3)

其中k是整數，k>1,有如下形式的解：

這里c,d為常數，C為積分常數.

1.2 平衡方程法

下面尋找方程(1)具有(2)形式的解.把(2),(3)代入(1)得到如下形式的多項式方程：

H=κrGr+κr-1Gr-1+…+κ0=0,

(4)

其中r為整數，當方程(4)的系數全為0時，求解得到的對應代數方程組，可以得到方程(1)的解, 其中κl是關于A0,A1,…,AM,c,d, 和方程(1)系數的多項式.

令κl=0,l=r,r-1,…,0,得到一個非線性代數系統. 為了確保得到的代數方程組中的每個方程至少有兩項, 必須平衡多項式方程(4)的最高次冪.事實上，容易觀察到只要平衡(1) 最高次冪的非線性項所產生的最高次數和(1)中最高階導數項所產生的最高項的次數即可．

若方程(1)的具體形式為

(5)

則簡單方程為Bernoulli方程時，平衡方程為：

ZM=M+N(k-1).

2 應用Bernoulli型簡單方程求(2+1)維KP方程的精確行波解

Kadomtsev-Petviashvili方程(簡稱KP方程)：

(6)

其中α,γ,ε均為自由參數.方程(6)可看作KdV方程在高維情形下的推廣，它用于描述水波的運動，最早由Kadomtsev和Petviashvili提出.

假設KP方程的行波解為：u(x,y,t)=ψ(ξ),ξ=x-st+wy，其中s為波速，w為y方向上的波數.

方程(7)經過行波變換后，關于ξ積分兩次得

(7)

B1ψ″+B2ψ+B3ψ2=0.

(8)

考慮方程(7)具有如下形式的解：

其中G(ξ)滿足Bernoulli方程,M是正整數，M可由1.2節中的平衡程序得到.

M+2(k-1)=2M,

當k=2時，M=2.

因此解的形式如下：

ψ(ξ)=A0+A1G+A2G2,G=G(ξ).

(9)

把(9)式帶入方程(8)使所有有關Gi的項的系數為0，即可得到一個關于A0，A1和A2代數方程系統，這些代數方程為：

A1B1c2+A1B2+2A0A1B3=0,

2A1B1d2+10A2B1cd+2A1A2B3=0,

(10)

其中B1,B2和B3是方程(8)中的系數，解代數方程(10)，得

當c>0和d<0時，方程(8)的解為

當c<0和d>0時，方程(8)的解為

C為積分常數.

(11)

(12)

利用Mathematica軟件，繪出自由參數α=1,γ=1,ε=1時解(11)的ξ-u平面上的行波圖，見圖1.

圖1 解(11)的孤波圖Fig.1 Profile of solution (11)

從圖1可見，解(11)的圖像是光滑可微的，ξ→±∞時，u→-6，可見方程的行波解是局部化的孤立波解，此時孤子解的波形為鐘狀.

圖2 解(11)的孤波圖 圖3 解(11)的孤波圖Fig.2 Profile of solution (11) Fig.3 Profile of solution (11)

注平衡方程ZM=M+N(k-1)中,Z是方程(5)中非線性項的最高次數，M是多項式(2)式的最高次冪的次數，k是所選Bernoulli方程中的參數.

3 結束語

近年來, 簡單方程法首先由Kudryashov等人提出, 并應用于一些偏微分方程的求解, 得到許多孤子解. 本文主要研究(2+1)維KP方程, 目的是求得它的精確行波解. 簡單方程法是一種有效的求偏微分方程精確解的方法, 本文選取了比較熟悉的Bernoulli方程為簡單方程, 求得KP方程的新解, 由于方程中的系數α,γ,ε是自由參數, 所以求得的解是一系列方程的解，對于研究水波運動有重要意義. 該方法的核心是平衡方程思想的運用. 本文用k=2去平衡, 而進一步的研究可以選k=3,k=4,…的情形, 求得KP方程更多的解. 本文所得到的解是新解與文獻[16～17]中的解不同，所解的KP方程自由參數更多，得到更一般的解. 更重要的是運用本文的思想可以研究更多的非線性偏微分方程, 求得它們的精確解, 為工程計算，人口學，計算科學等學科的非線性偏微分方程模型研究工作提供求得此類精確解的理論依據.

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(編輯 沈小玲)

Application of Simplest Equations to Bernoulli Kind for Obtaining Exact Traveling-Wave Solutions for the (2+1)-Dimensional KP Equation

HELing-chao1,PANGJing1*,ZHAOZhong-long2

(1.College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China; 2.College of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Traveling-wave coordinate is used for transforming KP equation to a nonlinear ordinary differential equation. The traveling-wave solutions of KP equation are obtained by the method of the simplest equation when the simplest equation is the Bernoulli equation. The nonlinear ordinary equation is divided into two parts: part A contains the derivatives, and part B contains the rest of the equation. Then,balancing the highest powers of the polynomials for the parts A and B and a balance equation is obtained which depends on the kind of the simplest equation, the form of solution is determined. Finally, the new traveling-wave solutions of the KP equation are obtained.

method of simplest equation; (2+1)-dimensional KP equation; exact traveling-wave solutions

2013-04-01

國家自然科學基金資助項目(11071159); 內蒙古高等學校研究重點項目(NJ2214053)

*

,E-mail：pang_j@imut.edu.cn

O175.29

A

1000-2537(2014)04-0082-05