分數階為2<α≤3的微分方程兩點邊值問題解的存在性

葛 碧,王 培，徐艷艷

(1.重慶師范大學涉外商貿學院數學與計算機學院，重慶 合川 401520；2.西華大學數學與計算機學院,四川 成都 610039)

近年來,隨著分數階微分方程在工程、經濟等眾多領域的重要應用,此問題的研究亦受到眾多學者的關注。研究分數階微分方程及分數階微分方程的邊值問題對解決非線性問題意義重大。

本文主要研究以下邊值問題：

(1)

1 預備知識

定義1[1]函數f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階積分為

其中：α>0；Γ(α)為Gamma函數,右端在R+上逐點有定義。

定義2[1]函數f:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階導數為：

其中n=[α]+1,[α]表示α的整數部分,右端在R+上逐點有定義。

其中n-1<β

本文的主要結果證明將用到以下3個引理。

其中,cj∈R,j=1,2,…,n。n是滿足n≥α的最小整數。

引理2 若u(t)∈C[0,1],分數階邊值問題

(2)

結合Riemann-Liouville分數階積分的定義可有

則邊值問題(2)的唯一解可以表示為

在這里,

則函數|G′(t,s)|是t∈[0,1]上的可積函數。

我們考慮

故分數階邊值問題(1)有解等價于算子方程Tu=u有不動點(這里只考慮0<β<1的情況)。

C[0,1]表示[0,1]上全體連續函數，其范數定義為

易知(X,‖·‖X)是Banach空間。

引理3[1]設X是一個Banach空間，U?X為非空有界凸子集，又設T:U→U是一個全連續算子，則T在U中有不動點。

2 主要結論及證明

則分數階2點邊值問題(1)至少有1個解。

證明：令

令U={u(t)|u(t)∈X,‖u‖≤d,t∈[0,1]},則U是有界閉凸子集。

因此,T是連續的。

接下來,我們證明T:U→U。對任意的u(t)∈U有

因此,T是U→U的。

因為

2t2(1-t)α-1,2t2(1-τ)α-1,tα,t2,τα,τ2,4t(1-t)α,4t(1-τ)α,2t,2τ,4(t-τ)-β在[0,1]上都是一致連續的, 所以算子T是等度連續的, 又有Tu∈U, 故一致有界。 因此T是全連續算子。則由不動點定理可知,分數階邊值問題(1)在U中至少有一個解。

[1]張曉娜,胡衛敏,邱中蔚.一類分數階微分方程兩點邊值問題解的存在性[J].伊犁師范學院學報:自然科學版,2012(1):5-9.

[2] Xu Xiaojie , Jiang Daqing , Yuan Chengjun . Multiple Positive Solutions for the Boundary Value Problem of a Nonlinear Fractional Differential Equation[J]. Nonlinear Analysis, 2009,71:4676-4688.

[3]Bai Z B, Lu H S. Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J]. J Math Anal Appl,2005,311:495-505.

[4]Su X W, Liu L D. Existence of Solution for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J].App1 Math Chinese Univ Se B,2007,22(3):291-298.

[5]Xu X,Jiang D, Yuan C. Multiple Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation[J].Nonlinear Analysis Series A:Theory,Methods and Applications, Nonlinear Analysis,2009,71:4676-4688.