具有多重耦合的多維牛頓滲流方程組的臨界曲線

溫 凱，周海花

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

具有多重耦合的多維牛頓滲流方程組的臨界曲線

溫 凱，周海花

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

討論RN中單位球外區(qū)域上多重耦合的牛頓滲流方程組。主要討論這個問題解的長時間行為，尤其是可以描述方程解的長時間行為的臨界曲線。主要結(jié)論是，在一定條件下，所考慮問題的整體存在臨界曲線與Fujita曲線是重合的。

牛頓滲流方程；整體存在性；爆破；臨界曲線

0 引言

本文在RN中單位球外區(qū)域討論多重耦合的牛頓滲流方程組，即：

(1)

(2)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈RN/B1(0)

(3)

眾所周知，式(1)中的方程是牛頓滲流方程，它在u=0的點處退化。局部解的存在性與比較原理參見文獻[1-2]。本文主要研究方程解的長時間行為，如解關(guān)于時間的整體存在性以及有限時刻的爆破。特別地，將討論可以用來描述解的長時間行為的臨界曲線。

自從1966年Fujita對熱方程內(nèi)部源的Cauchy問題建立了臨界指標以[3]，數(shù)學(xué)工作者們對許多問題都建立了Fujita型定理[4-5]。其中Glalaktionov與Levine把Fujita的結(jié)果推廣至邊界源問題，即對如下牛頓滲流方程建立了臨界指標[5]：

(4)

(5)

u(0,t)=u0(x),x∈(0,+∞)

(6)

其中：m>1,α≥0。對于式(4)～式(6)，他們證明了α0=(m+1)/2,αc=m+1。稱α0是整體存在臨界指標，αc是Fujita臨界指標，如果以下事實成立：

1)若0<α<α0，則方程的非負非平凡解關(guān)于時間整體存在；

2)若α0<α<αc，則方程的非負非平凡解在有限時刻發(fā)生爆破；

3)若α>αc，則方程的解在初值較小時整體存在，當(dāng)初值較大時在有限時刻爆破。

隨后，式(4)～式(6)被拓展到快擴散的情形，即0

與方程的臨界指標相平行地，方程組存在著臨界曲線。

對于一維情形，Quiros和Rossi[9]研究了如下邊界耦合的牛頓滲流方程組：

他們得出：此問題的整體存在臨界曲線是αβ=(m+1)(n+1)/4，F(xiàn)ujita臨界曲線是min{α1+β1,α2+β2}=0，其中