橡皮擦下的明天

陸曉冬

經常會有老師在測試后的評講中說道：“這道題已經做過講過好幾遍了，怎么還是有同學做錯！”有些同學也有這樣的體會：明明這道題目老師上課講解過、作業做過、甚至考試考過，稍后做還是會做錯，而且往往撞在同一棵樹上.這其實就是我們學習中的漏洞，我們要及時回顧這些錯題，找出錯誤的所在，理解產生錯誤的原因.這樣才能更有效地規避這些錯誤，提高學習效率.

在選擇錯題的時候我們應該尋找周末練習、月測、單元測試中反復出現錯誤的問題.在這些測試中常常出現錯誤的問題一般來說也是自己的弱項，而在本章中這些問題的出現往往會導致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問題，對于具體而又抽象的問題常常感到無所適從，在訂正的時候也往往無從下手，對于產生問題的根本原因也很少反思.所以糾正錯誤、預防錯誤應該是貫穿于整個數學學習的始終.下面我們一起來看看本章中容易出現的一些錯誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關系

在“三線八角”的教學中老師往往會把同位角、內錯角、同旁內角的位置關系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類型，也很容易在簡單的圖形中找到這些類型，但是在復雜的圖形中卻不容易找出. 其實要規避這種錯誤，我們可以在做題時動筆描出這兩個角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內錯角、同旁內角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關系，從而通過角與角的數量關系得到線與線的位置關系.

【分析】本題出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這是某位同學提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時候也并不是很復雜，但是這位同學犯了典型“循環論證”的錯誤.“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角和”，這個定理是運用三角形內角和定理證明的，這很明顯是個“循環論證”.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這種方法也是某位同學提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經有同學能夠發現這種“循環論證”的錯誤了.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，在證明的時候利用了四邊形的內角和為360°，我們可以發現四邊形的內角和是由三角形內角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環論證”的錯誤.

四、 三角形中的各類問題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學習三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個角這個先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問題應該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問題

注意各邊的高應該過相對的頂點，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學習時，每個人在理解上會有差異，而培養良好的學習習慣，提高自主學習能力對于中學生而言是很重要的.像上面的例子是大家學習初中幾何證明時經常犯的錯誤，因為幾何證明題證明過程邏輯性很強，初學證明題時還不能將我們所學的知識串成一個系統，故而經常犯這種錯誤.對于錯題進行歸納分類，避免以后犯相同的錯誤，對于出現的問題做到有效的預判，及時預防錯誤的發生，能使我們的學習收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）

經常會有老師在測試后的評講中說道：“這道題已經做過講過好幾遍了，怎么還是有同學做錯！”有些同學也有這樣的體會：明明這道題目老師上課講解過、作業做過、甚至考試考過，稍后做還是會做錯，而且往往撞在同一棵樹上.這其實就是我們學習中的漏洞，我們要及時回顧這些錯題，找出錯誤的所在，理解產生錯誤的原因.這樣才能更有效地規避這些錯誤，提高學習效率.

在選擇錯題的時候我們應該尋找周末練習、月測、單元測試中反復出現錯誤的問題.在這些測試中常常出現錯誤的問題一般來說也是自己的弱項，而在本章中這些問題的出現往往會導致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問題，對于具體而又抽象的問題常常感到無所適從，在訂正的時候也往往無從下手，對于產生問題的根本原因也很少反思.所以糾正錯誤、預防錯誤應該是貫穿于整個數學學習的始終.下面我們一起來看看本章中容易出現的一些錯誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關系

在“三線八角”的教學中老師往往會把同位角、內錯角、同旁內角的位置關系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類型，也很容易在簡單的圖形中找到這些類型，但是在復雜的圖形中卻不容易找出. 其實要規避這種錯誤，我們可以在做題時動筆描出這兩個角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內錯角、同旁內角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關系，從而通過角與角的數量關系得到線與線的位置關系.

【分析】本題出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這是某位同學提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時候也并不是很復雜，但是這位同學犯了典型“循環論證”的錯誤.“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角和”，這個定理是運用三角形內角和定理證明的，這很明顯是個“循環論證”.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這種方法也是某位同學提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經有同學能夠發現這種“循環論證”的錯誤了.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，在證明的時候利用了四邊形的內角和為360°，我們可以發現四邊形的內角和是由三角形內角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環論證”的錯誤.

四、 三角形中的各類問題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學習三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個角這個先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問題應該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問題

注意各邊的高應該過相對的頂點，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學習時，每個人在理解上會有差異，而培養良好的學習習慣，提高自主學習能力對于中學生而言是很重要的.像上面的例子是大家學習初中幾何證明時經常犯的錯誤，因為幾何證明題證明過程邏輯性很強，初學證明題時還不能將我們所學的知識串成一個系統，故而經常犯這種錯誤.對于錯題進行歸納分類，避免以后犯相同的錯誤，對于出現的問題做到有效的預判，及時預防錯誤的發生，能使我們的學習收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）

經常會有老師在測試后的評講中說道：“這道題已經做過講過好幾遍了，怎么還是有同學做錯！”有些同學也有這樣的體會：明明這道題目老師上課講解過、作業做過、甚至考試考過，稍后做還是會做錯，而且往往撞在同一棵樹上.這其實就是我們學習中的漏洞，我們要及時回顧這些錯題，找出錯誤的所在，理解產生錯誤的原因.這樣才能更有效地規避這些錯誤，提高學習效率.

在選擇錯題的時候我們應該尋找周末練習、月測、單元測試中反復出現錯誤的問題.在這些測試中常常出現錯誤的問題一般來說也是自己的弱項，而在本章中這些問題的出現往往會導致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問題，對于具體而又抽象的問題常常感到無所適從，在訂正的時候也往往無從下手，對于產生問題的根本原因也很少反思.所以糾正錯誤、預防錯誤應該是貫穿于整個數學學習的始終.下面我們一起來看看本章中容易出現的一些錯誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關系

在“三線八角”的教學中老師往往會把同位角、內錯角、同旁內角的位置關系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類型，也很容易在簡單的圖形中找到這些類型，但是在復雜的圖形中卻不容易找出. 其實要規避這種錯誤，我們可以在做題時動筆描出這兩個角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內錯角、同旁內角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關系，從而通過角與角的數量關系得到線與線的位置關系.

【分析】本題出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這是某位同學提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時候也并不是很復雜，但是這位同學犯了典型“循環論證”的錯誤.“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角和”，這個定理是運用三角形內角和定理證明的，這很明顯是個“循環論證”.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這種方法也是某位同學提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經有同學能夠發現這種“循環論證”的錯誤了.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，在證明的時候利用了四邊形的內角和為360°，我們可以發現四邊形的內角和是由三角形內角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環論證”的錯誤.

四、 三角形中的各類問題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學習三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個角這個先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問題應該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問題

注意各邊的高應該過相對的頂點，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學習時，每個人在理解上會有差異，而培養良好的學習習慣，提高自主學習能力對于中學生而言是很重要的.像上面的例子是大家學習初中幾何證明時經常犯的錯誤，因為幾何證明題證明過程邏輯性很強，初學證明題時還不能將我們所學的知識串成一個系統，故而經常犯這種錯誤.對于錯題進行歸納分類，避免以后犯相同的錯誤，對于出現的問題做到有效的預判，及時預防錯誤的發生，能使我們的學習收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無錫市江南中學）