考慮基底層阻尼的自由阻尼結構損耗因子修正公式

吳晴晴，王敏慶

(西北工業大學 航海學院，西安 710072)

自由阻尼結構通常是在金屬類剛性較大的結構上敷設一層起到阻尼作用的材料(粘彈材料為主)，這類結構被廣泛應用在機艙壁、艇殼以及汽車薄壁和管道等結構中，用以提高結構的阻尼性能。自由阻尼結構是最簡單的附加阻尼結構，由基底層和阻尼層兩層結構構成。

經典的附加阻尼理論包括復剛度法及變形能法[1-5]。Oberst等[1]首先提出當自由阻尼結構簡諧振動時，其彎曲剛度可被視為復數，虛部與實部之比就是結構的損耗因子。Kerwin和Ungar等[2-5]將復剛度理論推廣到夾芯阻尼結構并提出能量概念，在振動為無衰減的簡諧振動假設下，利用復剛度法和應變能法得到夾芯阻尼結構的損耗因子公式。遺憾的是，經典阻尼理論的損耗因子公式中都忽略了基底層的阻尼。而后，臧獻國等[6,11]將應變能法應用到自由阻尼結構的厚度優化上，Sainsbury等[7]應用變形能法計算自由阻尼圓柱殼的阻尼，Lepoittevin等[8]則利用變形能與模態數據對約束阻尼結構進行優化設計。基于復剛度法的復模量測試及理論研究也在不斷深入。

隨著阻尼技術的發展，金屬基阻尼合金、纖維增強型復合材料等新型材料被研制開發出來，這類材料不僅能具有良好的力學特性，本身也具有一定的阻尼減振能力。如阻尼合金BaTiO3/Al[9]、Mg-10Gd-6Y-xZn-0.6Zr[12]在低頻時的損耗因子能達到0.02以上，武海鵬等[13]研究的玻璃纖維復合材料的損耗因子在0.01以上，洪暄清等[14]研究的纖維增強改性阻尼材料其損耗因子則可以高達0.1以上。若在此類新型復合材料上敷設粘彈阻尼材料，作為基底層的新型材料本身的阻尼特性不可忽略，經典的自由阻尼結構損耗因子公式不再適用。因此有必要針對基底阻尼較大的自由阻尼結構開展阻尼理論研究，對以往的結構損耗因子公式進行修正。

1 理論模型

1.1 變形能法損耗因子修正公式

根據變形能理論，自由阻尼結構的結構損耗因子為:

(1)

圖1 自由阻尼結構截面圖

圖2 自由阻尼結構受力分析

(2)

設x處的角位移θ*(x)簡諧變化，即

θ*(x)=θ*coskx

(3)

(4)

(5)

(6)

用αn表示各耗能子結構的拉伸損耗因子，βn表示各耗能子結構的剪切損耗因子，則

(7)

(8)

(9)

只考慮彎曲振動，結構單位長度的變形能包括三部分：拉伸變形能、彎曲變形能、剪切變形能。由于應變是關于位置x的函數，所以沿著軸向方向的變形能是不相等的，在全波長上的能量也是不同的。通常計算損耗因子需要在一定尺度內平均，將單位長度的能量在全波長λ=2π/k上積分并除以波長，就得到能量密度平均值，繼而根據能量表達式求得損耗因子。

簡諧振動情形下，拉伸變形能的能量密度可表示成

(10)

彎曲變形能的能量密度為

(11)

剪切變形能的能量密度為

(12)

根據損耗因子應變能公式，任意附加結構的結構損耗因子就可以用如下公式表示

(13)

式中:N表示系統有N個子結構，l表示有l個子結構耗損拉伸、彎曲變形能，m表示有m個子結構耗損剪切變形能。

進一步有

(15)

由力學關系可知彎曲剛度的實部與拉伸剛度的實部有如下

(16)

其中:rn是子結構n的中性面到原點的距離。

對于均勻梁板類結構，有如下幾何關系

(17)

(18)

將上述幾何關系代入式(15)可得:

(19)

經過化簡并略去高階小量，可最終得到考慮基底阻尼的自由阻尼結構損耗因子公式

(20)

式中:α1為基底層材料的拉伸損耗因子；α2為阻尼層材料的拉伸損耗因子。

實踐中阻尼材料的拉伸損耗因子和剪切損耗因子非常接近，即阻尼層α2≈β，若忽略基底層阻尼，即α1=0，此時就能得到著名的自由阻尼結構損耗因子公式[4, 10]

(21)

1.2 復剛度法損耗因子修正公式

根據復剛度定義，將結構的復彎曲剛度表示為B*=B(1+iη)，η為結構損耗因子。

考慮自由阻尼結構的拉伸變形，根據經典復剛度法可得自由阻尼結構總的復彎曲剛度與基底層復彎曲剛度有如下比值關系[10]

(22)

從上式可以看出，復剛度比值與阻尼層、基底層的厚度比h及復楊氏模量比e*有關。

定義α1為基底層的材料損耗因子，α2為阻尼層的材料損耗因子，則式(22)變為

(23)

為方便計算，將復楊氏模量比e*表示為

(24)

將式(24)代入式(23)，取左右兩邊的實部和虛部分別相等，可得

(25)

(26)

由上式可得結構損耗因子修正公式

(27)

(28)

求出結構損耗因子η后，代入式(25)就能求得自由阻尼結構總的彎曲剛度。

2 分析討論

2.1 兩種修正公式對比

上述自由阻尼結構的兩種理論都只考慮結構的彎曲振動，且假設角位移、軸向位移、剪切變形等均為簡諧變化。在分析中均忽略了振動中的剪切變形，復剛度法只考慮了阻尼層和基底層的拉伸變形，而變形能法除此之外還考慮了各層結構的彎曲變形。比較變形能法的損耗因子修正公式(20)和復剛度法的損耗因子修正公式(27)，可以看出變形能法的修正公式更為簡潔，更方便工程應用，而計算組合結構的總彎曲剛度時則可以利用復剛度法得到的修正公式(25)。

取自由阻尼結構基底層和阻尼層的材料損耗因子分別為α1=0.01,α2=0.5，阻尼層與基底層的楊氏模量比為e=10-3，利用復剛度法與變形能法的修正公式計算結構損耗因子，隨厚度比變化的曲線如圖3所示。

由仿真結果可見，復剛度法和變形能法修正公式所得的結構損耗因子曲線幾乎重合，這說明在自由阻尼結構振動中，起耗能主導作用的是拉伸變形，彎曲變形和剪切變形均可忽略不計。分析二者的求解公式也知，復剛度法只比變形能法多出一些高階小項，仿真結果說明這些高階項影響不大，可忽略不計，所以兩種方法的求解結果始終一致。

2.2 修正公式適用范圍

取自由阻尼結構阻尼層的材料損耗因子為α2=0.5，阻尼層與基底層的楊氏模量比分別為e=10-3、e=10-4、e=10-5，利用變形能法修正公式(20)求解考慮基底阻尼情況下的結構損耗因子，利用經典公式(21)求解忽略基底阻尼情形下的結構損耗因子，當基底阻尼分別取為α1=0.001、α1=0.01時，對應的結構損耗因子仿真曲線分別如圖4(a)、(b)所示，修正前后損耗因子的相對誤差如圖5(a)、(b)所示。

由仿真可以看出，當基底層阻尼較小時(α1<0.01)，對于厚度比大于1的自由阻尼結構，基底層阻尼可以忽略不計。但若基底層的材料阻尼很大(α1≥0.01)，在阻尼層與基底層的厚度比h較小時，忽略基底層阻尼將導致自由阻尼結構的損耗因子計算值偏小，引起很大的誤差，且模量比e越小，基底層阻尼的影響越顯著。此時應考慮基底層阻尼，必須應用損耗因子修正公式，修正公式對于一般的自由阻尼結構阻尼計算均適用。

圖3 兩種修正公式得到的結構損耗因子曲線對比

圖5 修正前后結構損耗因子的相對誤差

3 仿真驗證

利用ANSYS軟件建立1.2 m×1.0 m自由阻尼矩形板的實體模型，各層的具體材料參數見表1，其中基底層材料有兩種設置：鋼材質和玻璃鋼材質。阻尼層材料的阻尼參數有兩種設置：損耗因子為定值0.5；動態阻尼特性如圖6所示。進行諧響應分析后，提取輸入功率以及自由阻尼結構各層的變形能，利用輸入功率法和變形能法得到的計算結果對損耗因子修正公式進行仿真驗證。修正公式解析解與有限元數值解的仿真對比如圖7、8所示。

表1 自由阻尼結構各層材料參數

圖7 基底層材質為鋼的自由阻尼結構損耗因子曲線(α1=0.005)

由仿真與理論公式計算結果對比可以看出，無論是基底阻尼較小的鋼還是基底阻尼較大的玻璃鋼材料，變形能法修正公式的解析解均與有限元變形能法的數值解相吻合，相對誤差不超過10%。由于輸入點的振動響應隨頻率變化且略高于平均速度，輸入功率法求得的有限元數值解高于變形能法的數值解，且隨頻率波動，但兩種方法得到的損耗因子曲線趨勢完全相同。

4 結 論

本文針對基底層阻尼較大的自由阻尼結構開展了阻尼理論研究。不同于經典阻尼公式，在應力分析中考慮了基底層的應變，而后分別利用變形能理論和復剛度理論推導得到修正的損耗因子公式。為了驗證修正公式的正確性，利用ANSYS軟件建立自由阻尼矩形板的實體模型并進行諧響應分析，分別利用變形能法和輸入率法求得結構損耗因子的數值解。

通過兩種修正公式的解析解與有限元數值解的對比，得出以下結論：

(1) 對于基底層材料損耗因子大于0.01的自由阻尼結構，在阻尼層與基層厚度比較小時忽略基底阻尼會導致組合結構的阻尼計算偏小，需要利用修正公式進行阻尼計算。

(2) 分析自由阻尼結構振動時，變形能法同時考慮了兩層結構的拉伸變形和彎曲變形，復剛度法只考慮了拉伸變形，但兩種損耗因子修正公式的解析解完全吻合，這說明自由阻尼結構的彎曲振動中起耗能主導作用的是拉伸變形，彎曲變形和剪切變形均可忽略不計。變形能法的損耗因子修正公式更為簡潔明了，更方便工程應用。

(3) 無論阻尼層材料的阻尼為常值或呈現動態特性，對于基底材料不同的自由阻尼結構，修正公式的解析解與兩種有限元數值解均一致，這證明了變形能法損耗因子修正公式是正確的，可用于一般基底層的自由阻尼結構計算。

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