間斷副螺棱結構對擠出機內混沌混合影響的數值模擬

李 彬，徐百平，喻慧文，杜遙雪，馮彥洪

（1.五邑大學機電工程學院，廣東 江門529020；

2.廣東輕工職業技術學院廣東高校高分子材料加工工程技術開發中心，廣東 廣州510300；3.華南理工大學聚合物成型加工教育部重點實驗室，廣東 廣州510640）

0 前言

單螺桿擠出機結構簡單，易于操作維護，具有良好的擠出特性，在聚合物成型加工中有著廣泛的應用。但是，熔體在普通單螺桿擠出機螺槽內主要是規則的層流流動，存在著混合效果差的缺陷，國內外學者一直力爭強化其混合效果，出現了像銷釘螺桿等多種工程嘗試結構，取得了一定的積極效果。

1984年，Aref[1]基于微分動力學觀點提出了交替漩渦的思想來研究混合問題，引入了Poincaré映射來分析混合效果，并首次提出了混沌混合的思想，這為提高高黏度流體的混合效果提出了理論指導。此后，人們通過各種方法對混沌混合進行了廣泛的研究，一致認為混沌是層流條件下提高混合效率的主要方式[2-4]。1996年Kim等[5-7]從雙曲流動的不穩定性受到啟發，開發出了混沌單螺桿（CS螺桿），這種螺桿通過在螺槽中間插入矮螺棱來改變幾何形狀，形成一個8字型的區域從而來產生周期性的擾動，提高聚合物的混煉效果。

徐百平通過將CS螺桿的矮副螺棱結構進行改變，運用數值模擬及實驗方法來研究混沌觸發機理，并申請了發明專利[8]。本文以其中幾種典型的結構為研究對象，探討不同螺旋角的間斷斜螺棱的幾何結構對擠出過程混合行為的影響。采用流體力學有限元軟件Polyflow建立了簡化的混沌單螺桿計量段螺槽展開模型，對螺槽內的流場進行數值模擬，進一步分析了矮副螺棱結構特性對螺桿混合效果的影響，旨在尋求更合理的結構為進一步優化螺槽內的混合效果。

圖1 計量段螺槽展開物理模型Fig.1 Physical model of unwound screw channel of metering zone

1 模型的建立

1.1 物理模型

沿計量段螺槽方向展開，建立如圖1所示的物理模型及相應的直角坐標系，原點位于展平螺槽底面，z為螺槽展開方向并指向機頭，即螺槽縱向方向，y為螺槽高度方向，x為螺槽寬度方向。采用相對速度方法，假設螺桿固定，機筒沿螺桿相反方向運動，速度方向與螺桿軸線交角等于螺桿主螺棱的螺旋角γ′＝17.65°。采用網格疊加技術，用六面體網格對流體區域及副螺棱進行靜態網格劃分得到圖1（b）所示的網格模型。

展開螺槽寬度W＝30 mm，螺槽高度H＝2 mm，計量段螺槽展開總長度L＝808 mm，副螺棱起始位置Z＝10 mm，副螺棱寬度e＝2 mm，副螺棱高度h，一段副螺棱長度a，副螺棱縱向間隙長度b。間斷比例k如式（1）所示，4種典型的副螺棱結構幾何參數見表1。

表1 混沌單螺桿間斷副螺棱結構設計Tab.1 Design of chaos single screw with aintermittent baffle

1.2 數學模型

1.2.1 基本假設

為求解方便，作如下假設：（1）流體的黏度高，可忽略流體慣性力與重力作用；（2）流動為等溫、不可壓縮且為穩態流動；（3）邊界無滑移，忽略機筒與螺棱間隙漏流；（4）在出口處流場速度沿z方向充分發展。

1.2.2 基本方程

描述流場的連續性方程、運動方程及本構方程為：

式中 ν→:速度矢量，m/s

p:壓力，Pa·s

τ:應力張量，Pa·s

C:形變速率張量，s-1

γ·:剪切速率，s-1

采用Carreau模型來描述熔體表觀黏度隨剪切速率的變化：

式中 η′:表觀黏度，Pa·s

η0:零剪切黏度，Pa·s

θ:時間參數，s

n:非牛頓指數

流場模擬計算采用聚碳酸酯（PC）物料，其Carreau模型中參數為：η0＝26000 Pa·s，θ＝0.25 s，n＝0.64。

1.2.3 邊界條件

由基本方程結合上述基本假設，確定速度邊界條件如下：

式中 M:螺桿外徑，mm

N:螺桿轉數，r/min

在模擬計算中螺桿外徑取值M＝35 mm，螺桿轉數N＝60r/min，螺槽底面、兩側面及副螺棱表面速度為零，入口界面處的體積流率Q＝3.0×10-6m3/s。

2 混合動力學結果對比分析

2.1 停留時間分布

求解得到速度場之后，在t＝0時隨機在進口壁面處釋放1000個粒子，計算其運動軌跡。采用Polyflow軟件內嵌的統計模塊Polystat獲得物料在出口處的停留時間概率密度函數E（t）以及平均停留時間ˉt，如式（10）～（11）所示：

式中 c（t）:示蹤粒子濃度

圖2是根據式（10）～（11）統計所得到的各模型中物料的停留時間分布曲線圖，圖3為停留時間平均值。各模型中物料的停留時間概率密度分布趨勢基本一致，模型1中的停留時間概率密度函數曲線分布最寬，且相對最靠右側，物料停留時間最長。

由圖3可知模型1的物料停留時間平均值相對較大些，副螺棱的高度及副螺棱間斷比例對平均停留時間影響較大。副螺棱高度的增加延長了熔體在螺槽內的停留時間，高的副螺棱產生更強的屏障阻隔作用，從而增加了物料在螺桿內的停留時間。相反，間斷比例增加使插入的副螺棱面積減少而間斷的部分增加，這樣停留時間相對有所縮短。給定產量的情況下，幾種結構的停留時間區別不大，停留時間最長的模型1只比停留時間最短的模型4多了0.1743 s，說明混合效果的不同主要是混合機理不同造成的。

圖2 停留時間分布對比Fig.2 Comparisons of theres idence time distribution

圖3 停留時間平均值Fig.3 The mean ofres idence time

2.2 分離尺度

Danckwerts[9]提出用分離尺度來表征混合效果，是評價分布混合性能的重要指標。其中相關系數R（r）表示兩點之間濃度的相關度：

式中 x′i、x″i:第i對粒子的濃度:所有粒子平均濃度

N:計算濃度總對數

S2:方差

分離尺度是相距為r的兩點處濃度間相關系數的積分，定義為：

分離尺度是分散相中相同組分區域平均尺寸的度量，即少組分的粒度，可沿一條直線、一個平面或在一個體積中進行計算。分離尺度越小，表明混合分布效果越好；最佳混合狀態，是分離尺度減小到粒子的最終尺度的狀態。在流體區域初始位置的壁面上釋放1000個粒子，以螺槽中間位置為分界線，用不同顏色的粒子表示不同濃度。根據定義，統計聚合物進入計量段螺槽之后沿z軸位置變化的分離尺度，如圖4所示。

圖4 分離尺度隨z軸的變化Fig.4 Variation of segregation scale along z axis

各模型中粒子的分離尺度沿軸向位置呈現相似的變化趨勢，在開始時粒子濃度不同的物料受到流場的作用彼此迅速擴散開來，分離尺度呈近似直線下降。隨著混合的進行，一段時間后分離尺度基本在一定幅值范圍內波動變化，最終趨于各自平衡值。分離尺度波動變化的主要原因在于粒子發生了團聚，影響其混合效果。圖5和圖6分別為各模型螺槽中粒子后30 cm平均分離尺度及其標準偏差。模型1與3中平均分離尺度小，波動變化的幅值偏差也較小，粒子發生團聚的情況相對較少，分布混合性能更加優越。粒子分離尺度與副螺棱間斷次數有關，間斷次數增多使粒子承受擾動頻率增加，在一定程度上可以降低粒子的分離尺度，有利于分布混合，提高了混煉效率。

圖5 平均分離尺度對比Fig.5 Comparisons of mean segregation scale

圖6 分離尺度標準偏差對比Fig.6 Comparisons of segregation scale standard deviation

2.3 界面拉伸長度

根據Ottino[10]模擬混合過程，利用層流模型來追蹤流體單元在運動過程線、面和體的變形。在流體區域中，選取單位法向量為ˉN的線段d X，在t時刻時變為單位取向的線段d x，則：

式中 F:變形梯度，為二階張量，包含單元的伸展與旋轉

界面拉伸長度（l）表示為：

拉伸長度也是評價設備混合加工效果的一個重要參數，拉伸長度越大，混合效果越好。圖7為各造型拉伸長度的對比變化曲線。由圖可知各造型螺桿的拉伸長度的變化趨勢基本一致，都隨著時間的推移而呈現指數增長，表明了混沌混合的發生。曲線中有部分上下波動是由于熔體在流動過程中交替承受拉伸和壓縮形變。由圖可知模型1拉伸增長速度是最明顯的，到螺槽末端時要比其他構型拉伸長度值要大。

圖7 拉伸長度對比曲線Fig.7 Curves of length of stretch along z axis

2.4 混合效率

Ottino[11]等提出利用瞬態混合效率來定量表征混合過程。對于一個流動的區域，不管其里面的線、面的位置及取向，只要伸展比率的時間平均值不趨于零，則混合過程都是良好的。流動過程中面的伸展比率可以由式（17）給出：

式中 eη:黏性能量損耗中用來使無限小面伸展或壓縮的能量分數，其值在-1～1之間，正值表示熔體受到拉伸作用面積伸展，負值表示熔體受到環流壓縮作用面積壓縮時間平均混合效率為：

圖8為螺槽內粒子的時間平均混合效率對比曲線。曲線隨時間變化的趨勢基本相似，都近似以時間倒數形式緩慢衰減，說明物料在螺槽內的取向比較弱。模型1的時間平均混合效率曲線在其他曲線之上，存在小的波動甚至后面出現上揚，說明其時均混合效率是最好的并且具有一定的取向作用。

圖8 時間平均混合效率對比曲線Fig.8 Comparisons of the time averaged efficiency

2.5 混合指數

Cheng和 Manas-Zloczower[12]提出用混合指數λ描述流場中拉伸流動程度，其定義為：

式中 ｜D｜:應變速率張量

｜ω｜:渦旋張量

λMZ的變化范圍為0～1，當λMZ＝0時，表示反應器中不存在混合，只為單純有旋運動；當λMZ＝0.5時，拉伸流動與剪切流動相當，為簡單剪切流動；當λMZ＝1時，流動為純拉伸運動，混合效果最強。

隨機在流體區域的入口處釋放1000個粒子，忽略粒子的質量、體積以及相互作用力。通過Polystat進行切片處理及統計分析，統計粒子的累積混合指數分布，查看粒子經歷流場拉伸作用的程度，得到如圖9所示累計混合指數概率分布曲線。各造型螺桿的累積混合指數的概率分布趨勢基本一致，其λMZ值在0.5附近時都急劇上升，說明流場的混合機理主要是基于簡單剪切作用。為比較各種螺桿的拉伸作用程度，特別統計了混合指數大于0.5的粒子所占的比例，結果如圖10所示。在0.5＜λMZ＜1區域，螺桿1對應比例為58%是最高的，這是由于該模型可以提供更多的窄間隙造成的，這在某種程度上反映了他的流場中更多的粒子經歷了拉伸作用，有助于粒子的分散，從而獲得更加良好的混合效果。

圖9 累積混合指數概率分布Fig.9 Probability distribution of cumulative mixingindex

圖10 混合指數＞0.5所占比例對比Fig.10 The proportion of mixingindex over 0.5

3 結論

（1）熔體在螺槽內的平均停留時間與副螺棱的高度及間斷比例有關，但當給定產量的前提下，幾種螺桿構型的平均停留時間基本相同，混合效果的提升更多是由于混合機理的不同造成的；

（2）副螺棱一個螺距展開長度周期內間斷的次數可以影響螺槽中分散相的分離尺度，在一定范圍內間斷次數增多會使粒子承受的擾動頻率加大，這可以減少熔體粒子發生團聚從而降低粒子的分離尺度，使粒子分布更加均勻，提高分布混合效果；

（3）副螺棱螺旋角的大小對混合效果的影響不是很明顯，而插入間斷結構的副螺棱可觸發混沌混合，改善了混合效果。

[1]Aref H.Stirring by Chaotic Advection[J].Journal of Flu id Mechanics，1984，143：1-21.

[2]Alvarez M M，Zalc J M，Shinbrot T，et al.Mechanisms of Mixing and Creation of Structurein Laminar Stirred Tanks[J].Aiche Journal，2002，48（10）：2135-2148.

[3]A Dhoble，B Kulshreshtha，Sramaswami，et al.Mechanical Properties of PP-LDPE Blends with Novel Morphologies Produced with a Continuous Chaotic Advection Blender[J].Polymer，2005，46：2244-2256.

[4]V A Chougule，D A Zumbrunnen.In-situ Assembly Using a Continuous Chaotic Advection Blending Process of Electrically Conducting Networksin Carbon Black-thermoplastic Extrusions[J].Chemical Engineering Science，2005，60：2459-2467.

[5]Kim S J，Kwon T H.Enhancement of Mixing Performance of Single-screw Extrusion Processes via Chaotic Flows：PartⅠ.Basic Concepts and Experimental Study[J].Advancesin Polymer Technology，1996，15（1）：41-54.

[6]Kim S J，Kwon T H.Enhancement of Mixing Performance of Single-screw Extrusion Processes via Chaotic Flows：PartⅡ.Numerical Study[J].Advancesin Polymer Technology，1996，15（1）：55-69.

[7]Hwang Wr，Kwon T H.Dynimical Modeling of Chaos Single-screw Extruder andits Three-dimensional Numerical Analysis[J].Polymer Engineering and Science，2000，40：702-714.

[8]徐百平.單螺桿混沌擠出觸發方法及其裝置：中國，ZL200710026246.6[P].2009-12-09.

[9]Danckwerts P V.The Definition and Measurement of Some Characteristics of Mixtures[J].Applied Scienceresearch，1952，9（3）：279-296.

[10]Ottino J M.The Kinematics of Mixing：Stretching，Chaos，and Transport[M].Cambr idge：Cambr idge University Press，1990：66-80.

[11]Ottino J M，Ranz W E，Macosko C W.A Framework for Description of Mechanical Mixing of Flu ids[J].Aiche Journal，1981，27（4）：565-577.

[12]Cheng J J，IManas-Zloczower.Hydrodynamic Analysis of Banbury Mixer-2D Flow Simulations for the Entire Chamber[J].Polymer Engineering and Science，1989，29（15）：1059-1065.