基于LHS的鋼筋混凝土變形隨機性計算

楚士鵬， 李佳黛

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都611756)

混凝土的力學(xué)物理特性存在很大的不確定性，這使得其在外力作用下變形有很大的隨機性。如果不考慮不確定性影響，對混凝土受力變形進行確定性計算得到的結(jié)果并不一定準(zhǔn)確。通過對混凝土的強度和彈性模量進行隨機抽樣，可以得到混凝土抽樣樣本。對樣本進行確定性計算，進而可以得出混凝土變形的概率分布。蒙特卡洛抽樣精度高，預(yù)測準(zhǔn)確，為比較常用的抽樣方法。但蒙特卡洛抽樣次數(shù)多，需要進行大量非線性分析計算。LHS抽樣是對蒙特卡洛抽樣的改進。通過LHS抽樣可以降低抽樣次數(shù)，簡化計算。

1 GL2000模型簡介

GL2000模型中給出的混凝土平均抗壓強度與彈性模量之間存在的確定性關(guān)系模型，表達形式為：

略去時間因子的影響，該公式有如下形式：

其中：a和b為與水泥種類有關(guān)系數(shù)；α1為彈性模量不確定性；fcm為混凝土28d的抗壓強度均值。

混凝土抗拉強度和抗壓強度有如下關(guān)系：

(3)

其中：α2為抗拉強度的不確定性。

表1給出上述隨機變量的統(tǒng)計特性。

表1 隨機變量統(tǒng)計特性

混凝土應(yīng)力應(yīng)變有如下關(guān)系：

其中

2 LHS(拉丁超立方抽樣)方法基本原理

LHS是一種分層抽樣，將隨機變量Xi的分布概率N等分，每等分都具有相同的概率1/N。

在每個概率區(qū)域內(nèi)，抽取變量區(qū)間中間值為抽樣樣本。對于隨機變量Xi其分布函數(shù)P(x)與概率密度函數(shù)f(t)存在以下關(guān)系：

(6)

對于LHS抽樣：

其中：N為抽樣次數(shù)；Xi為抽樣樣本。

對于正態(tài)分布，由表1可以確定其概率密度函數(shù)。由公式(7)可以分別對其進行抽樣，獲取樣本Xi。

對三維隨機變量α1、α2、fcm的隨機排列，然后進行確定性計算。

3 CSBNLA非線性分析軟件

鋼筋混凝土的變形由很明顯的非線性效應(yīng)，因此采用非線性有限元計算方法。CSBNLA非線性分析軟件能對混凝土梁的變形進行準(zhǔn)確有效的分析。在該軟件中輸入梁相應(yīng)的約束、荷載、單元截面及材料特性，即可求出梁各節(jié)點的豎向位移。

4 算例及結(jié)果分析

算例：某梁的截面和梁各項數(shù)據(jù)如圖1、表2。

圖1 梁截面

b/mmh/mmbw/mmhf/mmhw/mmAs/mm2d/mmAs'/mm2d/mml /mmfcm/MPaMd/(N·m)457241102102113.657021363219670629.416098

利用α1、α2、fcm的統(tǒng)計特性(表1)，通過拉丁超立方抽樣，生成α1、α2、fcm的若干組合；將每組數(shù)據(jù)帶入GL2000模型算出對應(yīng)的彈性模量E、抗拉強度ft，然后將以上數(shù)據(jù)代入式(4)，可得混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。最后代入CSBNLA非線性分析軟件，即可求出相應(yīng)的跨中撓度。算例如下：

表3 n=20 LHS抽樣結(jié)果

表4 n=20 GL2000計算結(jié)果

通過計算，下表給出撓度計算結(jié)果：

表5 導(dǎo)入CSBNLA非線性分析軟件計算結(jié)果

通過計算對于樣本個數(shù)為10、20、40、80拉丁超立方抽樣，梁撓度概率密度分布如圖2。

圖2 不同抽樣次數(shù)梁跨中撓度概率密度函數(shù)圖

隨著抽樣次數(shù)的改變，均值與方差如表6所示。

表6 LHS抽樣跨中撓度均值與方差

由圖2和表6可得：

(1)隨著抽樣次數(shù)的增大，概率密度曲線由正態(tài)分布逐漸變?yōu)殡p峰分布，開裂時撓度集中分布于-0.015m，不開裂時，撓度集中分布于 -0.005m處。

(2)當(dāng)抽樣個數(shù)達到80時，撓度的均值及方差基本穩(wěn)定。

蒙特卡洛抽樣具有精度高，預(yù)測準(zhǔn)確的特點。將LHS抽樣計算結(jié)果蒙特卡洛抽樣進行對比，可以驗證LHS抽樣的精度。

蒙特卡洛抽樣結(jié)果如圖3、表7：

圖3 蒙特卡洛抽樣跨中撓度概率密度函數(shù)

抽樣次數(shù)50100300500均值/m-0.0112-0.0123-0.0124-0.0121方差(10-5)2.462.473.822.58

圖2與圖3對比可知：

(1)LHS抽樣和蒙特卡洛抽樣的較大撓度都分布于均值左右 。

(2)LHS抽樣80次得到的結(jié)果和蒙克卡洛抽樣所得結(jié)果均值與方差相差很小。因此，通過LHS對混凝土變形進行抽樣分析時，80次抽樣已經(jīng)滿足工程需求。

(3)在滿足工程需求的前提下，LHS抽樣可以很大的減少抽樣次數(shù)。

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圖3 門架式雙排抗滑樁有限元模型(忽略動面以上樁間土作用)