基于視頻分析軟件Tracker測量剛體轉動慣量

賈 昱，程敏熙，安 盟，王經淘，李榮妹

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

1 引 言

剛體轉動慣量是非常重要的物理量，轉動慣量的測量是大學物理實驗中的基本實驗，傳統的方法是用落體法進行測量，但隨著教學的進步和實驗手段的不斷更新，如何在原有儀器的條件基礎上，增加新的內容和手段，使原實驗更具有開放性和創新性，提高實驗測量的精確度，是需要思考的問題[1].

Tracker視頻分析軟件是由美國卡布里洛大學(Cabrillo College)的道格拉開斯·布朗 (Douglas Brown)教授開發的開源軟件[2]. 它的特點是能夠捕獲視頻中的位移時間數據并進行分析. Tracker已有相應的中文版提供免費下載使用[2]，最新的版本是4.8，網址是：http://www.cabrillo.edu/～dbrown/tracker/. 在物理實驗教學中，運用視頻分析，可以呈現實驗現象，獲取實驗數據，展現運動學規律.

本文應用Tracker等技術手段，對測量轉動慣量的方法進行了改進：用彈簧代替落體法中下落的砝碼，用數碼相機(或手機)等數碼拍攝裝置代替秒表拍攝視頻，用Tracker視頻分析軟件捕獲視頻文件中的數據，最后用Origin軟件進行精確的曲線擬合，從而求出轉動慣量. 本文的測量方法在原有的剛體轉動慣量測量實驗的基礎上進行，提高了測量的精度.

2 實驗設計原理和方法

在傳統的落體法中[3]，塔輪受到細繩的拉力和轉軸摩擦力的力矩作用，砝碼m以加速度a下落，砝碼m由靜止開始下落高度h所用的時間為t，得到：

(1)

式中，g為當地重力加速度，r為塔輪的半徑和轉動角加速度，I為轉動系統對轉動軸的轉動慣量，Mμ為軸承的摩擦力矩，這里視為恒量.

實驗過程g?a中，則又有

(2)

由式(1)和式(2)可知，傳統方法忽略了砝碼下落的加速度，但這樣會導致較明顯的誤差[4]；在塔輪轉動過程中，摩擦力矩也會隨塔輪速度增大而增大[5]；下落砝碼的質量不同，摩擦力矩也會不同[6]，所以測量時把摩擦力矩看成恒定量是不準確的；測量時用秒表計，存在較大人為誤差[5].

本文的設計如圖1所示，用彈簧代替下落的砝碼，在不遠處放置手機等視頻拍攝裝置. 彈簧一端固定在地面上，一端與細繩連接. 彈簧上附一標記物，顏色與背景有較大的反差，這樣便于之后用Tracker軟件捕獲數據. 把繩子纏繞在塔輪上，拉緊彈簧，使標記物與突出物平齊， 這樣標記物到地面的距離與突出物到地面的距離相等. 準備就緒后，釋放塔輪，塔輪在彈簧的拉力下開始轉動，拍攝彈簧上標記物隨彈簧從伸長到恢復原長的下落過程.

圖1 新轉動慣量實驗原理圖

剛體受到拉力和摩擦力的力矩作用，有

M=Iβ=F拉r+Mμ，

(3)

其中I為剛體轉動慣量，β為剛體旋轉的角速度. 拉力為

F拉=-Kx.

(4)

文獻[4]中通過實驗的方法得出結論：摩擦力矩與角速度在加速度變化不大的情況下，成線性關系，所以有

Mμ=-μω,

(5)

又

(6)

聯立上述等式，方程化為[7]

(7)

(8)

可以看出方程(8)是一阻尼振動方程，在實驗過程中，彈簧并沒有做往復運動，只是向下收縮直到停止，整個過程只有1/4周期. 在本實驗中，摩擦阻尼系數較小，所以方程的解為[8]

x=Ae-ntsin (ωt+φ) ,

(9)

3 實驗數據處理及結果分析

實驗使用普通的手機，型號為：摩托羅拉mb502，帶有拍攝視頻功能，拍攝像素為352×280，幀率為30幀. 拍攝彈簧上標記物隨彈簧從伸長到恢復原長的下落過程(約4～6 s)后，將拍攝裝置用數據線連接電腦，接著按照下列步驟進行數據處理.

3.1 用Tracker軟件捕x-t獲數據

將拍攝裝置中的視頻文件拖入Tracker界面導入數據，然后建立坐標系，使坐標的x方向指向標記物下落的相反方向，并建立標尺，輸入標記物到地面的距離0.75,表示這個距離是0.75 m(這樣做的目的是為了給位移x賦予具體的值，在接下來的Origin軟件中更方便地進行曲線擬合，因為曲線擬合需要先輸入各參量的大致范圍，這樣才能更快更準確地擬合. 經過曲線擬合就可以得到摩擦阻尼系數和角速度這2個參量的擬合值，從式(9)的結果可以看出，摩擦阻尼系數和角速度這2個參量與高度無關，所以在實驗過程中標記物高度的測量不會影響實驗結果的準確性). 接著選擇標記物下落開始時為起始幀，標記物停止下落為結束幀，進行數據捕獲. 最后，打開Tracker的數據工具界面，看到放大的圖表和數據表格，如圖2所示[9].

圖2 Tracker的數據工具界面

3.2 用Origin擬合曲線

把Tracker軟件中數據工具中表格的數據復制到Origin中. 利用Origin的高級擬合工具[10]進行非線性擬合，在公式欄輸入A*exp (B*t)*sin (C*t+D),A，B，C，D分別代表振幅、摩擦阻尼系數、角速度和相位差. 經過數秒，就得到準確的擬合數值，如表1所示.

表1 Origin轉件的擬合結果

把擬合結果得到的B，C值，代入原結果，

(10)

得剛體轉動慣量為

摩擦阻力系數為

μ=2nI=1.69×10-4kg·m2/s.

又根據誤差傳遞公式，轉動慣量的誤差為

2.23×10-5kg·m2.

最后結果表示為：I=(1.36±0.02)×10-3kg·m2,而用傳統方法測得的轉動慣量為I=(1.59±0.04)×10-3kg·m2.

傳統方法的誤差來源是：a.系統誤差，忽略加速度a帶來的誤差，將摩擦力矩視為恒定帶來的誤差;b.隨機誤差，砝碼的質量測量誤差，秒表人工計時的誤差，砝碼下落高度測量誤差，塔輪直徑測量的誤差.

實驗誤差來源是：彈簧勁度系數的誤差，塔輪直徑測量誤差，擬合曲線誤差(根據最小二乘法等算法得到結果的誤差).

從結果來看，本方法的測量值比傳統測量值略小，減少了一定的系統誤差，即傳統方法忽略了砝碼下落的加速度a，會導致轉動慣量偏大[4]，與文獻中的描述一致，同樣下落砝碼質量越大，摩擦力矩越大，傳統方法把不同砝碼下落的摩擦力矩視為恒定，導致了計算結果中摩擦力矩偏小，轉動慣量偏大[11].

相對誤差較傳統的測量方法的誤差也有減小，原因在于新的實驗方法沒有秒表計時的人為誤差，而是通過軟件捕獲數據，較為精確；不必精確測量下落高度h的值，因為角速度是通過擬合的方式得到的，與高度h無關，所以也避免了一定的誤差[12]；把摩擦力矩近似為變量，而不是恒定值，也提高了一定的精確度.

4 結 論

本文采用了拍攝視頻的方法，減少了實驗的系統誤差，對摩擦力矩與角速度的關系的描述更加科學準確. 使用有拍攝視頻功能的普通手機即可進行實驗，并降低了實驗的人為因素的影響，可重復性強. 實驗過程時間較短，操作容易掌握，在原有儀器上進行，拓展了原實驗的內容.

參考文獻：

[1] 王海林,司嶸嶸,李相銀. 落體法測量剛體轉動慣量實驗中引起測量值偏離的因素分析[J]. 物理實驗,2012，32(5)：25.

[2] 李玉峰，熊建文,楊友源. 視頻分析軟件在物理實驗中的應用[J]. 實驗室研究與探索,2009，28(4)：62-64.

[3] 朱俊孔. 普通物理實驗[M]. 濟南：山東大學出版社，2001：71-74.

[4] 劉麗君,李學金,李兵. 剛體轉動慣量實驗誤差分析[J]. 大學物理實驗,1999，12(2):46-48.

[5] 張艷亮. 剛體轉動慣量測定實驗中阻力矩與角速度關系的研究[J]. 大學物理實驗,2012，25(5)：51-53.

[6] 班麗英. 剛體轉動慣量實驗中影響阻力矩因素研究[J]. 煤礦機械,2006，27(4)：37-39.

[7] 漆安慎，杜禪英. 普通物理學教程(力學)[M]. 北京：高等教育出版社，2005:309-312.

[8] 同濟大學應用數學系. 高等數學[M]. 北京： 高等教育出版社，2002:37-39.

[9] 丁曉彬，董晨鐘. 基于2D開源視頻分析和建模軟件Tracker研究拋體運動實驗[J]. 大學物理,2012，31(7):34-36.

[10] 武新，張永勝. Origin在曲線擬合中的應用[J]. 計算機工程與應用,2005，17(41):206-207.

[11] 楊濤，任明放. 剛體轉動慣量實驗中時間測量的改進方法[J]. 大學物理,2005，24(4):37-39.

[12] 郭長立，李三慶. 落體法測剛體轉動慣量的測量方法比較[J]. 大學物理,2004 ，27(3):37-39.

[13] 李靜，厲志明. 普通物理實驗[M]. 廣州：華南理工大學出版社，1994：11-12.