兩千年前的計算工具

楊旎

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算表的計算方法

《算表》通過竹簡交叉構成21行、20列，行、列交叉再形成400余個長方格，由此可分為3個功能區，包括乘數和被乘數的個位、十位區，引線區及運算結果區。《算表》按照十進制運算。就乘法而言，若要計算時，只需用孔中穿出的引線橫平豎直把相關的乘數與被乘數聯系在一起（按乘法對加法的分配律，個位數與十位數分別引線），再將諸線在結果區交叉點上的數字加在一起，即是最后的運算結果，便利快捷。

人們從數學產生之日起，便不斷尋求能方便進行計算的工具。因此，計算和計算工具是息息相關的。兩千多年前，中國沒有算盤，更沒有計算器，當時的人創造了哪些計算工具和計算方法呢？近幾年的考古發現為我們揭開了謎底。

2300年前的實用算具

今年1月7日，清華大學所藏清華簡第四輯整理報告發布，其中《算表》文獻有2300年歷史，它可做乘法、除法和開方，被稱作“中國數學史乃至世界數學史上的一項重大發現”。

考古學家在最初整理清華簡時，就注意到有幾支書簡比較特別：形狀上顯得比較寬大，且上部有紅色橫線，非常顯眼。這組竹簡共有21支，保存相對完好，只有4支上部有部分殘缺，殘缺部分可以通過內容進行推理補全。其中有一支單獨的竹簡右側都是鉆孔，鉆孔內留有絲織品的痕跡。經過收集整理之后發現，這幾支竹簡可以拼接成一個帶有數字的表格。表格分為21行、20列，分為乘數和被乘數個位、十位區，將復雜的乘法轉變為簡單的加法，還可用于除法運算和開方運算。經對同批竹簡的碳-14測定及自身的文字特征判斷，確定《算表》形成于公元前305年左右，是目前所見到的我國最早的數學文獻實物。科學家經過研究，認為中國傳統數學首個高潮應發生在春秋戰國時期，而不是《九章算術》成書時的兩漢。

2200年前九九表的發現

里耶秦簡，2002年6～7月發現于湖南省湘

西土家族苗族自治州龍山縣里耶鎮里耶古城1號井，共36000多枚。主要內容是秦洞庭郡遷陵縣的檔案，包括祠先農簡、地名里程簡、戶籍簡等。在秦簡中發現了我國最早、最完整的乘法口訣表。《管子》、《荀子》、《戰國策》等先秦典籍中，都提到過“九九”，但實物還是首次發現。乘法口訣表位于1號井的第6層，簡文中“三五十五，二五而十”和“三八廿四，二八十六”等口訣清晰可見，簡牘正面文字是九九乘法口訣表，文末還記錄有“凡千一百一十三字”，系九九乘法口訣表中各數乘積之和。

乘法口訣，是啟蒙兒童必須背誦的數學運算基本工具。而2200年以前的乘法口訣表，竟與現今生活中使用的乘法口訣表有著驚人的一致，它給世界算術史的研究提供了一個珍貴的實物資料。其中，古人的乘法口訣表里還涵蓋了二分之一這樣的分數運算，這是不同于現代教科書的地方。秦簡也改寫了世界數學發展史，西方最早的乘法口訣表是在1600年前發現的，這就說明我們中華民族發明乘法口訣表比西方早了600多年，燦爛的中華文明再一次得到了有力的證明。

中國春秋時代就出現了“算籌”

在算盤發明以前，中國古代使用一種十進制計算工具，它起源于商代的占卜。但據史料推測，算籌最晚出現在春秋晚期戰國初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盤發明推廣之前都是中國最重要的計算工具。1972年8月，在陜西省寶雞市千陽縣西郊的西漢古墓中，發現了一小堆長短一致、粗細相同的雞腿骨。經考證，這些雞骨就是當時的計算工具——算籌。

古代籌、策、算三字都帶竹頭，表示用竹制成。根據史書的記載和考古材料的發現，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13～14厘米，徑粗0.2～0.3厘米，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國數學史上它們卻是立有大功的。而它們的發明，也同樣經歷了一個漫長的歷史發展過程。

在算籌計數法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數目的，其中1～5均分別以縱橫方式排列相應數目的算籌來表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示。表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數法遵循十進位制。算籌計數法是世界上最早的十進位值制計數法，在中國廣泛應用達兩千余年。

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考古發現的古代數學工具

半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

數學在中國歷史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”；據說《易經》還包含組合數學與二進制思想。

真正意義上的中國古代數學體系形成于自西漢至南北朝的三四百年期間。《算數書》成書于西漢初年，是傳世的中國最早的數學專著，它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發現的。《周髀算經》編纂于西漢末年，它雖然是一本關于“蓋天說”的天文學著作，但是包括兩項數學成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”——這是中國最早關于勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠的“陳子測日法”。

【責任編輯】蒲 暉