應(yīng)力波作用下彈性直桿動力分叉屈曲研究

毛柳偉, 王安穩(wěn), 鄧 磊， 韓大偉

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430033)

直桿在軸向沖擊下的動力屈曲問題已有大量研究。大多采用放大函數(shù)法[1]尋求任意初始缺陷發(fā)展最快時對應(yīng)的屈曲模態(tài)，亦稱最優(yōu)模態(tài)。經(jīng)典的放大函數(shù)法要求結(jié)構(gòu)具有某種初始缺陷，且假定屈曲發(fā)生時桿中各截面處于均勻的軸向受力狀態(tài)，對高速沖擊的桿局部動力屈曲該方法不再適用。直桿在高速沖擊載荷作用實(shí)驗(yàn)[2-5]表明，屈曲一般發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部，該現(xiàn)象的解釋需考慮應(yīng)力波效應(yīng)。文獻(xiàn)[6]認(rèn)為壓應(yīng)力波作用的結(jié)構(gòu)屈曲伴會隨應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中傳播或反射波與入射波疊加發(fā)生。文獻(xiàn)[7-8]認(rèn)為考慮應(yīng)力波效應(yīng)時結(jié)構(gòu)屈曲與應(yīng)力波傳播會耦合。文獻(xiàn)[9]對直桿動力屈曲研究認(rèn)為直桿橫向位移出現(xiàn)振蕩解向發(fā)散解的轉(zhuǎn)變標(biāo)志著屈曲開始，而在屈曲模態(tài)選取中卻采用隨時間放大最快的模態(tài)，該模態(tài)顯然非文中的屈曲開始時刻模態(tài)。文獻(xiàn)[10]將直桿橫向位移出現(xiàn)振蕩解向發(fā)散解轉(zhuǎn)變時刻記為臨界屈曲時刻，認(rèn)為在分叉的一瞬間，桿并未橫向慣性效應(yīng)。文獻(xiàn)[11]在受剛性質(zhì)量塊軸向撞擊桿動力屈曲分析中屈曲判斷準(zhǔn)則與文獻(xiàn)[10]相同，忽略了分叉瞬間桿的橫向慣性效應(yīng)，但在階躍載荷作用下桿的動力屈曲中卻記入橫向慣性影響。文獻(xiàn)[12]據(jù)能量率守恒原理獲得波前附加約束條件，用雙特征參數(shù)法求解壓應(yīng)力波作用下直桿動力屈曲問題，指出考慮慣性效應(yīng)所得臨界應(yīng)力值是忽略慣性效應(yīng)計(jì)算值的2.5倍。文獻(xiàn)[13]在對應(yīng)力波作用下直桿的動力屈曲研究中用臨界屈曲時間作為動力屈曲指標(biāo)，認(rèn)為動力屈曲中臨界屈曲時刻的角色與靜力失穩(wěn)中臨界失穩(wěn)載荷相當(dāng)。文獻(xiàn)[14]對考慮應(yīng)力波的直桿分叉屈曲的研究，計(jì)算中僅考慮階躍載荷。

動態(tài)加載包括階躍載荷與時變動載荷，兩種載荷作用下直桿動力屈曲尚無統(tǒng)一判別形式。本文分析表明屈曲模態(tài)中放大最快模態(tài)對應(yīng)的位移同時能滿足屈曲控制方程及附加約束條件[12]，可統(tǒng)一雙特征參數(shù)法與最優(yōu)模態(tài)法思想，并建立直桿動力屈曲求解的數(shù)值方法。該方法可用于時變動載荷作用并考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動力屈曲研究，且對階躍載荷及時變動載荷引起應(yīng)力波作用的屈曲問題具有統(tǒng)一屈曲判別形式。通過對實(shí)驗(yàn)計(jì)算對比說明，該方法準(zhǔn)確可靠。

1 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動力屈曲控制方程

圖1 壓應(yīng)力波作用下桿中軸向力(應(yīng)力波未反射)

(1)

或用能量率守恒原理[15]，得直桿屈曲控制方程為：

(2)

2 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動力屈曲準(zhǔn)則

式(1)、(2)為對同一問題的不同描述。用式(1)求解桿中壓應(yīng)力波為階躍載荷時，可得屈曲模態(tài)的解析形式，故便于求解；但對時變動載荷，如質(zhì)量塊撞擊引起桿中應(yīng)力波非均勻分布情況，用式(1)則不能求解。用式(2)求解時一般需設(shè)定屈曲模態(tài)，屈曲模態(tài)設(shè)定的形式會對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定影響。為克服此困難，本文在對彈性直桿在應(yīng)力波作用的動力分叉屈曲進(jìn)行分析、探討基礎(chǔ)上，統(tǒng)一雙特征參數(shù)理論與最優(yōu)模態(tài)法思想，采用有限元離散，建立求解時變動載荷作用、考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動力屈曲理論方法。

將直桿用兩節(jié)點(diǎn)Euler-Bernouli梁單元離散，單元的形函數(shù)為：

單元幾何剛度矩陣為：

彎曲剛度矩陣為：

一致質(zhì)量矩陣為：

其中：l0為單元長度；[C]=[A]′；[D]=[A]″。

按幾何非線性有限元理論，直桿動力屈曲控制方程可表述為：

(3)

式中：[M]為結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣；[K]，[Kσ]分別為結(jié)構(gòu)整體彎曲剛度矩陣及幾何剛度矩陣；{δ}為整體節(jié)點(diǎn)位移陣。

令整體節(jié)點(diǎn)位移陣為：

(4)

(5)

式(5)為壓應(yīng)力波作用下直桿發(fā)生動力分叉屈曲的特征方程。由式(4)可知λ>0時結(jié)構(gòu)存在發(fā)散解；若屈曲模態(tài)一定，特征參數(shù)λ將直接決定屈曲模態(tài)放大程度。λ為關(guān)于臨界屈曲長度l(l=ctcr)及軸向分布載荷的函數(shù)，臨界屈曲時載荷在桿中分布一般為已知，故λ為關(guān)于臨界屈曲長度的函數(shù)，令：

(6)

即可得一定外載作用下，結(jié)構(gòu)屈曲發(fā)展最快模態(tài)(即最優(yōu)模態(tài))對應(yīng)長度。

分離變量，將桿屈曲位移函數(shù)寫成：

w(x,t)=Y(x)T(t)

(7)

其中：Y(x)為屈曲模態(tài)；T(t)為時間函數(shù)。

將式(7)代入式(2)，分離變量，得：

(8)

3 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動力屈曲求解

為驗(yàn)證本文理論的正確性，對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算(計(jì)算時逐漸增加應(yīng)力波傳播長度，每一長度可得一個數(shù)組，取該數(shù)組中最大值，若該值大于零時對其開方得對應(yīng)該長度的λ，否則對其絕對值開方，開方所得值的負(fù)數(shù)即為對應(yīng)該長度的λ，由此所得λ能反映結(jié)構(gòu)屈曲時模態(tài)放大程度)。

3.1 算例1

文獻(xiàn)[11]中用空氣動力槍加載，分別對撞擊端為夾支與簡支約束試件進(jìn)行軸向沖擊實(shí)驗(yàn)。試件用45號鋼，彈性模量E=201 GPa，屈服極限σs=417 MPa，材料密度ρ=7 890 kg/m3，長度L=460 mm。矩形截面：h=5 mm，b=10 mm。桿在應(yīng)力波反射前發(fā)生屈曲，應(yīng)力波在桿中傳播過程可用階躍載荷表示：

(9)

圖2 撞擊端夾支試件特征值λ與長度l關(guān)系

為便于對比，引入無量綱量：

(10)

由表1知兩端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為4；一端簡支，一端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為2。與相應(yīng)長度直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)吻合良好。由于撞擊端固支下一階臨界力參數(shù)為8.92[11],撞擊端簡支情況下一階臨界力參數(shù)為5.09。而理論計(jì)算[12]得撞擊端固支、簡支下一階臨界力參數(shù)分別為10、5，相應(yīng)的動力特征參數(shù)分別為3、2；撞擊端簡支情況下二階臨界力參數(shù)為13，相應(yīng)的動力特征參數(shù)為6。對比可知，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)吻合較好。由圖2、圖4看出，沖擊載荷越大，臨界屈曲長度越小。

表1 試件1～6臨界力參數(shù)及動力特征參數(shù)值

3.2 算例2

由文獻(xiàn)[2]，矩形截面細(xì)長直桿一端固定、一端被一質(zhì)量M=0.369 kg的剛性體以v0=6.3 m/s速度撞擊，據(jù)實(shí)驗(yàn)裝置直桿撞擊端為簡支。試件(記試件7)為Ni-Cr鋼，截面尺寸b=8.7 mm，h=0.63 mm，彈性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 778 kg/m3，σs=310 MPa。桿在應(yīng)力波反射前發(fā)生屈曲，應(yīng)力波在桿中傳播過程可表示為[9]：

(11)

經(jīng)計(jì)算，λ與l關(guān)系見圖6。由圖6看出：l=0.023 5 m時λ=0，該點(diǎn)與相應(yīng)長度直桿靜力失穩(wěn)狀態(tài)對應(yīng)；一階最優(yōu)屈曲模態(tài)對應(yīng)的臨界長度為0.036 5 m；二階最優(yōu)模態(tài)對應(yīng)的臨界長度為0.059 m；三階最優(yōu)模態(tài)對應(yīng)的臨界長度為0.081 5 m。

圖5 試件4一、二階屈曲模態(tài)

試件7前三階屈曲模態(tài)計(jì)算結(jié)果見圖7。整理圖6中數(shù)據(jù)，記σ=ρcv0，代入式(10)計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 試件7臨界力參數(shù)及動力特征參數(shù)值

由表2可知一端簡支、一端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為2，與相應(yīng)長度直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)吻合良好。而文獻(xiàn)[11]中該臨界力參數(shù)為5.09，文獻(xiàn)[12]中理論計(jì)算撞擊端簡支一、二、三階臨界力參數(shù)分別為5、13、25，動力特征參數(shù)分別為2、6、12。經(jīng)對比可看出本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11-12]結(jié)果吻合較好。

4 結(jié) 論

(2) 經(jīng)與有關(guān)文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較表明，該方法準(zhǔn)確可靠，可用于時變動載荷及階躍載荷時考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動力屈曲研究。

參 考 文 獻(xiàn)

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