基于諧波平衡法的雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性研究

賈尚帥， 孫 舒， 李明高

(1.唐山軌道客車有限責(zé)任公司 產(chǎn)品技術(shù)研究中心，河北 唐山 063035；2.河北聯(lián)合大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

壓電式結(jié)構(gòu)為常用發(fā)電結(jié)構(gòu)形式。目前研究的壓電發(fā)電系統(tǒng)多為線性，具有單一固有頻率。而實(shí)際環(huán)境振動(dòng)常為非周期、隨機(jī)、寬頻激勵(lì)。雙穩(wěn)態(tài)壓電系統(tǒng)在周期或隨機(jī)激勵(lì)下，可在低寬頻下產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)，為最可能實(shí)現(xiàn)利用振動(dòng)發(fā)電的結(jié)構(gòu)之一[1]。

Erturk等[2-3]將Moon與Holmes雙穩(wěn)態(tài)模型[4]用于壓電發(fā)電，通過(guò)實(shí)驗(yàn)及數(shù)值計(jì)算分析雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁響應(yīng)與輸出特性。Stanton等[5]通過(guò)對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電懸臂梁建模、數(shù)值計(jì)算及實(shí)驗(yàn)研究，獲得叉形分岔的對(duì)稱破缺、多吸引子共存、混沌、大幅運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象。Andò等[6]給出工作在雙穩(wěn)態(tài)下的MEMS設(shè)備分析模型。Arrieta等[7-9]對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電板進(jìn)行數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)具有寬頻帶的亞諧共振大振幅周期運(yùn)動(dòng)及混沌運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為雙穩(wěn)態(tài)板適用作壓電發(fā)電。文獻(xiàn)[10]在建立非線性磁力模型基礎(chǔ)上，建立雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁集中參數(shù)模型，并進(jìn)行數(shù)值分析、實(shí)驗(yàn)研究，獲得雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在低寬頻下能產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)及激勵(lì)參數(shù)與永久磁鐵間距對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)影響規(guī)律。

以上研究多集中于數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)，而數(shù)值方法只能獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為軌跡，并不能對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為本質(zhì)做出刻畫(huà)。本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上，利用諧波平衡法獲得系統(tǒng)頻響方程，研究不同參數(shù)下頻響特性及輸出特性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行驗(yàn)證。

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)模型

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)通過(guò)加入磁力實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)，將一塊永久磁鐵固定于懸臂梁自由端，磁鐵處于水平位置時(shí)其中心至梁根部距離為l，將另一塊磁鐵固定在距自由端d處，見(jiàn)圖1。由圖1看出，當(dāng)d足夠大時(shí)，兩磁鐵間無(wú)作用力，系統(tǒng)為線性；當(dāng)d縮小到一定程度時(shí)， 梁具有3個(gè)平衡點(diǎn)，其中2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)與1個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)模型

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程[10]為：

(1)

其中:

(2)

式中：m為梁與磁鐵等效質(zhì)量；c為機(jī)械阻尼系數(shù)；k為懸臂梁彈性常數(shù)；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率；MA，MB為磁鐵A，B磁化強(qiáng)度；F0為激勵(lì)幅值；RL為負(fù)載阻抗；Cp為壓電陶瓷等效電容；κv，κc為機(jī)械方程及電方程中機(jī)電耦合系數(shù)。

2 諧波平衡法求解

設(shè)式(1)的解為：

(3)

則：

(4)

將式(3)、(4)代入式(1)，常數(shù)項(xiàng)sin(Ωt)，cos(Ωt)系數(shù)為零，得：

(5)

(6)

2ζΩA1+γB2+f=0

(7)

ΩB2-μA2+?ΩB1=0

(8)

ΩA2+μB2+?ΩA1=0

(8)

由式(8)、(9)得：

(10)

(11)

將式(10)、(11)代入式(6)、(7)化簡(jiǎn)得：

ΓAA1=ΓBB1

(12)

-f=ΓBA1+ΓAB1

(13)

其中：

考慮式(12)、(13)得：

(14)

電壓幅值為：

(15)

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)功率為：

(16)

3 系統(tǒng)非線性特性分析

3.1 幅頻響應(yīng)

取參數(shù)值ζ=0.05，a=0.5，b=25，γ=0.05，μ=0.7，?=0.5，f=0.006。振幅r隨激勵(lì)頻率變化時(shí)頻率響應(yīng)曲線見(jiàn)圖2，其中虛線為不穩(wěn)定部分。激勵(lì)頻率由小變大時(shí)，在Ω=0.85向上跳躍；激勵(lì)頻率由大變小時(shí)，在Ω=0.78向下跳躍；即在0.78～0.85區(qū)間系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，為不穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)的解被吸引到高能量解時(shí)，系統(tǒng)輸出功率最大。分別分析磁化強(qiáng)度與負(fù)載阻抗對(duì)系統(tǒng)解影響。

由式(2)知，磁化強(qiáng)度MA，MB越大，非線性系數(shù)b值越大；負(fù)載阻抗RL越大，阻抗參數(shù)μ值越小。不同b，μ下幅頻曲線研究磁化強(qiáng)度與負(fù)載阻抗對(duì)響應(yīng)影響。b，μ取不同值時(shí)幅頻響應(yīng)曲線見(jiàn)圖3、圖4。由二圖看出，隨磁化強(qiáng)度MA，MB的增加，非線性系數(shù)b值增大，系統(tǒng)由低能量解跳到高能量解越不穩(wěn)定，而共振幅值先增加后減小；調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖2 幅頻響應(yīng)曲線

3.2 力幅響應(yīng)

取參數(shù)值ζ=0.05，a=0.5，b=25，γ=0.05，μ=0.7，?=0.5，Ω=0.77。力幅響應(yīng)曲線見(jiàn)圖5，其中虛線為不穩(wěn)定部分。激勵(lì)幅值由小變大，在f=0.012向上跳躍；激勵(lì)幅值由大變小，在f=0.006 4向下跳躍；即在0.006 4～0.012區(qū)間系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，為不穩(wěn)定區(qū)域。整體隨激勵(lì)幅值的增加，系統(tǒng)幅值逐漸增加，但增加幅度逐漸變小。b，μ不同值對(duì)應(yīng)力幅響應(yīng)曲線見(jiàn)圖6、圖7，隨非線性系數(shù)b的增加，出現(xiàn)高能量解對(duì)應(yīng)的激勵(lì)幅值變小，但響應(yīng)幅值亦變小；調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖5 力幅響應(yīng)曲線

3.3 輸出功率分析

由圖8、圖9看出，外加激勵(lì)頻率對(duì)功率影響與外加激勵(lì)對(duì)振幅r影響相似。隨非線性系數(shù)b的增大，不穩(wěn)定區(qū)域變大，功率先增加后減小；對(duì)不同阻抗參數(shù)值μ，功率幅值先增加后減小，調(diào)節(jié)磁化強(qiáng)度及負(fù)載阻抗，對(duì)應(yīng)非線性系數(shù)b與阻抗參數(shù)值μ隨之發(fā)生變化，使系統(tǒng)輸出功率最大。

圖10、圖11為力-功率響應(yīng)曲線，隨磁化強(qiáng)度MA，MB的增加，非線性系數(shù)b值增大，功率響應(yīng)變小，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的激勵(lì)幅值也變小；隨阻抗參數(shù)μ的增大，功率響應(yīng)幅值先增大后減小。

圖8 功率頻率響應(yīng)曲線

圖11 力功率響應(yīng)曲線

4 實(shí)驗(yàn)研究

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)原理見(jiàn)圖12。將雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁裝置固定在激振臺(tái)上，加速度傳感器貼在壓電懸臂梁自由端，利用激振控制器控制激勵(lì)信號(hào)輸出大小，用數(shù)據(jù)采集器采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

不同激勵(lì)幅值下系統(tǒng)輸出電壓頻率響應(yīng)曲線見(jiàn)圖13，圖中橫軸為激勵(lì)頻率，縱軸為輸出電壓有效值。隨激勵(lì)幅值的增加，系統(tǒng)輸出電壓逐漸增加，且增加幅度逐漸變小，與圖5力幅曲線趨勢(shì)相同。1條曲線在一段較寬頻率下系統(tǒng)輸出電壓較高，系統(tǒng)的解被吸引到高能量解時(shí)，系統(tǒng)輸出電壓也較高。

圖12 實(shí)驗(yàn)原理圖

不同頻率下輸出功率隨電阻變化曲線見(jiàn)圖14，隨頻率的增加，系統(tǒng)輸出功率不斷增加，頻率為14Hz時(shí)輸出功率最大；若繼續(xù)增加頻率，輸出功率反會(huì)降低。對(duì)同一條隨電阻變化功率曲線，存在的匹配電阻與激勵(lì)頻率無(wú)關(guān)，使輸出功率最大。

5 結(jié) 論

利用諧波平衡法、實(shí)驗(yàn)方法研究雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)響應(yīng)特性。結(jié)論如下：

(1) 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線存在跳躍、多解現(xiàn)象。隨非線性系數(shù)b的增加，不穩(wěn)定區(qū)域范圍增加，響應(yīng)幅值先增加后減小，調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

(2) 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)力幅響應(yīng)曲線存在跳躍、多解現(xiàn)象。隨非線性系數(shù)b的增加，響應(yīng)幅值變小，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的激勵(lì)幅值也變小，調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

(3) 通過(guò)調(diào)節(jié)磁化強(qiáng)度及負(fù)載阻抗可使系統(tǒng)輸出功率最大。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]杜小振,褚金奎,樸相鎬. 基于微型懸臂梁的發(fā)電機(jī)制探索[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2005, 16(增): 41-43.

DU Xiao-zhen, ZHU Jin-kui, PIAO Xiang-gao. Study on electricity generating mechamism of micro cantilever[J].China Mechanical Engineering,2005, 16(S): 41-43.

[2]Ertrurk A,Inman D J. Broadband piezoelectric power generation on high-energy orbits of the bistable duffing oscillator with electromechanical coupling[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(10): 2339-2353.

[3]Erturk A, Hoffmann J, Inman D J. A piezomagnetoelastic structure for broadband vibration energy harvesting[J]. Applied Physics Letters, 2009, 94: 254102.

[4]Moon F C,Holmes P J. A magnetoelastic strange attractor[J]. Journal of Sound and Vibration, 1979, 65: 275-296.

[5]Stanton S C, McGehee C C, Mann B P. Nonlinear dynamics for broadband energy harvesting: Investigation of a bistable piezoelectric inertial generator[J]. Physica D, 2010,239(10):640-653.

[6]And B,Baglio S, Trigona C, et al. Nonlinear mechnism in MEMS devices for energy harvesting applications[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2010, 20: 125020.

[7]Arrieta A F. Nonlinear dynamic response and modeling of a bistable composite plate for applications to adaptive structures[J]. Nonlinear Dynamics, 2009,58: 259-272.

[8]Arrieta A F, Hagedorn P, Erturk A,et al. A piezoelectric bistable plate for nonlinear broadband energy harvesting[J]. Applied Physics Letters, 2010, 97: 104102.

[9]Arrieta A F, Wagg D J, Neild S A. Dynamic snap-through for morphing of bi-stable composite plates[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2011,22: 103-112.

[10]孫 舒,曹樹(shù)謙. 雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模及分析[J]. 物理學(xué)報(bào), 2012, 60(21): 103-114.

SUN Shu, CAO Shu-qian. Dynamic modeling and analysis of a bistable piezoelectric cantilever power generation system[J]. Acta Phys. Sinica, 2012, 60(21): 103-114.