橡皮筋熱縮性質的定量表示及應用

孫楚旻

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

1 橡皮筋的熱縮現象

生活中可以觀察到橡皮筋具有受熱收縮的性質. 通過以下實驗可以簡單地演示該現象：橡皮筋上端固定，下端懸掛1把普通剪刀，可以在剪刀上加重物使橡皮筋處于較明顯的伸長狀態. 調整橡皮筋上端的固定點的高度，使剪刀的下端恰好觸碰到某一水平面. 用普通家用電吹風加熱橡皮筋，可以觀察到加熱后剪刀刀尖脫離原來所在的平面，即橡皮筋受熱收縮(圖1) .

圖1 橡皮筋熱縮性質的定性演示實驗

由上面實驗結果可以得知，如果讓橡皮筋保持定長，橡皮筋上所受外力將隨著溫度升高而增大. 以下的理論將解釋這一現象的成因，而實驗可以定量研究這一現象. 數據分析結果符合理論分析.

2 原 理

利用熱力學知識可以解釋橡皮筋受熱收縮的原因. 通常說來，假定橡皮筋試樣在等溫下受到拉伸力f，試樣被拉長了dl，外界對試樣所作的功為fdl[1]. 因為拉伸過程中橡膠體積不變，對于等溫可逆過程有

dU=TdS+fdl,

(1)

其中U是試樣的內能，T是外界溫度. (1)式可改寫成

(2)

另外，根據Gibbs自由能的定義

F=H-TS=U+pV-TS,

(3)

所以有

dF=dU+pdV+Vdp-TdS-SdT.

(4)

對于橡膠彈性體來說，在拉伸過程中體積不變，而且實驗是在恒壓下進行的，故

dF=fdl-SdT.

(5)

從(5)式可得

(6)

則

(7)

因此(2)式可以改寫成

(8)

忽略Gibbs自由能和Helmholz自由能的區別，有

F=U-TS.

(9)

熵力是指一個系統中的一種宏觀作用力，表現為整個系統對于熵增加的統計趨勢. 定義熵力為自由能對于長度的偏導數[2-3]，則

(10)

因此，橡皮筋處于平衡態時，其熵力與外力大小相等，方向相反.

3 實 驗

3.1 測量溫度場實驗

實驗采用的熱源是400 W的NSB-80小金魚取暖器，其中熱源部分是1根石英管(約19 cm). 電子溫度計為實驗室常用的長管水銀溫度計，量程是20～100 ℃，精度為1 ℃. 固定溫度計尖端對準取暖器燈管中心以及中心外其他點，測得溫度計示數近似相等. 用游標卡尺測量溫度計針尖到取暖器鐵絲網的不同距離，讀出溫度計在此距離的示數，多次測量取平均值，得到距取暖器鐵絲網的距離與溫度的關系. 對上述關系作出最小二乘法光滑函數擬合之后，可以計算距取暖器鐵絲網的一段距離處的溫度近似值.

3.2 橡皮筋熱縮性質的定量表示

假設橡皮筋在某一溫度下放置一段時間以后達到熱平衡狀態，此時橡皮筋熵力大小與所受外力大小相同. 可以通過電子秤測量橡皮筋所受的外力的大小，即熵力的大小，并用溫度場擬合的結果得出橡皮筋定長時熵力與溫度的關系.

實驗裝置如圖2所示. 鐵架臺上固定不易形變的剛性桿，將橡皮筋上端套在桿上，下端懸掛能使其伸長的重物，如砝碼. 實驗時注意取暖器燈管與拉長的橡皮筋平行(圖3). 用游標卡尺控制剛性桿到橡皮筋下端的距離為定長L(圖4).

待燈泡溫度場較穩定且電子秤示數也較穩定后再讀數，并多次讀數取平均值.

將電子秤的示數轉化為橡皮筋的熵力的方法是：先用電子秤測出砝碼和橡皮筋的總質量M，再將橡皮筋上端套在剛性桿上，測出室溫下橡皮筋定長時橡皮筋與砝碼的總質量M′，先調零電子

圖2 定量測量橡皮筋熱縮性質的實驗裝置

圖3 取暖器燈管與拉長的橡皮筋平行

圖4 橡皮筋定長

秤，設在實驗加熱過程中，電子秤的讀數變為m. 則橡皮筋在某一溫度下所受的熵力大小為

fa=[m+(M-M′)]g.

(11)

取該緯度重力加速度大小為g=9.809 0 m/s2.

假設此時的溫度即上一實驗中得到的擬合溫度場的溫度,這樣，可以作出一系列不同定長時的熵力與溫度曲線.

4 數據分析

4.1 溫度場測量實驗

直接測量的溫度數據如表1所示.

表1 溫度場測量數據

用最小二乘法擬合得到的溫度場曲線如圖5所示，溫度場函數是四次函數，R2=0.999. 根據這一擬合結果可計算出距取暖器鐵絲網不同距離的溫度.

圖5 溫度場原始數據的擬合曲線

4.2 橡皮筋熱縮性質的定量表示

首先用3種不同的橡皮筋做定長時熵力大小與溫度的關系實驗. 分析數據發現線性擬合結果良好且截距均為正數，驗證了橡皮筋的熱力學理論，即構象熵對長度的偏導數與溫度無關，而內能對長度的偏導數是正值.

取熱縮現象較為明顯的橡皮筋，研究其不同長度時熵力與溫度的關系，結果如圖6所示.

圖6 橡皮筋不同長度時熵力與溫度的關系

4.3 橡皮筋不同長度時其熵對長度的偏導數和內能對長度的偏導數與長度的關系

取橡皮筋不同長度時熵力與溫度關系的斜率，即橡皮筋構象熵對長度的導數，做出熵力隨長度關系的變化如圖7所示.

圖7 熵對長度的偏導數與橡皮筋長度的關系

分析數據得出橡皮筋構象熵對長度的導數隨長度的增加而增加，且三次函數擬合R2=0.994 9，而橡皮筋內能對長度的導數(即截距)是正值，它隨著長度增加的變化不定，其中可能有實驗誤差原因，也可能是事實如此，理論分析有待進一步探討.

4.4 常溫下不同長度時構象熵和內能對橡皮筋彈力的貢獻比例

利用擬合溫度場數據以及定長時橡皮筋熵力與溫度關系的數據，可以分析一定溫度范圍內不同長度時構象熵和內能對熵力的貢獻比例.

計算20 ℃時2部分對橡皮筋彈力的貢獻比例，如圖8所示. 這組數據中由內能引起的橡皮筋彈力的百分比的平均值是17.953%；由構象熵變化引起的橡皮筋彈力的百分比的平均值是82.047%. Folry測量了內能對橡皮筋彈性的貢獻,約為11%～18%[4]. 實驗在精度范圍內給出的數據大致與這一結果相符.由此可見常溫下橡皮筋的彈力主要由構象熵引起. 可以推斷一定溫度下構象熵對橡皮筋彈力的貢獻比例遠大于內能對彈力的貢獻比例.

圖8 常溫下橡皮筋不同長度時構象熵和內能對橡皮筋彈力的貢獻

5 應 用

利用橡皮筋的熱縮性質制作橡皮筋熱機[5]，實驗裝置圖如圖9所示. 轉輪由長度為89.50 cm的鐵絲圍成的圓環(直徑28.00 cm)，芯盤為1根長鐵絲穿過直徑為8.00 cm的小圓盤，在圓環與圓盤之間盤上有88根橡皮筋輻條，成品架于支架上，在其一側固定加熱燈或取暖器[圖10(a)].

圖9 橡皮筋熱機實驗裝置圖

圖10 橡皮筋熱機原理圖

該裝置的原理為：加熱熱機一側，橡皮筋產生熱縮現象[圖10(b)]，造成圓環重心的偏移產生重力矩，最后導致圓環轉動. 熱機轉動一定角度后，由于力矩的變化及橡皮筋散熱恢復原長，轉動停止.一段時間后，由于熱縮熱機又繼續轉動，如此即為所謂的“走走停停現象”.

5.1 關于轉動平均速率的測量及優化

測量一定時間內熱機轉動的角度，除以所用時間，得出的平均速率即為轉動平均速率ω. 為了優化這一屬性，對熱機光照角度進行了優化.

如圖11所示，受熱區中心點與水平方向所成角度稱為光照角度α. 可以通過測量熱機不同光照角度下10次轉動的角度φ和與轉動所需時間t的關系來確定最佳的光照角度，測量結果如表2所示.

(a) (b) (c)圖11 橡皮筋熱機光照角度優化

α/(°)φ/(°)t/sω/[(°)·s-1]-306332043.10-204741752.71-104232032.0803511801.94102841631.74202171921.13301791840.97

當光照角度為-40°時，熱機由于阻力矩過大的原因幾乎無法轉動. 由表1得出結論：當光照角度為-30°左右時熱機平均轉動速率最大.

關于負角度平均轉動速率普遍比較大的理論解釋為：開始時雖然所受重力力矩比0°時的力矩小，但是隨著轉動的繼續，重力力矩會經歷逐漸增大到逐漸減小的過程，作用時間也較長. 而0°及正角度動力矩在逐漸減小，所以負角度時平均轉動速率也較大.

5.2 關于轉動順暢度的測量及優化

熱機多次受熱放熱后單次轉動角度會逐漸穩定在一定的角度范圍內. 所謂轉動順暢度，即多次受熱后熱機單次能轉過的平均角度，也是能反映熱機性能的重要指標. 同樣對其光照角度進行優化，圖12為熱機在不同光照角度下轉動角度φ與轉動次數N之間的關系.

圖12 熱機在不同光照角度下轉動角度φ與轉動次數N的關系

同樣可以得出光照角度為-30°左右時熱機轉動最為順暢.

6 結束語

這一組實驗驗證了關于橡皮筋的熱學知識，定量表示熱縮物質的性質，開發了適合普通物理實驗教學的創新性實驗，對于幫助學生直觀地理解相應的熱力學理論很有意義. 橡皮筋的熱縮性質可以應用于諸如橡皮筋熱機等演示儀器，方便此性質的演示及實驗教學，但因其機械效率低下(低于1%)限制了其應用發展. 進一步拓展關于橡皮筋的熱力學實驗，可以思考如何測量宏觀意義上柔軟且熱縮物體的線脹系數，橡皮筋狀態方程的驗證，等等.

參考文獻：

[1] 何曼君,陳維孝,董西俠，等. 高分子物理[M]. 上海：復旦大學出版社，1990:221-223.

[2] 周江玥. 橡膠帶熱機原理及制作[D]. 北京：北京師范大學，2005:1-3.

[3] 朱平平. 高聚物的高彈性[D]. 合肥：中國科學技術大學,2005:2-3.

[4] Marx G， Ogborn J， Tasnadi P. Rubber as a medium for teaching thermodynamics [J]. Eur. J. Phys., 1984,5:232-233.

[5] 粟岳，李晉，劉德華. 橡皮筋熱機的設計和制作[J]. 周口師范高等?？茖W校學報，1999，16(5)：82-85.