兩千年前的計(jì)算工具

楊旎

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算表的計(jì)算方法

《算表》通過(guò)竹簡(jiǎn)交叉構(gòu)成21行、20列，行、列交叉再形成400余個(gè)長(zhǎng)方格，由此可分為3個(gè)功能區(qū)，包括乘數(shù)和被乘數(shù)的個(gè)位、十位區(qū)，引線區(qū)及運(yùn)算結(jié)果區(qū)。《算表》按照十進(jìn)制運(yùn)算。就乘法而言，若要計(jì)算時(shí)，只需用孔中穿出的引線橫平豎直把相關(guān)的乘數(shù)與被乘數(shù)聯(lián)系在一起（按乘法對(duì)加法的分配律，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)分別引線），再將諸線在結(jié)果區(qū)交叉點(diǎn)上的數(shù)字加在一起，即是最后的運(yùn)算結(jié)果，便利快捷。

人們從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之日起，便不斷尋求能方便進(jìn)行計(jì)算的工具。因此，計(jì)算和計(jì)算工具是息息相關(guān)的。兩千多年前，中國(guó)沒(méi)有算盤，更沒(méi)有計(jì)算器，當(dāng)時(shí)的人創(chuàng)造了哪些計(jì)算工具和計(jì)算方法呢？近幾年的考古發(fā)現(xiàn)為我們揭開(kāi)了謎底。

2300年前的實(shí)用算具

今年1月7日，清華大學(xué)所藏清華簡(jiǎn)第四輯整理報(bào)告發(fā)布，其中《算表》文獻(xiàn)有2300年歷史，它可做乘法、除法和開(kāi)方，被稱作“中國(guó)數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)”。

考古學(xué)家在最初整理清華簡(jiǎn)時(shí)，就注意到有幾支書簡(jiǎn)比較特別：形狀上顯得比較寬大，且上部有紅色橫線，非常顯眼。這組竹簡(jiǎn)共有21支，保存相對(duì)完好，只有4支上部有部分殘缺，殘缺部分可以通過(guò)內(nèi)容進(jìn)行推理補(bǔ)全。其中有一支單獨(dú)的竹簡(jiǎn)右側(cè)都是鉆孔，鉆孔內(nèi)留有絲織品的痕跡。經(jīng)過(guò)收集整理之后發(fā)現(xiàn)，這幾支竹簡(jiǎn)可以拼接成一個(gè)帶有數(shù)字的表格。表格分為21行、20列，分為乘數(shù)和被乘數(shù)個(gè)位、十位區(qū)，將復(fù)雜的乘法轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的加法，還可用于除法運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算。經(jīng)對(duì)同批竹簡(jiǎn)的碳-14測(cè)定及自身的文字特征判斷，確定《算表》形成于公元前305年左右，是目前所見(jiàn)到的我國(guó)最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)實(shí)物。科學(xué)家經(jīng)過(guò)研究，認(rèn)為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)首個(gè)高潮應(yīng)發(fā)生在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，而不是《九章算術(shù)》成書時(shí)的兩漢。

2200年前九九表的發(fā)現(xiàn)

里耶秦簡(jiǎn)，2002年6～7月發(fā)現(xiàn)于湖南省湘

西土家族苗族自治州龍山縣里耶鎮(zhèn)里耶古城1號(hào)井，共36000多枚。主要內(nèi)容是秦洞庭郡遷陵縣的檔案，包括祠先農(nóng)簡(jiǎn)、地名里程簡(jiǎn)、戶籍簡(jiǎn)等。在秦簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)了我國(guó)最早、最完整的乘法口訣表。《管子》、《荀子》、《戰(zhàn)國(guó)策》等先秦典籍中，都提到過(guò)“九九”，但實(shí)物還是首次發(fā)現(xiàn)。乘法口訣表位于1號(hào)井的第6層，簡(jiǎn)文中“三五十五，二五而十”和“三八廿四，二八十六”等口訣清晰可見(jiàn)，簡(jiǎn)牘正面文字是九九乘法口訣表，文末還記錄有“凡千一百一十三字”，系九九乘法口訣表中各數(shù)乘積之和。

乘法口訣，是啟蒙兒童必須背誦的數(shù)學(xué)運(yùn)算基本工具。而2200年以前的乘法口訣表，竟與現(xiàn)今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致，它給世界算術(shù)史的研究提供了一個(gè)珍貴的實(shí)物資料。其中，古人的乘法口訣表里還涵蓋了二分之一這樣的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，這是不同于現(xiàn)代教科書的地方。秦簡(jiǎn)也改寫了世界數(shù)學(xué)發(fā)展史，西方最早的乘法口訣表是在1600年前發(fā)現(xiàn)的，這就說(shuō)明我們中華民族發(fā)明乘法口訣表比西方早了600多年，燦爛的中華文明再一次得到了有力的證明。

中國(guó)春秋時(shí)代就出現(xiàn)了“算籌”

在算盤發(fā)明以前，中國(guó)古代使用一種十進(jìn)制計(jì)算工具，它起源于商代的占卜。但據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盤發(fā)明推廣之前都是中國(guó)最重要的計(jì)算工具。1972年8月，在陜西省寶雞市千陽(yáng)縣西郊的西漢古墓中，發(fā)現(xiàn)了一小堆長(zhǎng)短一致、粗細(xì)相同的雞腿骨。經(jīng)考證，這些雞骨就是當(dāng)時(shí)的計(jì)算工具——算籌。

古代籌、策、算三字都帶竹頭，表示用竹制成。根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實(shí)際上是一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子，一般長(zhǎng)為13～14厘米，徑粗0.2～0.3厘米，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個(gè)布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數(shù)和計(jì)算的時(shí)候，就把它們?nèi)〕鰜?lái)，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上它們卻是立有大功的。而它們的發(fā)明，也同樣經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過(guò)程。

在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來(lái)表示單位數(shù)目的，其中1～5均分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來(lái)表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來(lái)表示。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法遵循十進(jìn)位制。算籌計(jì)數(shù)法是世界上最早的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法，在中國(guó)廣泛應(yīng)用達(dá)兩千余年。

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考古發(fā)現(xiàn)的古代數(shù)學(xué)工具

半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時(shí)已使用了這些工具。

數(shù)學(xué)在中國(guó)歷史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數(shù)字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬(wàn)，最大的數(shù)字為三萬(wàn)；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，而且知道“勾三股四弦五”；據(jù)說(shuō)《易經(jīng)》還包含組合數(shù)學(xué)與二進(jìn)制思想。

真正意義上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系形成于自西漢至南北朝的三四百年期間。《算數(shù)書》成書于西漢初年，是傳世的中國(guó)最早的數(shù)學(xué)專著，它是1984年由考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)的。《周髀算經(jīng)》編纂于西漢末年，它雖然是一本關(guān)于“蓋天說(shuō)”的天文學(xué)著作，但是包括兩項(xiàng)數(shù)學(xué)成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。”——這是中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書面記載）；（2）測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”。

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