關于有界線性算子的幾個不等式

黃介武

(貴州民族大學理學院，中國 貴陽 550025)

關于有界線性算子的幾個不等式

黃介武*

(貴州民族大學理學院，中國 貴陽 550025)

通過利用一個算子恒等式和關于多個算子的Bohr不等式，得到了關于有界線性算子的幾個不等式，所得結果是同行前期結果的改進.同時，通過利用改進的幾何-算術平均值不等式，得到了關于算子幾何均值和算術均值的一個不等式，所得結果推廣了現有的一個不等式.

有界線性算子；Bohr不等式；幾何-算術平均值不等式

用B(H)表示由可分Hilbert空間H上所有有界線性算子生成的代數.設A∈B(H),則它的絕對值算子定義為：|A|=(A*A)1/2,其中A*表示A的共軛算子.設A，B∈B(H)為可逆正算子，它們的幾何均值和算子相對熵被分別定義為

A#B=A1/2(A-1/2BA-1/2)1/2A1/2，S(A|B)=A1/2log(A-1/2BA-1/2)A1/2.

關于算子幾何均值、相對算子熵的更多信息可參見文獻[1～2].

經典的Bohr不等式是說，對于任意的z1,z2∈C以及p,q>1,有

|z1-z2|2≤p|z1|2+q|z2|2.

(1)

Zou和He在文獻[10]中得到了不等式(1)的一個改進：對于任意的1≤i≤k,都有

(2)

其中ti≠1.定義矩陣Y=[yjs]∈Mk,其中

Zou和He在文獻[10]中也得到了下面的兩個結果：若Y≤0,則對于任意的1≤i≤k,都有

(3)

若Y≥0,則對于任意的1≤i≤k,都有

(4)

設B，C∈B(H).Merris和Pierce在文獻[11]中證明了：若B為正算子且C是可逆的，則

C*((C*)-1BC-1)1-vC≤vA+(1-v)B,

(5)

(6)

這就是著名的幾何-算術平均值不等式的算子版本.最近，Zou在文獻[12]中得到了不等式(6)的一個改進：

(7)

本文首先改進了不等式(2)～(4)，同時我們也得到了不等式(7)的一個推廣.

1 主要結果

在這節中，我們首先給出不等式(2)的一個改進.

引理1[8]設A,B∈B(H),則對于任意的α∈R,有

α(1-α)|A-B|2+|αA+(1-α)B|2=α|A|2+(1-α)|B|2.

(8)

證注意到

因此有

證畢.

定理2設Aj∈B(H),j=1,…,k.若Y≤0,則對于任意的1≤i≤k,都有

(9)

證畢.

注1因為0≤αi,ti<1,所以

可知不等式(8)是不等式(2)的一個改進，不等式(9)是不等式(3)的一個改進.

定理3設Aj∈B(H),j=1,…,k.若Y≥0,則對于任意的1≤i≤k,都有

(10)

證畢.

注2因為0≤αi<1,所以min{αi,1-αi}≥αi(1-αi).可知不等式(10)是不等式(4)的一個改進.同時，若αi=0,則由本文的定理2和3可得文獻[7]中的定理26.

接下來，我們給出不等式(7)的一個推廣.

引理2[12]設a,b>0,則

定理4設B，C∈B(H).若B為正算子且C是可逆的，則

(11)

不等式兩邊同時左乘C*,右乘C有

上面這個不等式等價于

于是可得

其中

注3在不等式(11)中取C=A1/2可得不等式(7).

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(編輯 沈小玲)

On Some Inequalities for Bounded Linear Operators

HUANGJie-wu*

(College of Science, Guizhou Minzu University, Guiyang 550025, China)

Some inequalities for bounded linear operators are obtained by using an operator identity and Bohr inequality on some operators, the results are renements and generalizations of some existing inequalities. Also, an inequality on the operator geometric mean and arithmetic mean is obtained by using the improved arithmetic-geometric mean inequality, the result is an extension of the existing inequality.

bounded linear operators; Bohr inequality; geometric-arithmetic mean inequality

2014-04-07

國家自然科學基金資助項目(61263034)

*

,E-mail：huangjiewu@gzmu.edu.cn

O151.21

A

1000-2537(2014)04-0092-04