譜負MAP波動理論的一個注記

張超權*，唐勝達，秦永松

(1.桂林航天工業學院信息工程系，中國 桂林 541004；2.廣西師范大學數學科學學院，中國 桂林 541004)

譜負MAP波動理論的一個注記

張超權1*，唐勝達2，秦永松2

(1.桂林航天工業學院信息工程系，中國 桂林 541004；2.廣西師范大學數學科學學院，中國 桂林 541004)

譜負MAP是應用概率論領域的重要內容之一．利用Asmussen-kella鞅推廣了譜負MAP(X，J)的波動理論，給出譜負MAP在與之獨立且服從Erlang分布的隨機時刻點上水平與極值的聯合變換所滿足的等式，進而由Erlangization方法，給出譜負MAP(X，J)的水平與極值的聯合變換的瞬時趨近算法．

譜負MAP；波動理論；Erlangization方法；趨近計算式

Levy過程是應用概率領域內的重要隨機過程之一，但是Levy過程的平穩性使其在實際應用中受到一定的局限性.在實際建模中，過程會因長時間的演變、外界隨機因素的干擾等原因而不再具有平穩性，如價格的季節性，行為的模式化等.由此，可將Levy過程推廣為機制轉換模型(regime-switching model)：連續時間的Markov加過程(Markov additive process)，簡稱MAP，這是Levy過程的一個自然推廣，MAP已成為隨機復雜系統的重要建模工具之一，它已被廣泛應用于網絡通訊、存儲論、交通管理、風險過程、金融工程等領域[1-2]．

許多學者對MAP的相關性質作了深入的研究，Cinlar，Ney，Asmussen[3-5]給出了MAP的基本結構及性質，Ivanovs[6]給出了MAP的指數矩陣特征值的性質，D’Auria等[7]給出了MAP首達時過程的轉移率矩陣的結構，并將其應用于單邊反射MAP及雙邊MMBM[8]，Breuer[9]給出了首達時過程的轉移率矩陣的迭代計算方法，Ivanovs[10]給出了MAP的scale 矩陣，Kypianou等[11]對MAP波動理論進行了研究．

Avram[12]在研究風險過程中得出破產時刻的Laplace變換等價于指數隨機時間內的破產概率，Asmussen等[13]采用fluid embedding方法將這一結果推廣并得出服從Erlang(n,q)分布的隨機時刻內的破產概率，當給定分布期望不變時，隨著分布的階數趨于無窮，這一隨機時刻趨于它的期望定值，利用這一方法，Asmussen等得到了在有限時刻內破產的趨近算法，且這一算法具有良好的穩定性且收斂速度快，這一方法稱為Erlangization方法；Stanford[14]將這一方法推廣為PH分布情形；Ramaswami等[15]將這一方法應用于隨機流體理論，用于各種有限時刻內的各種首達時的研究，Woolford等[16]將這一方法用于分析山火的控制研究．

本文基于上述研究，主要給出譜負MAP(X，J)的水平與極值的聯合變換的瞬時趨近算法．這一結果在實際數值計算中具有十分重要的意義，本文利用Asmussen-kella鞅，推廣了MAP的波動理論，將MAP在指數時刻的相關量推廣至Erlang分布的隨機時刻上，繼而由Erlangization方法，給定任意時刻時的MAP相應量的趨近計算式．從而解決了譜負MAP(X，J)瞬時波動理論的瞬時時間點上的計算問題．

1 譜負MAP及相關量

本文分析具有單邊跳躍的MAP，具體地，設(Ω,F={Ft,t≥0},P)是完備的概率空間且滿足通常條件，設(X,J)={(X(t),J(t)),t≥0}是R×E上的實值二維隨機適應過程，其中E={1,2,…,N}，且過程(X,J)滿足：

(i)(X(t+s)-X(t),J(t+s))與Ft相互獨立；

(ii)給定J(t)=i∈E，(X(t+s)-X(t),J(t+s))與(X(s)-X(0),J(s))在Pi下同分布，其中記Pi(·)=P(·|X(0)=0,J(0)=i)．

于是，稱過程(X,J)是MAP，其中稱J為背景過程(Background process)或階段(Phase)，稱X為加過程(Additive process)或水平(Level)．由定義，J是狀態空間為E的Markov過程，不妨設J是轉移率矩陣為Q=(qij)N×N的不可約非周期的連續時間Marov過程，設J存在平穩分布π，即πQ=0，πe=1，其中e是維數適當的單位列向量．當給定J(t)=i∈E時，X是Laplace指數為ψi(α)的Levy過程Xi={Xi(t),t≥0}，其中，

(1)

根據X的演變特點，將J的狀態作如下分類：

E+={i∈E,ai>0或σi>0}，記E+的勢為|E+|=N+；E↓={i∈E,ai≤0且σi=0}，記E↓勢為|E↓|=N↓；顯然N=N++N↓，為方便記述，記E+={1,2,…,N+}．符號E[A,J]表示第i行j列的元素為Ei[A,J=j]的矩陣．Ei[·]表示Pi下的條件期望．

設譜負MAP(X,J)的指數矩陣為E[eαX(t),J(t)]=eF(α)t，由[1]，有

F(α)=diag(ψ1(α),ψ2(α),…,ψN(α))+Q°G(α)，

(2)

其中Q°G(α)=(qijGij(α))N×N，由于譜負MAP(X,J)不具有正的跳躍，故對α≥0，F(α)是有限矩陣．

設J的初始分布為π，對固定的T>0，設：

(3)

2 主要結果及證明

對x>0，定義τx=inf{t≥0,X(t)>x}，稱τx為譜負MAP(X,J)的首達時( first passage time)，由[7]，(τx,J(τx))是MAP且對應的指數矩陣為：

E[e-qτx,J(τx)]=(P(τx

(4)

其中，eq是與譜負MAP(X,J)獨立且服從分布exp(q)的R.V.，顯然，過程(J(τx),x≥0)是狀態空間為E+，轉移率矩陣為Λ(0)的Markov過程．

定義：Π(q)=(Πij(q))N×N+，其中，Πij(q)=Pi(τ0

(5)

Λ(q)和Π(q)是首達過程中兩個重要的量，它給出了在服從exp(q)分布的隨機時刻前，(J(τx),x≥0)在時刻τx及τ0的狀態轉移情況，當Λ(q)和Π(q)給定后，過程MAP(τx,J(τx))也由此確定，[7]詳細地研究了Λ(q)和Π(q)的結構特點及其表示式．本文設Λ(q)和Π(q)已知，下面對這兩個量進行推廣．

設en,q是與譜負MAP(X,J)獨立且服從Erlang(n,q)分布的R.V.，設：

(6)

(7)

Π(n,q)=(Πij(n,q))N×N+，其中，Πij(n,q)=Pi(τ0

(8)

Π(t)=(Πij(t))N×N+，其中，Πij(t)=Pi(τ0

(9)

記e1,q=eq，Λ(1,q)=Λ(q)，Π(1,q)=Π(q)，于是有如下引理成立.

引理1設(X,J)是如上定義的譜負MAP(X,J)，則下列等式成立：

(10)

(11)

將上式改寫成矩陣形式即為(10)式，同理可證(11)式．

引理2設(X,J)是如上定義的譜負MAP(X,J)，則成立下列等式：

(12)

(13)

由Jagerman[17-18]反演公式，即得(12)式，同理可證(13)式．

本文的主要結果即基于此思想．下面給出Asmussen-kella鞅，它由Asmussen和kella[19]提出，是對一般指數鞅的一個推廣，本文以此為研究起點，設Y(t)是緊致區間上的有限變差適應過程，設Z(t)=X(t)+Y(t)，對任意初始分布的譜負MAP(X,J)，設：

(14)

則M(t)是均值為0的局鞅．其中ei表示第i個元素是1其他為0的維數適當的列向量．

下面給出本文的主要結論：

(15)

(16)

是0均值鞅，于是對上式取期望，并令t→+∞，則

(17)

因此

(18)

當J(s)∈E+時，令R(t)=-X(t)+L(t)，于是，(((R(t),J(t)),t≥0))是MAP(-X,J)的單邊反射過程[7]，于是當R(t)=0時，對s

其中E+[·]表示初始條件為J(0)∈E+，X(0)=0的條件期望．于是，

由Fubini定理，

(19)

將(18)、(19)代入(17)即得．于是定理得證．

下推論給出了譜負MAP(X,J)的水平與極值的聯合變換的等式關系．

推論1 如上定理1的條件，初始水平為0的譜負MAP(X,J)滿足如下等式：

(20)

(21)

將上式改寫成矩陣形式：

(22)

(23)

從而有

(24)

證畢．

推論2 如上定理1的條件，初始水平為0的譜負MAP(X,J)在任意給定時刻t過程水平與極值的聯合變換滿足如下等式：

(25)

(26)

證仿引理2證明，即得．

步驟1 根據精度要求給定n；

…

4 結論

本文基于Asmussen-kella鞅，對一般譜負MAP(X，J)波動理論進行了推廣，給出譜負MAP在與之獨立且服從Erlang分布的隨機時刻點上的水平與極值的聯合變換所滿足的等式，然后采用Erlangization方法，將這些等式轉化為任意時刻處的MAP水平與極值聯合變換的趨近計算式．從而解決了譜負MAP(X，J)瞬時波動理論的瞬時時間點上的計算問題．這在實際建模與應用中具有十分重要的作用．

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(編輯 沈小玲)

A Note on Fluctuation Theory of Spectrally Negative MAP

ZAHGChao-quan1*,TANGSheng-da2,QINYong-song2

(1.Department of Information Engineering, Guilin University of Aeraspace Technology, Guilin 541007, China;2.College of Mathematics, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China)

Spectrally negative MAP is one of the important contents in the probability. The fluctuation theory of the spectrally negative MAP(X,J) is generalized by the means of the Asmussen-kella martingale. The equations that satisfied by the joint transforms of the level and the extremum of the spectrally negative MAP at an independent Erlang distributed time are discussed. Furthermore, by the Erlangization method, the approximation algorithm of trancient joint transform of the level and the extremum of the spectrally negative MAP is obtained.

spectrally negative MAP; fluctuation theory; Erlangization method; approximation algorithm

2012-09-08

國家自然科學基金資助項目(11271088)；廣西教育廳科研資助項目(201106LX067)

*

,E-mail：zhangchao320@163.com

O211．5

A

1000-2537(2014)02-0078-06