淺析向量法求解二面角

趙雄

摘?要：用向量法求解二面角降低了綜合法的解題技巧，把抽象的幾何問題代數化，并有很強的規律性和可操作性。本文通過對平面法向量方向的判斷和利用平面法向量的夾角來表示二面角的平面角以及在兩個半平面內用垂直公共棱的兩個向量之間夾角來表示二面角的平面角對二面角問題的求解進行闡述。

關鍵詞：二面角；法向量；方向；基向量；平面角

隨著新課程標準的不斷推進，空間向量作為研究空間幾何的強有力工具，給空間幾何問題的研究注入了新的生機和活力，開辟了很多解題的新途徑，新方法，新思路。空間向量法將抽象的幾何問題代數化，以算代證，將問題具體化，并有很強的規律性和可操作性。因此，在解決空間幾何問題中普遍使用，尤其是用法向量求解二面角大大降低了綜合法的解題技巧，使得解題思維更直接清晰，解題過程更簡潔流暢。

借助平面法向量求二面角時，二面角的平面角θ的大小與法向量的所成角α（α=＜n1，n2＞）相等或互補，當二面角兩個法向量都指向二面角的內部或外部時，θ=π-α；當兩個法向量一個指向二面角的內部而另一個指向二面角的外部時θ=α對于法向量的方向的判斷一直是個難點，具體問題中如何判斷法向量的方向，具體方法如下：

在二面角的公共棱上任取一點M，在二面角內部任取一點N（分別在兩個半平面內各取一點A，B，則線段AB的中點（N）在二面角的內部），構造向量MN，根據向量的數量積和向量的夾角的定義，法向量n1，n2的方向均指向二面角內部時，n1·MN＞0且n2·MN＞0（若n1，n2均指向二面角外部時有n1·MN＜0且n2·MN＜0）即n1·MN與n2·MN同號時，二面角兩個半平面的法向量都指向二面角的內部（或外部），這是二面角θ=π-＜n1，n2＞。

法向量n1的方向指向二面角內部，n2的方向指向二面角外部時，有n1·MN＞0且n2·MN＜0，即 n1·MN與n2·MN異號時，二面角兩個半平面的法向量一個指向二面角的內部，另一個指向二面角的外部，這是二面角θ=＜n1，n2＞。為方便記憶概括為“同進同出互補，一進一出相等”。

例題：如圖，四棱錐P—ABCD中，

底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，

AB=2AD，PD⊥底面ABCD。

（Ⅰ）證明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-

C的余弦值。

此法是先通過空間向量的坐標形式求出兩個法向量的夾角的余弦值，再通過利用MN·n1和MN·n2的值的符號來判斷法向量的方向進而確定二面角平面角的余弦值。

此法思路清晰直接，通過代數計算代替綜合法的“作，證，求”，降低了對邏輯推理能力和空間想象能力的要求，但增加了計算量，方法可行但不方便。為回避求平面法向量和判斷法向量方向，我們可以在二面角的兩個半平面內找與公共棱垂直的兩個向量的夾角來表示二面角的平面角。

用基底向量法即選取空間任意不共面的三個向量作為基向量，根據空間向量的基本定理，將所需的向量用基底表示出來，再利用向量的“線性運算”“數量積”等進行求解，用這兩個向量的夾角直接表示二面角。

點評：用坐標向量法求解二面角，沒有求二面角的兩個半平面的法向量，而是在二面角兩個半平面內找個兩個與棱垂直的向量，用這兩個向量的夾角直接表示二面角。用坐標法計算降低了對平面向量基向量運算的思維過程的要求，使整個解題思路更加直接清晰，解題過程更加流暢與完整。

空間圖形奇異多姿，然而透視奇異有法眼，破解詭秘有法術。我們自有“一舉突破”之招術，“一氣呵成”之招數，“一錘定音”之招法，將幾何問題代數化，立體問題坐標化，我們解答空間幾何問題就能按圖索驥，得心應手，運籌帷幄，決勝千里。

參考文獻：

[1]楊?華.對用法向量求二面角的思考[J].中學數學教學參考（上旬），2012（7）：53—54.

[2]齊相國.法向量求二面角時法向量方向的判斷方法[J].數學通訊，2009（4）：22—23.