關于強化緩沖算子的研究

陳紅靜，于靜

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

1 引言

灰色系統的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題。因此充分開發利用已占有的信息來挖掘系統本身固有的規律是灰色系統理論的基本準則。我們可以通過社會、經濟、生態等系統的行為特征數據來尋求因素之間或自身的變化規律。灰色系統理論認為，盡管客觀系統的表象復雜，數據離亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊藏某種內在的規律。關鍵是如何選擇適當的方法來挖掘和利用它。在文獻[1，4，5，7]中，劉思峰教授提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構造出一種得到較廣泛應用的緩沖算子。本文在上述工作的基礎上，構造出若干新的強化緩沖算子，并研究了其特性及其內在關系，從而使序列前一部分增長(遞減)速度過慢，而后一部分增長(遞減)速度過快的沖擊擾動系統數據序列在建模預測過程中常常出現的定量預測結果與定性分析結論不符的問題得到有效解決。

2 基本概念

定義1 設系統行為數據序列為

X=(x(1)，x(2)，……，x(n))，如

(1)?k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)>0

則稱X為單調增長序列。

(2)?k=2，3，……，nx(k)-x(k-1)<0

則稱X為單調衰減序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}

x(k1)-x(k1-1)>0

x(k2)-x(k2-1)<0

則稱X為振蕩序列。

定義2 設X為系統行為數據序列，D為作用于X的算子，X經算子D作用后所得到序列記為

XD=(x(1)d，x(2)d，……，x(n)d).

則稱D為序列算子。

對序列連續作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子。分別記為

XD2，…，XDr.

公理1(不動點公理) 設X為系統行為數據序列，D為序列算子，則有

X(n)d=x(n).

公理2(信息充分利用公理) 系統行為數據序列X中的每一個數據x(k)，k=1，2，…，n都應充分地參與算子作用的整個過程。

公理3 設X為系統行為數據序列，D為序列算子，當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數據序列X的增長速度(或衰減速度)增強或振幅加大，則稱緩沖算子D為強化算子。

定理1 (1)設X為單調增長序列，XD為緩沖序列，則

D為強化緩沖算子?x(k)≥x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(2)設X為單調衰減序列，XD為緩沖序列，則

D為強化緩沖算子?x(k)≤x(k)d，

(k=1，2，…，n).

(3)設X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強化緩沖算子，則

由定理1可知，單調增長序列在強化緩沖算子作用下，數據萎縮。單調衰減序列在強化緩沖算子作用下，數據膨脹。

3 強化緩沖算子的構造

劉思峰教授在文獻[2]中構造了弱化緩沖算子，設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統行為數據序列，令

XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，

其中

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，D1皆為強化緩沖算子。

在此我們稱強化緩沖算子D1為平均強化緩沖算子，并在此基礎上構造若干其它形式的緩沖算子。

定理2 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統行為數據序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex，

XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，

(k=1，2，……，n).

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，D2皆為強化緩沖算子。

證明：容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理，因而D2為緩沖算子。

下證當X為單調增長序列時，D2為強化緩沖算子。

因為x(k)≤x(k+1)≤……≤x(n)，得

lnx(k)≤lnx(k+1)≤…≤lnx(n)，

lnx(k)+lnx(k+1)+…+lnx(n)

≥(n-k+1)lnx(k)，

同理可證，當X為單調衰減序列或振蕩序列時，D2皆為強化緩沖算子。

定理3 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統行為數據序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，

(k=1，2，…，n).

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，D3皆為強化緩沖算子。

證明：(略)

定理4 設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統行為數據序列，即x(i)>0，其中

exp(x)=ex

令XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，

(k=1，2，…，n).

則當X為單調增長序列，單調衰減序列或振蕩序列時，D4皆為強化緩沖算子。

證明：類似于定理2。

4 實例分析

生命周期是用來描述某類模式的演化，此模式可以使用于產業部門、產品、技術等。Levitt(1965)最早描述生命周期，也是用的最廣的，即隨時間遷移，銷售量的變化情形。一般來說，產品生命周期可以劃分為四個階段：即投入期、成長期、成熟期和衰退期，呈現為一條對稱的S形曲線。投入期的主要特征是生產成本高、投入流動資金多，產品銷售量增長緩慢，企業獲利極少甚至為負數。產品從投入期轉入成長期的標志是銷售量迅速增長、利潤額迅速上升，競爭者紛紛涌入。第三階段成熟期是產品在市場上基本飽和，市場競爭日益激烈，銷售量基本區域穩定，利潤開始減少。最后，由于成本回升、需求減少、競爭者減少和其它因素的影響，導致產品銷售量減少，利潤額也明顯下降，產品普及率迅速降低。產品生命周期理論是制定產品在市場上不同時期營銷戰略及策略的基礎。根據產品生命周期曲線我們可以得知從投入期到成長期呈現出一條S型曲線，本文嘗試以Linux系統安裝估算數值為依據，采用不同強化緩沖算子進行數據處理并對Linux的S曲線進行預測。

根據表1，我們可以計算出LINUX USER使用人數的年度倍增數分別為1900%，400%，400%，200%，133%，114%，380%，由于1994年該軟件剛投入使用不久，開始兩年內由于基數小數據非常敏感，年度增長率相當驚人，之后1995—1997的三個年度期間使用人數高速增長，1998—2000年期間使用者仍在快速增加，但是增幅有所減緩，從2001年開始使用者數量急劇遞增。根據產品生命周期理論，我們可以初步判定在2000年左右，LINUX系統進入產品成長期，這在LINUX USER使用人數的趨勢圖中表現尤為明顯。進入產品成熟期后，LINUX USER的使用者人數還會快速增加，因而可以用強化緩沖算子對原始數據序列進行作用來有效消除原始序列沖擊擾動因素的干擾。由于該數據跨越投入期和成長期而呈現出S曲線，我們采用前四年數據來模擬1998—2001年度的使用者人數作為原始序列，進而探索不同強化緩沖算子的精度以及適用條件。

表1 LINUX USER使用人數

備注：以上資料來源于http：//counter.li.org/estimates.html.

首先我們利用原始序列數據建立灰色GM(1，1)模型進行預測，以新的強化緩沖算子XD2為例對原始序列進行強化，令

表2 不同強化緩沖算子處理后的預測結果比較

由表2我們可以得知對于新的強化緩沖算子而言，1998—2001期間的年度誤差分別為80.06%，55.35%，8.90%，18.57%，對于劉氏強化緩沖算子而言，該期間年度誤差分別為37.32%，54.85%，316.54%，400.23%。若數據未經處理，則誤差分別為0.71%，64.75%，192.48%，133.39%。相對于其它兩種方法，新的緩沖算子處理后的預測值在1998年的預測誤差較大，但是在S型曲線的轉彎后即從投入期演變為成長期后的預測較為準確，與實際使用情況最為吻合。

5 結束語

本文研究了緩沖算子，構造了幾類強化緩沖算子，并研究了它們的一些特性與它們之間的內在關系，該算子具有實用方便，易于在計算機上實現。因此利用所構造的強化緩沖算子首先對原始數據序列進行作用，然后再進行建模，它能有效地消除沖擊擾動系統數據序列在建模預測過程的干擾。

[1]Liu S F.The Three Axioms of Buffer Operator and Their Application [J].The journal of Grey system，1991，3(1)：39-48.

[2]劉思峰，黨耀國，方志耕. 灰色系統理論及其應用(第三版)[M]. 北京：科學出版社，2005.

[3]鄧聚龍.灰色理論基礎 [M]. 武漢：華中科技大學出版社，2002.

[4]鄧聚龍.累加生成灰指數律 [J]. 華中理工大學學報，1987，15(5)：7-12.

[5]劉思峰.沖擊擾動系統預測陷阱與緩沖算子 [J]. 華中理工大學學報，1997，25(1)：25-27.

[6]劉思峰.緩沖算子及其應用 [J]. 灰色系統理論與實踐，1992，2(1)：45-50.

[7]黨耀國，劉思峰，劉斌，唐學文. 關于弱化緩沖算子的研究 [J]. 中國管理科學，2004，12(2)：108-111.