3排管凍結梯形-拋物弓疊合等效溫度場模型和平均溫度

胡向東，任 輝

(1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

3排管凍結梯形-拋物弓疊合等效溫度場模型和平均溫度

胡向東1,2，任 輝1,2

(1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

由于3排管凍結溫度場的復雜性，不便于對凍土帷幕溫度場進行簡便描述。故以現有的3排管凍結溫度場的勢函數疊加法解析解為理論基礎，根據溫度場的周期性，選擇主面與界面之間的合適位置作為等效截面，以等效截面的溫度場等效整體溫度場。以平均溫度為檢驗標準，簡化等效截面的溫度場曲線，得出方便應用的梯形拋物弓疊合等效溫度場模型。基于等效溫度場模型確定平均溫度計算方法，得出免于積分運算的平均溫度簡便計算公式。該公式計算精度滿足工程要求，表明等效溫度場及其平均溫度計算方法具有良好的實用性。

3排管凍結；等效溫度場；平均溫度；凍土帷幕；人工地層凍結法

凍結溫度場的研究是人工地層凍結法理論研究的基礎，也是凍結設計施工的理論依據。隨著人工地層凍結法在礦山建設、城市地下工程和河底隧道工程中的廣泛應用，單排凍結管溫度場以及雙排凍結管溫度場的研究取得了一系列成果[1-3]，筆者也進行了單、雙排管凍結溫度場及其平均溫度的完善和應用性研究[4-10]。

由于工程實踐的需要，為了實現厚度較大和平均溫度較低的凍土帷幕，多排(3排及3排以上)管凍結方案被廣泛地應用于大水流地層礦山井筒和深井凍結、盾構進出洞地基加固等工程中。但是對多排管凍土帷幕溫度場及其平均溫度計算方法的研究極少，有學者通過數值模擬獲得了經驗公式[11]，筆者基于巴霍爾金解析解的雙排管凍結溫度場公式通過作圖的方法應用于描述多排管凍土帷幕溫度場，并得到多排管凍土帷幕厚度及平均溫度的計算公式[12]。也有學者在上海地鐵某一區間隧道修復采用四排局部垂直凍結時，對凍結壁溫度場發展進行實時監測，分析多排管局部凍結凍土壁溫度場特性[13]，但沒有對多排管凍土壁進行深入的理論研究。工程界也有采用計算單排管凍土帷幕平均溫度的“成冰”公式[14]近似計算多排管凍土帷幕平均溫度的情況。故筆者針對3排管凍結溫度場進行研究，得出3排管凍結溫度場的勢函數疊加法解析解，并驗證了其解析解結果的可靠性[15]。考慮3排管凍結溫度場的復雜性，為方便研究凍土帷幕力學性能和指導凍結設計施工，筆者將以3排管凍結溫度場解析解為理論基礎，探求3排管凍土帷幕的在二維平面的等效溫度場模型。

1 3排管凍結溫度場

3排管凍土帷幕凍結管布置方式一般可分為兩大類：一為3排凍結管直線型對齊排布，二為相鄰兩排凍結管管間距錯開l/2排列，成為3排凍結管直線型交錯排布，如圖1所示。

根據3排管凍結溫度場的勢函數疊加法解析解理論[15]，以圖1所示坐標系(xoy)為準，3排管凍土帷幕穩態溫度場分布的解析解表達式為

(1)

式中，t(x,y)為任意點(x,y)的溫度，℃；tct為凍結管表面的溫度，℃；l為每排兩根凍結管的間距，m；L為3排凍結管的排距，m；ξ為每排凍結管至凍土墻邊緣的凍土厚度，m；r0為凍結管外半徑，m；ω為區別3排管兩種排列方式的符號：對于3排凍結管對齊排列，ω=1；對于3排凍結管交錯排列，ω=-1。

圖1 3排管凍土帷幕凍結管布置方式Fig.1 Arrangement of three-row-pipe freezing

2 3排管等效溫度場

2.1 等效溫度場的確定

不論從式(1)還是圖2都可以直觀地看出3排管凍土帷幕的溫度場的復雜，不利于理論研究和工程應用，為此我們希望找出一個等效截面x=xe，并以此截面上的溫度t(xe,y)來替代真實溫度場。

圖2 3排管凍土帷幕溫度場示意Fig.2 Temperature field distribution of three-row-pipe freezing

考慮凍結管布置的對稱性，及溫度場在x軸上的周期性，整個凍土帷幕只需要研究其中0≤x

分析式(1)可知，當凍結管外半徑和凍結管分布形式確定時，整個凍土帷幕的溫度場主要受凍結管間距l、凍結管排距L、凍結管至凍土墻邊緣的凍土厚度ξ的影響，針對上述3個參數的不同取值，利用式(1)計算結果考察0≤x

選取x=0,l/6,l/4,l/3,l/2這5個特征截面，觀察其凍土帷幕溫度曲線t(x,y)的分布情況。根據凍結管兩種不同排布方式，選擇不同參數取值得到352組凍土帷幕的5個特征截面溫度分布情況，參數具體取值詳見表1。觀察每組數據的溫度曲線可知，在相同的凍結管排布方式下，曲線的形狀都是類似的。故針對凍結管兩類不同排布方式，選取1組參數(L=1.0m，l/L=1.0，ξ/L=0.5)為例進行具體說明，描述這5個特征截面的溫度分布情況，如圖3所示。

表1參數取值
Table1Parametervalues

參數取值L1 0，1 2，1 4，1 6ml/L0 7，0 8，0 9，1 0ξ/L0 5，0 6，0 7，0 8，0 9，1 0，1 1，1 2，1 3，1 4，1 5

圖3 特征截面凍土帷幕溫度場Fig.3 Temperature field distribution of the characteristic cross-sections

根據圖3顯示可知，3排管在主面(x=0)與界面(x=l/2)之間不同截面的溫度場主要是在凍結管位置溫度變化較大，尤其是3排管外面兩排凍結管位置溫度變化更明顯，并且在主面(x=0)到截面(x=l/6)溫度變化梯度最大，隨后逐漸減小，這就表明在凍結管位置從主面(x=0)到界面(x=l/2)溫度是迅速升高，使得截面溫度曲線趨于一致。由此可知，僅主面附近小部分范圍因靠近凍結管溫度較低，使得此部分截面溫度曲線在凍結管位置有較大變化，而其他大部分截面溫度曲線型狀基本類似。因此，考慮用其中某一特征截面的溫度曲線來近似描述整個溫度場的溫度變化情況，此特征截面即為等效截面，筆者擬采用主面(x=0)與界面(x=l/2)之間的中間位置(xe=l/4)作為等效截面。

根據上述分析結果，xe=l/4特征截面作為等效截面來描述整個凍土帷幕溫度場，但xe=l/4代入式(1)后所得溫度場公式仍然很復雜，故對特征截面(xe=l/4)進行處理，觀察xe=l/4的溫度曲線，可將溫度曲線簡化為如圖4所示的等效溫度曲線(在參數相同的情況下，xe=l/4截面的對齊排布和交錯排布溫度曲線一致)，曲線分上下兩部分，上部分為拋物弓型狀，下部分為等腰梯形型狀，拋物弓頂點和梯形頂點位置溫度取特征截面xe=l/4所對應的溫度，分別為t(l/4,0)和t(l/4,L)，此時等效溫度曲線可表示為

(2)

其中：

式(2)即為等效溫度場分布的表達式。

圖4 等效溫度場示意Fig.4 Temperature field distribution of the equivalent model

2.2 等效溫度場的驗證

等效溫度場與真實溫度場等效的標準有2條：① 在等效截面上等效溫度場曲線與真實溫度場曲線吻合；② 等效溫度場的平均溫度與真實溫度場的平均溫度相等。第①條標準由等效溫度場曲線的定義(式(2))已經滿足，由圖4已可見。以下對第②條標準進行驗證。

(1)以3排管凍結溫度場的勢函數疊加法解析解為理論基礎，根據凍結管布置的對稱性及溫度場在x軸上的周期性，整個凍土帷幕的平均溫度等于0≤x

(3)

(4)

圖5 凍土帷幕平均溫度計算結果比較Fig.5 Comparison of calculated average temperature

從圖6可以看出，相對誤差位于2.61%～4.95%，誤差控制在5.0%以內，且隨著l/L的增大，誤差增大，隨著ξ/L的增大，誤差減小。

圖6 等效溫度場平均溫度的誤差Fig.6 Accuracy of average temperatures of the equivalent temperature field

3 利用等效溫度場求解平均溫度

3.1 平均溫度計算公式

上一節采用平均溫度這一指標來驗證等效溫度場的準確性，據此，可以導出凍土帷幕平均溫度的近似簡單求解方法，就是利用等效溫度場來替代真實的溫度場，聯合式(2)，(4)得

(5)

其中

3.2 平均溫度計算公式的適用性

人工地層凍結過程是一個瞬態熱傳導過程，是個具有相變并且相變界面移動的問題。然而本文計算公式由于是基于3排管凍結穩態溫度場解析解[15]，其適用性值得注意。對于采用穩態溫度場近似瞬態溫度場的適用性問題，學術界和工程界普遍接受的觀點是：由于人工地層凍結是個發展相對緩慢的過程，尤其是在凍結的后期，其溫度場非常接近穩態導熱溫度場，在人工地層凍結法的溫度場理論與工程中，對此狀態可按穩態導熱近似求解人工凍結溫度場。世界上最流行和實用的人工凍結溫度場解析解有前蘇聯[1]、美國[2]和日本[3]公式，他們均為穩態溫度場公式。對此問題，筆者曾針對文獻[1]的單排管和雙排管凍結巴霍爾金公式的準確性進行了分析[9]，結果表明，在凍結的中后期(ξ/l> 0.7)，溫度場任何一點的計算誤差不超過1℃。作為本文基礎的3排管凍結溫度場公式[15]與巴霍爾金公式基本特征相同，因此可以推測，在凍結的中后期，本文計算公式具有足夠的準確性。

4 結 論

(1)以3排管溫度場解析解為基礎，建立了等效溫度場模型，即找到一個等效截面，以等效截面的溫度場替代整體溫度場。將此截面溫度場分布圖形簡化為由上下兩部分構成的圖形，上部分為拋物弓，下部分為等腰梯形。

(2)利用平均溫度驗證等效溫度場的準確性。等效溫度場的平均溫度和解析解溫度場的平均溫度兩者的對比分析表明，等效溫度場平均溫度計算結果的相對誤差不超過5.0%，精度滿足工程要求，表明等效溫度場具有良好的實用性。

(3)基于等效溫度場，建立了3排管凍土帷幕平均溫度計算公式。該公式為免于積分計算的簡便公式，計算準確，且結果偏于安全。

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Atrapezoidal-parabolicarchsuperimposedequivalenttemperaturefieldmodelanditsaveragetemperatureformulafortriple-row-pipefreezing

HU Xiang-dong1,2，REN Hui1,2

(1.DepartmentofGeotechnicalEngineering,TongjiUniversity,Shanghai200092,China.2.KeyLaboratoryofGeotechnicalandUndergroundEngineeringofMinistryofEducation,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

The temperature field of triple-row-pipe freezing is difficult and inconvenient to be described simply due to its complexity.Based on the existing analytical solution of triple-row-pipe frozen temperature field,according to the periodicity of the temperature field,an appropriate position between the main section and the intersection was chosen to be the equivalent section,so that the true temperature field could be replaced by the temperature field of the equivalent section.Using the average temperature as equivalence criteria,a trapezoidal-parabolic arch superimposed equivalent temperature field model was proposed by simplifying the temperature field curve of the equivalent section.In addition,asimplified average temperature formula,which was noneintegral operation,was deduced from the equivalent temperature field model.The calculation results show that the equivalent temperature field and its average temperature formula are accurate enough.

triple-row-pipe freezing;equivalent temperature field;average temperature;frozen soil wall;artificial ground freezing

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0166

國家自然科學基金資助項目(50578120,51178336)

胡向東(1961—)，男，浙江衢州人，副教授，博士生導師。Tel：021-65988771，E-mail：anton.geotech@tongji.edu.cn。通訊作者：任 輝(1986—)，男，湖南常德人，碩士研究生。Tel：021-65985249，E-mail：ren445@126.com

TD265.3

A

0253-9993(2014)01-0078-06

胡向東，任 輝.3排管凍結梯形-拋物弓疊合等效溫度場模型和平均溫度[J].煤炭學報,2014,39(1):78-83.

Hu Xiangdong，Ren Hui.A trapezoidal-parabolic arch superimposed equivalent temperature field model and its average temperature formula for triple-row-pipe freezing[J].Journal of China Coal Society,2014,39(1):78-83.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0166