不滿足A-R條件的雙調和方程無窮多解的存在性

謝 華 朝

(河南財經政法大學 數學與信息科學學院, 鄭州 450056)

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不滿足A-R條件的雙調和方程無窮多解的存在性

謝 華 朝*

(河南財經政法大學 數學與信息科學學院, 鄭州 450056)

在有界光滑區域Ω?RN(N>4)上, 研究了雙調和方程Δ2u-λu=f(x,u),x∈Ω;u=?u/?n=0,x∈?Ω,其中,f(x,u)是關于u的奇函數,u趨于無窮時是次臨界的,并且不滿足A-R條件.利用對稱的山路引理,證明上面的方程有無窮多解且相應的臨界值序列趨于正無窮大.

雙調和方程; 無窮多解; A-R條件

1主要結果

本文主要研究如下雙調和方程無窮多解的存在性:

Δ2u-λu=f(x,u),x∈Ω;

u=?u/?n=0,x∈?Ω,

(1)

其中,λ是實數,Ω是RN(N>4)中包含零點的有界開區域且有光滑的邊界?Ω. ?u/?n指外法向導數.非線性項f(x,u) 滿足下面的條件.

(f4)f(x,u)是關于u的奇函數.

雙調和方程可以描述靜態形式的光束變化或剛體的運動 (參見文獻 [1]). 利用變分方法, 許多學者研究了在第一或第二邊值條件下的非線性雙調和方程. 文獻[2]在有界光滑區域Ω中討論了方程

Δ2u=λ|u|q-2u+|u|2*-2u,

(2)

其中,10;當x∈?Ω時,u=?u/?n=0或u=Δu=0.利用虧格理論和Ljusternik-Schnirelmann方法, 證明了存在正常數λ0, 使得對任意的 0<λ<λ0, 方程(2)有無窮多解. 如果(2) 中的q=2 且λ≥0, 在一些特殊的區域, 文獻 [3] 證明了方程解的存在性. 同時得到在球內, 正解是不存在的. 對于方程(1), 很多文獻要求f(x,t) 滿足A-R條件: 存在θ>p,對于任意的x∈Ω,

(3)

文獻 [4-6]中,有許多有趣的結論.

定理1如果f(x,u)滿足條件(f1)～(f4), 那么方程(1) 有無窮多解, 并且相應的臨界值序列趨于正無窮.

2預備引理

引理1由條件 (f1) 知, 對任意的ε>0, 存在正數Cε>0, 使得

F(x,u)≤ε|u|2*+Cε,(x,u)∈Ω×R.

(4)

由 (f2) 知, 當u→0 時,F(x,u)=o(up). 存在θ>0 和M>0, 對任意的|u|≥M, 有

F(x,u)≥C|u|2+θ,f(x,u)u>0.

(5)

用反證法可得下面的引理2.

I(un)→c,I′(un)→0,

(6)

Sνj2/2*≤μj,

其中,δxj是xj點的Dirac測度.

證明令任意的ε>0 充分小, 使得當i≠j時,Bε(xi)∩Bε(xj)=φ. 定義在 [0,+∞) 上的光滑截斷函數ρ(t)滿足0≤ρ(t)≤1. 當 0≤t≤1/2 時,ρ(t)≡1;當t≥1 時,ρ(t)=0. 記φj(x)=ρ(|x-xj|/ε), 則當|x-xj|<ε/2時,φj(x)≡1; 當|x-xj|≥ε時,φj(x)≡0. 更進一步, |φj|≤C/ε, |Δφj|≤C/ε2. 因此

(7)

〈I′(un),unφj〉=∫|Δun|2φj+

2∫Δununφj+∫unΔunΔφj-

(8)

直接計算得

(9)

(10)

‖Δφj‖LN/2(Bε(xj))≤

利用(f1)和(9)式可得

由上面的估計,(8)式化為

(11)

因此, 對于任意的j∈J,μj=0. 所以J是有限集.

∫|φu|2*dx.

(12)

結合φun→φu得, 在L2*(Ωε)中,un→u;在L2N/(N-2)(Ωε)中,un→u.

由Lebesgue分解定理知

dμ=|Δu|2+dσ,

(13)

用標準的證法可得該引理.

3無窮多解的存在性

本節利用對稱的山路引理, 證明定理 1.

引理6[8]假設泛函I滿足下面的條件:

3) 對于j=1,2,…, 存在有限維子空間序列{Xj}, d(Xj)=j和常數rj>0. 若對任意的u∈XjBrj,有I(u)≤0, 則I有無窮多不同的臨界點, 且相應的臨界值是正的.

∫ΩF(x,u)dx≥

(14)

由于k→+∞時,λk→+∞, 取k0>0,使得 1/4-|λ|/(2λk+1)≥1/8, 且當k>k0時,k2>16C1. 因此

(15)

另一方面, 有限維空間Xk上的范數是等價的, 取R>max{M,[(1+|λ|)/C2]1/θ,k}, 則對任意的u∈XkBR, 結合(5)式得

I(u)≤(1+|λ|)‖u‖2-

C2∫{x∈Ω:|u|>M}|u|2+θdx-C′≤

(1+|λ|-C2‖u‖θ)‖u‖2-C′≤0.

由引理6知I有無窮多不同的臨界值.

若不存在映射φ, 則γ(A)=+∞; 若A=Φ, 則γ(A)=0. 記

注1在定理1相同的條件下, 同樣可以證明帶Nevier邊值條件的雙調和方程:

Δ2u-λu=f(x,u),x∈Ω;

u=Δu=0,x∈?Ω

注2上面方程中如果f(x,u)=|u|q-2u+|u|r-2u(2

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Infinitely many solutions for biharmonic equation without A-R condition

XIE Huazhao

(Department of Mathematics, Henan University of Economics and Law, Zhengzhou 450056)

In this paper， we have studied the following biharmonic problem on a smooth domain Ω?RN(N>4):Δ2u-λu=f(x，u)，x∈Ω;u=?u/?n=0，x∈?Ω，where the nonlinearityf(x，u) is odd symmetric with respect tou， has subcritical growth at infinity and does not satisfy A-R condition. Using symmetric mountain pass theorem， we prove that the above problem has infinitely many solutions， and the corresponding critical values approach to positive infinity．

biharmonic equation; infinitely many solutions; A-R condition

2014-01-10.

國家自然科學基金項目(11326136); 河南省自然科學基金項目(14B110033).

1000-1190(2014)04-0461-04

O29

A

*E-mail: hzh-xie@126.com.