電壓激勵的壓電層合懸臂梁橫向振動分析

葉文強，薛春霞

(中北大學 理學院，太原 030051)

壓電陶瓷的逆壓電效應可以將電能轉化為機械能，利用這一原理設計的壓電驅動器具有結構緊湊、響應快、輸出力大、無電磁干擾等特點。以壓電陶瓷-金屬-壓電陶瓷層合結構組成的雙晶彎曲驅動器具有輸出位移量大、承載力高，且斷裂韌性高，不易損壞等優點，因此其得到了廣泛的應用。目前國內外對壓電驅動器進行了大量的研究，在考慮壓電驅動器的非線性方面，Richter等[1]研究了強電作用下的非線性壓電效應，李鳳明等[2]分析了非線性阻尼對參數激勵壓電梁的振動穩定性的影響。更多的學者是對壓電驅動器的振動控制的研究，Gaudenzi等[3]建立表面雙側對稱布置壓電陶瓷驅動器與傳感器的懸臂梁有限元模型，采用模態控制法對梁的前兩階振動進行主動控制研究；董興建等[4]由Hamilton變分原理建立壓電層合梁的有限元模型，基于魯棒極點配置算法對降階后的低階系統設計狀態反饋，實現對原系統的主動控制；Kapuria等[5]基于電勢的二次變分的layerwise理論建立梁的有限元模型實現對智能梁的主動控制；Kumar等[6]由Euler-Bernoulli 梁理論建立壓電梁的有限元模型，使用LQR控制模型對柔性梁上的壓電陶瓷驅動器與傳感器進行優化配置。此外有學者對壓電驅動元件的驅動性能及局部應變機理進行了研究，丁根芳等[7]借助Hamilton原理建立了壓電層合結構的有限元方程，分析了在三種邊界條件下不同幾何參數和載荷參數對梁驅動和傳感性能的影響；杜立群等[8]提出了考慮粘貼層影響的智能結構梁分布力模型，得到了應變分布假設對壓電驅動器驅動性能影響的規律；吳義鵬等[9]研究了壓電驅動元件局部應變的機理,驗證了局部應變效應的存在。

鑒于目前尚未有文獻涉及由電壓激勵的雙晶驅動器的橫向振動響應，本文通過假設等截面對稱層合懸臂梁的振動位移函數，運用能量法寫出了該結構在電場激勵下的動力學振動方程，然后進行了振動響應分析，與ANSYS軟件仿真結果的對比，說明了本文結論的可行性與有效性，在此基礎上分析了阻尼比對振動響應的影響及振動時系統最大應力的變化規律。所得結論對工程實際有一定的理論參考意義。

1 建立壓電層疊懸臂梁的橫向振動微分方程

本文研究的對象是基體材料上下表面均粘有壓電層的等截面彈性懸臂梁( 如圖1所示)。基體材料45#鋼的幾何參數：長l寬w厚hm；壓電層幾何參數：壓電陶瓷長l寬w厚hp，即壓電層鋪滿鋼梁表面。梁的上層壓電片沿z軸正向垂直極化, 下層壓電片沿z軸反向垂直極化。假設沿z軸負方向施加變化的激振電場E3，則由于壓電效應壓電層疊懸臂梁做橫向強迫振動。

上層壓電層的壓電方程[10]為：

(1)

下層壓電層的壓電方程為：

(2)

圖1 壓電層合懸臂梁模型

用z(x,t)表示坐標為x的截面中性軸在t時刻的橫向位移，假設：

(3)

(4)

將式(3)代入到式(4)，化簡后得到動能：

(5)

式中:

i,j=1,2,…,n

(6)

上下兩層壓電片總的應變能(包括彈性勢能和電場能)為Up(t)，其表達式為：

Up(t)=Up1(t)+Up2(t)

(7)

(8)

(9)

式中:Up1(t)、Up2(t)分別表示上下兩層壓電片的應變能，V1、V2分別表示上下兩層壓電片的體積。為求Up1(t)，在上層壓電片取一微小體積dV為研究對象。結合式(1)則在該微小體積上有

(10)

在壓電層合懸臂梁橫向彎曲時有：

(11)

其中：z為到中性層的z向距離，R為橫向彎曲時的曲率半徑，曲率k為：

(12)

將式(11)代入式(1)第二個方程并變形得到：

(13)

由式(8)～(13)可得到：

(14)

同理可以求得Up2(t)

(15)

可知Up1(t)=Up2(t)，將式(14)、式(15)代入式(7)，得到：

(16)

由式(6)、式(16)得到壓電層合懸臂梁總的應變能U(t)為

U(t)=Up(t)+Um(t)=

(17)

將式(3)代入式(17)，得到：

(18)

其中:

當在壓電層極化表面施加交變電壓V(t)=hpE3時，則壓電層合懸臂梁上形成變化的電場E3，由于壓電效應，梁會發生彎曲變形產生彎矩Me(t)[11]：

Me(t)=c·V(t)

(19)

其中Ep為壓電陶瓷的楊氏模量，

(20)

根據拉格朗日方程：

(21)

由式(5)、(18)得到拉格朗日函數L=T-U，得到：

(22)

(23)

求解微分方程組，在得到qi(t),i=1,2,…,n后，由式(3)即可得到壓電梁上任一點在t時刻的橫向位移z(x,t)，橫向速度zt(x,t)，橫向加速度ztt(x,t)。

2 算例仿真及分析

取滿足懸臂梁邊界條件的振型函數為：

φi(x)=-cosβix+coshβix-

i=1,2,…,n

取方程的cosβlcoshβl=-1前三個根為β1l=1.875,β2l=4.694,β3l=7.855。本文的壓電陶瓷用PZT-5H ,基體材料選用45#鋼，它們參數[10]如表1。

2.1 模態分析

為研究壓電懸臂梁的橫向固有頻率與長度的關系，探討本文理論的適用范圍，現對不同長度下的梁進行模態分析。當進行模態分析時，壓電層合懸臂梁的自由振動微分方程為：

(24)

表1 PZT-5H 與基體材料參數

本文采用ANSYS 12.0對壓電層合懸臂梁進行建模與仿真，由模態分析得出梁橫向彎曲振動下的固有頻率及振型。壓電分析是一種結構-電場耦合分析，而ANSYS有限元軟件具有強大的耦合場分析功能。壓電分析中可使用的耦合單元有SOLID5、PLANE13和SOLID98單元。 本文選用SOLID5單元進行壓電耦合場分析，SOLID5是八節點六面體單元，每個節點有六個自由度，在分析時忽略溫度和磁場自由度。基體材料選用SOLID45單元，壓電陶瓷與基體之間采用粘接處理，用映射方法劃分網格，在施加約束后，用Block Lanczos法進行模態分析,該模態方法計算精度高，而且在有限元模型中允許有質量較差的實體單元，因此在工程中常用來提取具有對稱特征的大模型的多階模態。

誤差原因分析：ANSYS軟件基于有限元理論考慮了表層面外剪切及內應力對結果的影響，而本文理論計算進行了相應簡化。前3階橫向彎曲固有頻率計算值fr和仿真值fa的最大誤差只有2.7%，橫向彎曲固有頻率計算值與通過有限元分析值基本吻合，初步說明了本文理論的可靠性。

表2 前3階橫向彎曲固有頻率對比結果

從表2知，當長度l取某一定值時，激發高階振動的能量減弱，且高階振動的節點數多，振動不容易被激發，所以基頻值最小。當長度l逐漸增加時，各階固有頻率相應的減小。當長度增加時，基頻相對誤差也逐漸減小，而且第二、三階橫向固有頻率的相對誤差不超過1 %，表明本文理論對細長梁更精確。

2.2 響應分析

2.2.1 諧響應分析

在模態分析的基礎上對hm=0.2 mm、hp=1 mm、w=5 mm、l=98 mm的壓電層合懸臂梁采用完全法進行ANSYS諧響應仿真分析。取材料阻尼比ζ=0.01，相應的比例阻尼系數α0=10、α1=4.7×10-6，在壓電材料表面施加220 V的正弦電壓作為激勵載荷，在70 Hz到120 Hz激勵頻率范圍內取50個子載荷步，采用Sparse solver求解器進行求解，得到壓電層合懸臂梁關于基頻的幅頻曲線和相頻曲線，將其與本文理論得到的幅頻曲線和相頻曲線進行對比，結果分別如圖2(a)、2(b)所示。

圖2 幅頻曲線和相頻曲線

通過圖2知，由ANSYS仿真得到的幅頻曲線和相頻曲線與本文得到的的曲線幾乎完全重合，進一步驗證了本文得到的由電壓激勵的強迫振動微分方程是可靠與有效的。當電壓頻率為遠小于基頻91 Hz時，壓電懸臂梁橫向振幅很小，橫向位移與激振電壓在相位上幾乎相同；當電壓頻率即將等于基頻時，梁的橫向振幅急劇增加，橫向位移比激振電壓在相位上滯后90°，即達到共振狀態；隨著激勵電壓的頻率繼續增大，離開共振區的梁的橫向振幅迅速減小，此時橫向位移比激振電壓在相位上滯后180°。當達到共振狀態時，結構的位移響應幅值急劇增加，但并未出現無限放大現象，因為考慮了阻尼耗能性能，對響應峰值具有抑制作用。故阻尼設置能較好地抑制結構的振動響應。

2.2.2 阻尼對橫向位移的響應分析

為了分析阻尼對橫向振動位移的影響，在壓電材料表面施加220 V的不同頻率的激勵電壓，得到了不同阻尼比下的壓電懸臂梁自由端橫向位移的時程曲線，如圖3所示。

圖3(a)表示激勵電壓的頻率遠小于共振頻率時，雖然有阻尼的橫向位移比無阻尼時小些，此時梁的橫向位移很小，阻尼的大小對位移的抑制作用并不明顯；圖3(b)表示激勵電壓的頻率接近共振頻率時，無阻尼時梁的橫向位移時程曲線出現拍的現象，且持續存在，ζ=0.01時，在初始時間段，也出現了拍的現象，但拍的振幅逐漸減小并消失，過渡到穩定振動狀態，ζ=0.1時，壓電梁并未出現拍的現象，其橫向位移逐漸增加，一直到位移振幅不變，振動頻率等于激勵頻率的穩定振動狀態。表明阻尼的大小對拍的形成及持續時間有一定的影響；圖3(c)表示共振時，無阻尼的橫向位移隨時間無限增加，有阻尼時壓電梁的橫向位移也是逐漸增加，最后到穩態振動狀態。表明阻尼大小對橫向位移的抑制作用非常明顯，阻尼越大，穩態時的響應幅值越小。

2.2.3 速度、加速度及應力的響應分析

用ANSYS對壓電層合懸臂梁進行瞬態響應分析，采用完全法，仍取材料阻尼比ζ=0.01，壓電層表面施加220 V頻率為30 Hz的正弦激勵電壓，載荷按照躍階方式施加，每個載荷步0.001 67 s,共300個載荷步，得到壓電層合懸臂梁自由端橫向速度、橫向加速度及梁內最大應力在0.5 s內的時程曲線如圖4(a)～(c)，圖4(d)表示壓電梁振動時最大應力出現的位置。

圖3 阻尼對梁橫向振動的影響

由圖4(a)、4(b)可知，橫向速度與橫向加速度的時程曲線在前0.4 s內很不規則，但總體上其振幅是逐漸減小并趨于平穩。因為該時間段為強迫振動的過渡階段，在該階段梁的振動比較復雜，是無激勵時的自由振動、有激勵的自由伴隨振動和穩態強迫振動三種振動形式的疊加，由于阻尼的存在，自由振動及自由伴隨振動的振幅都要隨時間進行衰減，直至完全消失，最后只剩下穩態振動。在0.4 s到0.5s的穩態振動階段，速度和加速度的時程曲線為振幅不變的簡諧曲線，其振動頻率為電壓的激勵頻率。

壓電懸臂梁在做強迫振動時，其最大應力位置出現在靠近固定端的壓電陶瓷與基體材料的粘接處，如圖4(d)所示，由于截面的變化及材料的屬性不同，靠近根部的粘接層往往會出現應力集中。圖4(c)為最大應力處節點10 747的von misers應力時程曲線，一個振動周期內，最大應力出現2次，最大應力接近20 MPa，最小應力接近0.4 MPa。梁橫向位移越大，內部應力值越大，梁在平衡位置時，應力最小。因此在進行壓電振子的設計時應重點考慮減小根部粘接位置處的應力集中，及共振時的應力值，以防止內應力過大造成壓電振子的損壞。

圖4 速度、加速度、最大von misers應力曲線及最大應力位置圖

3 結 論

本文對簡諧電壓激勵下壓電層合懸臂梁的橫向振動進行了分析，結論如下：

(1) 由能量法得到了等截面壓電層合懸臂梁在激振電壓下的橫向強迫振動微分方程，經模態分析及諧響應分析，將本文方法所得結果與ANSYS仿真結果對比，說明了本文得到的動力學方程的有效性。

(2) 當激勵電壓的頻率等于壓電梁的固有頻率時，達到共振狀態，梁的橫向振幅急劇增加，橫向位移比激振電壓在相位上滯后90°。

(3) 阻尼的大小對拍的形成及持續時間有一定的影響；且阻尼對橫向位移的抑制作用非常明顯，阻尼越大，穩態時的響應幅值越小。

(4) 振動時最大應力位置出現在靠近固定端的壓電陶瓷與基體材料的粘接處，梁橫向位移越大，應力值越大，共振時應力值最大。

本文所得結論為研究周期電壓激勵及隨機電壓激勵下的壓電懸臂梁的響應問題及研究壓電振子的優化、安全設計提供一定的理論參考。

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